2018届高考理科数学第二轮限时规范训练30

[限时规范训练]单独成册A组——高考热点强化练一、选择题1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是()A．a3＞b3 B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C．ab＞1 D．lg(b－a)＜a解析：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b－a＜1－a，∴lg(b－a)＜0＜a，故选D.答案：D2．已知a，b是正数，且a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)()A．有最小值8 B．有最小值9C．有最大值8 D．有最大值9解析：因为eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且a＋b＝1，即a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)时取“＝”，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为9，故选B.答案：B3．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥－1，,2x－y≤1，,y≤1，))则z＝3x－y的最小值为()A．－7 B．－1C．1 D．2解析：画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线3x－y＝0，可知直线z＝3x－y在点A(－2,1)处取得最小值，故zmin＝3×(－2)－1＝－7，选A.答案：A4．若对任意正数x，不等式eq\f(1,x2＋1)≤eq\f(a,x)恒成立，则实数a的最小值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)解析：依题意得当x>0时，a≥eq\f(x,1＋x2)恒成立．又因为eq\f(1＋x2,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x×\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)>0，即x＝1时取等号，eq\f(1＋x2,x)的最小值为2，eq\f(x,1＋x2)的最大值是eq\f(1,2)，所以a≥eq\f(1,2)，a的最小值是eq\f(1,2)，故选C.答案：C5．若x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))则z＝x＋2y的最大值为()A．0 B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：由x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))可得所表示的可行域如图所示．又∵z＝x＋2y，∴y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，∴目标函数在x＝0与x＋y－1＝0的交点处取得最大值．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴zmax＝0＋2×1＝2.答案：D6．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15，,y≤x＋1，,x－5y≤3))表示的平面区域的面积为()A．7 B．5C．3 D．14解析：作出可行域如图所示．可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))，B(－2，－1)，所以不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15，,y≤x＋1，,x－5y≤3))表示的平面区域的面积为eq\f(1,2)×4×eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)×4×1＝7，故选A.答案：A7．若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)解析：选项A错，因为c＝0时不成立；选项B正确，因为a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0，故a2＞ab＞b2；选项C错，应为eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；选项D错，因为eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)＜0，所以eq\f(b,a)＜eq\f(a,b).答案：B8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,－x＋2，x>0，))则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1] B．[－2,2]C．[－2,1] D．[－1,2]解析：法一：当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0，①当x>0时，－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1]．答案：A9．已知x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))则z＝eq\f(y－1,x＋3)的最大值为()A．2 B．3C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(5,3)解析：不等式组对应的平面区域是以点(3,8)，(3，－3)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))为顶点的三角形，在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))处z取得最大值3，故选B.答案：B10．要制作一个容积为4m3，高为1mA．80元 B．120元C．160元 D．240元解析：设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值．由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xeq\f(4,x)m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160，当且仅当2x＝eq\f(8,x)，即x＝2时取得等号，故选C.答案：C11．若ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有()A．f(5)<f(2)<f(－1)B．f(5)<f(－1)<f(2)C．f(－1)<f(2)<f(5)D．f(2)<f(－1)<f(5)解析：∵ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－2，或x＞4}，∴a＜0，而且函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴方程为x＝eq\f(4－2,2)＝1，∴f(－1)＝f(3)．又∵函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，∴f(5)＜f(3)＜f(2)，即f(5)＜f(－1)＜f(2)，故选B.答案：B12．已知点P(x，y)的坐标满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，y≥x－1，,x＋3y－5≤0，))那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为()A.eq\f(11,5) B．2C.eq\f(9,5) D．1解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x－4y－13＝0，结合图形(图略)可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x－4y－13＝0的距离最近的点是(1,0)．又点(1,0)到直线3x－4y－13＝0的距离等于eq\f(|3×1－4×0－13|,5)＝2，即点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为2，选B.答案：B二、填空题13．设P(x，y)是函数y＝eq\f(2,x)(x＞0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．解析：因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(2)，当且仅当x＝y时等号成立．答案：2eq\r(2)14．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥x，,3x＋2y≤15，))则w＝4x·2y的最大值是________．解析：作出可行域，w＝4x·2y＝22x＋y，要求其最大值，只需求出2x＋y＝t的最大值即可，由平移可知t＝2x＋y在A(3,3)处取得最大值t＝2×3＋3＝9，故w＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51215．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(x－2)；则不等式xf(x)＞0的解集为____________．解析：当x>0时，由条件xf(x)＞0得f(x)>0，即x(x－2)>0⇒x>2.因为f(x)为奇函数，图象关于原点对称，则当x<0时，由xf(x)>0得f(x)<0，则由图象(图略)可得x<－2.综上，xf(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)16．已知a>b，ab≠0，则下列不等式中：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a3>b3；④a2＋b2>2ab.恒成立的不等式的个数是________．解析：当a＝1，b＝－2时，显然①②不成立；对于③，当a，b异号时，a>0>b时，显然有a3>0>b3，当a，b同号时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)>0，所以③恒成立；对于④，a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a2＋b2>2ab，即④恒成立．综上所述，不等式恒成立的个数为2.答案：2B组——12＋4高考提速练一、选择题1．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A．－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b) B．ab<b2C．－ab<－a2 D．|a|<|b|解析：利用作差法逐一判断．因为eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－b,ab)<0，所以－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)，A正确；因为ab－b2＝b(a－b)>0，所以ab>b2，B错误；因为ab－a2＝a(b－a)<0，所以－ab>－a2，C错误；a<b<0⇔|a|>|b|，D错误，故选A.答案：A2．若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜0，,k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＜0，))解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]，故选D.答案：D3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是()A．9 B．8C．4 D．2解析：圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝(b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,c)))＝eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)＋5.因为b，c>0，所以eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥2eq\r(\f(4c,b)·\f(b,c))＝4.当且仅当eq\f(4c,b)＝eq\f(b,c)时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝eq\f(2,3)，c＝eq\f(1,3)时，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)取得最小值9.答案：A4．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sinπx(0<x<2)的对称中心，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A.eq\r(2)＋1 B．4eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．6解析：∵y＝1＋sinπx(0<x<2)的对称中心为(1,1)，∴直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(2a,b)，,a＋b＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝2－\r(2)))时取等号，故选C.答案：C5．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－x－2,x)，由f′(x)＞0得eq\f(2x2－x－2,x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＞0的解集为{x|x＞2}，故选C.答案：C6．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x＜0，))则不等式f(x)＞f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－4x＋6＞3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,x＋6＞3，))解得－3＜x＜1或x＞3.答案：A7．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤2，))若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，则实数m的取值范围是()A．[－1,2] B．[－2,1]C．[2,3] D．[－1,3]解析：在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线－mx＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,10)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝－mx＋y取得最大值；当平移到经过该平面区域内的点(2，－2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z＝－mx＋y取得最小值，结合图形可知，实数m的取值范围是[－1,2]，故选A.答案：A8．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则eq\f(y,x－a)的最大值是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)解析：目标函数可化为y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z.要使目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则－eq\f(1,a)＝kAC＝1，则a＝－1.故eq\f(y,x－a)＝eq\f(y,x＋1)，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点M(－1,0)的连线的斜率，可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋1)))max＝kMC＝eq\f(2,5)，故选A.答案：A9．已知点M(x，y)的坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))N点的坐标为(1，－3)，点O为坐标原点，则eq\o(ON,\s\up10(→))·eq\o(OM,\s\up10(→))的最小值是()A．12 B．5C．－6 D．－21解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝eq\o(ON,\s\up10(→))·eq\o(OM,\s\up10(→))，则z＝x－3y，作出直线l0：x－3y＝0，并平移，易知z＝eq\o(ON,\s\up10(→))·eq\o(OM,\s\up10(→))在点B处取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))得B(3,8)，所以z＝eq\o(ON,\s\up10(→))·eq\o(OM,\s\up10(→))的最小值为3－3×8＝－21，故选D.答案：D10．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈[0，1，,4－2x，x∈[1，2]，))若f(x0)≤eq\f(3,2)，则x0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，log2\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，log2\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)，1))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2))解析：本题考查不等式的解法．利用分段函数建立不等式组求解．f(x0)≤eq\f(3,2)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x0＜1，,2x0≤\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x0≤2，,4－2x0≤\f(3,2)))解得0≤x0≤log2eq\f(3,2)或eq\f(5,4)≤x0≤2，故选C.答案：C11．定义在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)·tanx成立，则()A.eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＞eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))B．f(1)＜2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))sin1C.eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))D.eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))解析：因为0＜x＜eq\f(π,2)，f(x)＜f′(x)tanx，所以f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(fx,sinx)))′＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)＞0，所以y＝eq\f(fx,sinx)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),\f(1,2))＜eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),\f(\r(3),2))，即eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，故选D.答案：D12．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()A．2 B．3C．4 D．log23解析：由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,loga2)＋eq\f(1,logb2)＝log2a＋log2b＝log2(ab)．又a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，即ab≤8，当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log2(ab)≤log28＝3.故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))max＝3.答案：B二、填空题13．实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y＋ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，可知当a＝1或－2时，最大值的最优解不唯一，当a＝－eq\f(1,2)时，最小值的最优解不唯一．答案：1或－214．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))则不等式f(x2－x)>－5的解集为________．解析：先解不等式f(x)>－5⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－4x＋3>－5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－x2－2x＋3>－5，))解得x≤0或0<x<2，即不等式f(x)>－5的解集为(－∞，2)，则不等式f(x2－x)>－5即为x2－x<2，解得－1<x<2，故解集为(－1,2)．答案：(－1,2)15．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－eq\f(3,4)m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：由题意知，m2－eq\f