2017届高考数学第一轮知识点阶段滚动检测23

训练目标(1)正弦定理、余弦定理；(2)解三角形.训练题型(1)正弦定理、余弦定理及其应用；(2)三角形面积；(3)三角形形状判断；(4)解三角形的综合应用.解题策略(1)解三角形时可利用正弦、余弦定理列方程(组)；(2)对已知两边和其中一边的对角解三角形时要根据图形和“大边对大角”判断解的情况；(3)判断三角形形状可通过三角变换或因式分解寻求边角关系.一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(2)，那么A等于()A．135° B．105°C．45° D．75°2．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，则△ABC的面积S为()A.eq\r(15)B.eq\f(\r(15),2)C.eq\f(\r(15),3)D.eq\f(\r(15),4)3．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个角为30°的直角三角形D．有一个角为30°的等腰三角形4．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sinA等于()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(\r(5),5)5．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，则c的值为()A.eq\f(\r(6)＋\r(2),2) B.eq\f(\r(6)－\r(2),2)C.eq\f(\r(6)±\r(2),2) D．以上均不对6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，则tanB等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)－1C．2 D．2－eq\r(3)7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，则A等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(π,4)8．(2015·嘉兴基础测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，则函数y＝sinB＋cosB的取值范围是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．(0，eq\r(2))二、填空题9．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两个根，且2sin(A＋B)－eq\r(3)＝0，则c＝________.10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC的形状为________三角形．11．设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq\f(a,cosA)＝eq\f(c,sinC)，则A＝________.12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．

答案解析1．C[由正弦定理知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)，所以sinA＝eq\f(\r(2),2)，又由题知BC<AB，得A<C，所以A＝45°.故选C.]2．B[由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·eq\f(7,8).∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×2×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2)＝eq\f(\r(15),2).]3．B[由正弦定理得eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)，又eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，两式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°，所以A＝90°，△ABC为等腰直角三角形．]4．C[由题意得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝2＋9－6eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝5，即AC＝eq\r(5)，则eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，eq\f(3,sinA)＝eq\f(\r(5),\f(\r(2),2))，得sinA＝eq\f(3\r(10),10)，故选C.]5．C[由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(\r(3),2)，∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，∴c＝b·eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，∴c＝b·eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).故选C.]6．D[由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accosB，再由eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，得accosB＝eq\f(1,2)，∴tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)＝eq\f(2－\r(3),2×\f(1,2))＝2－eq\r(3).]7．B[因为S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)＝eq\f(1,4)(2bccosA)＝eq\f(1,2)bccosA，且S＝eq\f(1,2)bcsinA，所以sinA＝cosA，所以tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).故选B.]8．B[依题意得eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－(\f(2ac,a＋c))2,2ac)≥eq\f(2ac－(\f(2ac,a＋c))2,2ac)≥eq\f(2ac－(\f(2ac,2\r(ac)))2,2ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c时取等号，又B∈(0，π)，所以B∈(0，eq\f(π,3)]，因为y＝eq\r(2)sin(B＋eq\f(π,4))，B＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,4)，eq\f(7π,12)]，sin(B＋eq\f(π,4))∈(eq\f(\r(2),2)，1]，所以y∈(1，eq\r(2)]．]9.eq\r(6)解析∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝2eq\r(3)，ab＝2.∵sin(A＋B)＝eq\f(\r(3),2)，又sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵△ABC是锐角三角形，∴C∈(0，eq\f(π,2))，C＝eq\f(π,3).∴根据余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝6，∴c＝eq\r(6)(负值舍去)．10．钝角解析依题意得eq\f(sinC,sinB)<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(B＋A)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0，又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，故△ABC是钝角三角形．11.eq\f(π,4)解析令eq\f(c,sinC)＝k，由正弦定理，得a＝ksinA，c＝ksinC.代入已知条件得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinC,sinC)，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4).12.eq\f(7,8)解析设顶角为C，因为l＝5c，且a＝b＝2c，∴C为最小角，由余弦定理得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4c2＋4c2－c2,2×2c×2c)＝eq\f(7,8).沁园春·雪<毛泽东>