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文档简介
训练目标(1)了解不等式概念及应用方法;(2)掌握不等式的性质,提高综合应用能力.训练题型(1)利用比较法判断不等关系;(2)运用不等式的性质判断不等关系;(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系.解题策略(1)作差比较;(2)作商比较;(3)利用不等式的性质化简变形,合理放大或缩小;(4)借助基本函数单调性比较大小.一、选择题1.(2015·金华十校联考)设a,b是实数,则“a>b>1”是“a+eq\f(1,a)>b+eq\f(1,b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2+1)>eq\f(1,y2+1) B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>siny D.x3>y33.已知0<a<eq\f(1,b),且M=eq\f(1,1+a)+eq\f(1,1+b),N=eq\f(a,1+a)+eq\f(b,1+b),则M,N的大小关系是()A.M>N B.M<NC.M=N D.不能确定4.已知a1,a2∈(0,1),记M=a1·a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.M<N B.M>NC.M=N D.不确定5.(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c),则()A.T>0 B.T<0C.T=0 D.T≥06.若存在x使不等式eq\f(x-m,ex)>eq\r(x)成立,则实数m的取值范围为()A.(-∞,-eq\f(1,e)) B.(-eq\f(1,e),e)C.(-∞,0) D.(0,+∞)7.已知a,b,c∈R,给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则eq\f(a,b)+eq\f(b,a)≥2;③若a>b>0,n∈N*,则an>bn;④若logab<0(a>0,a≠1),则(a-1)(b-1)<0.其中真命题的个数为()A.2B.3C.4D.18.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0 B.2a-b<eq\f(1,2)C.log2a+log2b<-2 D.2eq\f(a,b)+eq\f(b,a)<eq\f(1,2)二、填空题9.已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是__________________.10.如下图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a,b(a≠b)的不等式表示为__________________.11.设a>0且a≠1,则loga(a3+1)与loga(a2+1)的大小关系为____________________.12.已知a,b,c∈{正实数},且a2+b2=c2,当n∈N,n>2时,cn与an+bn的大小关系为________.(用“>”连结)
答案解析1.A[方法一因为a+eq\f(1,a)-(b+eq\f(1,b))=eq\f((a-b)(ab-1),ab),所以若a>b>1,显然a+eq\f(1,a)-(b+eq\f(1,b))=eq\f((a-b)(ab-1),ab)>0,则充分性成立;当a=eq\f(1,2),b=eq\f(2,3)时,显然不等式a+eq\f(1,a)>b+eq\f(1,b)成立,但a>b>1不成立,所以必要性不成立,故选A.方法二令函数f(x)=x+eq\f(1,x),则f′(x)=1-eq\f(1,x2)=eq\f(x2-1,x2),可知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,所以“a>b>1”是“a+eq\f(1,a)>b+eq\f(1,b)”的充分不必要条件,选A.]2.D[因为0<a<1,ax<ay,所以x>y.采用赋值法判断,A中,当x=1,y=0时,eq\f(1,2)<1,A不成立;B中,当x=0,y=-1时,ln1<ln2,B不成立;C中,当x=0,y=-π时,sinx=siny=0,C不成立;D中,因为函数y=x3在R上是增函数,D成立,故选D.]3.A[∵0<a<eq\f(1,b),∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=eq\f(1-a,1+a)+eq\f(1-b,1+b)=eq\f(2-2ab,(1+a)(1+b))>0,∴M>N.]4.B[M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1).又a1,a2∈(0,1),故(a1-1)(a2-1)>0,故M>N.]5.B[方法一取特殊值,a=2,b=c=-1,则T=-eq\f(3,2)<0,排除A,C,D,可知选B.方法二由a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负,不妨设a>0,b<0,c<0,则T=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)=eq\f(ab+bc+ca,abc)=eq\f(ab+c(b+a),abc)=eq\f(ab-c2,abc).∵ab<0,-c2<0,abc>0,∴T<0,应选B.]6.C[由eq\f(x-m,ex)>eq\r(x)得:-m>ex×eq\r(x)-x(x>0),令f(x)=ex×eq\r(x)-x(x>0),则-m>f(x)min.f′(x)=ex×eq\r(x)+ex×eq\f(1,2\r(x))-1≥eq\r(2)×ex-1>0(x>0),所以f(x)为(0,+∞)上的增函数,所以f(x)≥f(0)=0,-m>0,m<0,选C.]7.A[当c=0时,ac2=bc2=0,所以①为假命题;当a与b异号时,eq\f(a,b)<0,eq\f(b,a)<0,所以②为假命题;③为真命题;若logab<0(a>0,a≠1),则有可能a>1,0<b<1或0<a<1,b>1,即(a-1)(b-1)<0,所以④是真命题.综上,真命题有2个,故选A.]8.C[若0<a<1,此时log2a<0,A错误;a-b<0,此时2a-b<1,B错误;由eq\f(a,b)+eq\f(b,a)>2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))=2,2eq\f(a,b)+eq\f(b,a)>22=4,D错误;由a+b=1>2eq\r(ab),即ab<eq\f(1,4),因此log2a+log2b=log2(ab)<log2eq\f(1,4)=-2.故C正确.]9.a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1解析a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2),因为a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,于是(a1-a2)(b1-b2)≤0,故a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.10.eq\f(1,2)(a2+b2)>ab(a≠b)解析图(1)所示广告牌的面积为eq\f(1,2)(a2+b2),图(2)所示广告牌的面积为ab,显然不等式可表示为eq\f(1,2)(a2+b2)>ab(a≠b).11.loga(a3+1)>loga(a2+1)解析(a3+1)-(a2+1)=a2(a-1),①当0<a<1时,a3+1<a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1);②当a>1时,a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),∴总有loga(a3+1)>loga(a2+1).12.cn>an+bn解析∵a,b,c∈{正实数},∴an,bn,cn>0.而eq\f(an+bn,cn)=(eq\f(a,c))n+(eq\f(b,c))n.∵a2+b2=c2,则(eq\f(a,c))2+(eq\f(b,c))2=1,∴0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1.∵n∈N,n>2,∴(eq\f(a,c))n<(eq\f(a,c))2,(eq\f(b,c))n<(eq\f(b,c))2.∴eq\f(an+bn,cn)=(eq\f(a,c))n+(eq\f(b,c))n<eq\f(a2+b2,c2)=1.∴an+bn<cn.沁园春·雪<毛泽东>北国风光,千里冰封,万里雪飘。望长城内外
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