沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训11特殊平行四边形动态几何压轴题(原卷版+解析)

特训11特殊平行四边形动态几何压轴题一、解答题1．如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．(1)①求证：；②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围．(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数．(3)如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律．2．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．①如图2，若四边形为菱形，求的值；②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．3．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．猜想证明：(1)四边形BE'FE的形状是______；(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；(3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长．4．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是；（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．5．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．6．如图所示，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点(不与A，B重合)，延长BA至点F，使AF=BE，连接CE，DF．(1)判断四边形CEFD的形状，并说明理由；(2)如图①，连接AC，过点E作EH⊥AC，垂足为点H．①证明：AH=EH；②若BE：AE=1：，求∠BCE的度数；③如图②，连接FH，在点E的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．7．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．8．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；(2)如图2，G为的中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．9．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．（1）若，求的长；（2）作，垂足为G，当时，求的度数；（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．10．如图1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ=67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．①当点P与点A重合时，∠DEF=°，当点E与点A重合时，∠DEF=°．②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．13．如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；（2）若AB=2，AG=，求的长；（3）如图2，正方形AEFG绕点A逆时针旋转连结DE，BG，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．14．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB，求证：MB平分．（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．15．图1，在正方形中，，为线段上一点，连接，过点作，交于点．将沿所在直线对折得到，延长交于点．（1）求证：．（2）若，求的长．（3）如图2，延长交的延长线于点，若，记的面积为，求与之间的函数关系式．16．如图1，正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转，连接AF，点M是AF中点．（1）当点G在BC上时，如图2，连接BM、MG，求证：BM=MG；（2）在旋转过程中，当点B、G、F三点在同一直线上，若AB=5，CE=3，则MF=；（3）在旋转过程中，当点G在对角线AC上时，连接DG、MG，请你画出图形，探究DG、MG的数量关系，并说明理由．17．如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．请直接写出线段AF，AE的数量关系；将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．18．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线、折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______和______；______.(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长；(3)如图4，梯形纸片满足，，，，.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出、的长.19．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．①如图3，若，，则______；②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．20．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．21．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．(1)求证：，．(2)若，，求的长．(3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．22．已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．(3)图中若，，求的面积为______．23．（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程；(2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长；(3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．24．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．(1)若；①如图1，若点在边上，的长为；②、、三点在同一直线上时，求的长；(2)如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长．25．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧：(1)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB，CD于点M，N．此时，①∠AEB与∠AMN有什么数量关系？（直接写出即可）②AE与MN之间又有什么数量关系？并说明理由；(2)如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF＝FG，请利用图2做出证明．(3)如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB，CD于点M，N，请你继续探究线段BF与FG之间的数量关系．并证明你的结论．26．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．(1)如图，连结、，判断与的位置关系和数量关系，并证明．(2)如图，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，若，，求．(3)如图，将方形绕点旋转至如图的位置，且，连结，作的角平分线交于点，请写出、、之间的数量关系，并证明．特训11特殊平行四边形动态几何压轴题一、解答题1．如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．(1)①求证：；②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围．(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数．(3)如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律．【答案】(1)①见解析；②四边形的面积S的取值范围为(2)(3)不变，【分析】（1）①过点B作于点F．由正方形的性质结合所作辅助线可得出四边形MBFN为平行四边形，即得出MN=BF，，从而得出，进而可证明．即可利用“ASA”证明，得出AE=BF，从而证明AE=MN；②由，可得出，再根据，即得出，从而得出；（2）连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I．由所作辅助线即可得出，．由BD是正方形ABCD的对角线，可得出，即证明是等腰直角三角形，得出HD=HF，AH=FI．再根据线段垂直平分线的判定和性质得出AF=FE．即可利用“HL”证明，得出，从而可求出，即可求出；（3）过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K．由所作辅助线结合题意易求出，即可利用“ASA”证明，得出，从而得出，进而可证明，即可利用“SAS”证明，得出，即说明F，B，C三点共线．由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明出DH=HK．又可证明(ASA)，得出BP=PK，从而得出．（1）①证明：由正方形的性质可知，，．如图，过点B作于点F．∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN=BF，，∴．∵，∴．∴在和中，∴(ASA)，∴AE=BF，∴AE=MN；②∵，∴，∵E为边BC上一点（不与点、重合），∴．∵正方形的边长为1，∴，，∴，∴；（2）如图，连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I，∵四边形ABCD是正方形，∴．∵，∴，∴四边形ABIH为矩形，∴，．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴，∴是等腰直角三角形，∴HD=HF，AH=FI．∵MN是AE的垂直平分线，∴AF=FE．∴在Rt和Rt中，∴(HL)，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（3）PH的长度不变，理由如下：过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K，∵四边形ABCD是正方形，∴．∵，，∴，．∵，∴．又∵，∴(ASA)，∴．又∵，∴．∵PF=PN，，∴AF=AN，∴，∴，∴．又∵AB=AD，∴(SAS)，∴，∴，∴F，B，C三点共线．∵，∴，，∴DN=KN．又∵，∴DH=HK．∵，∴．又∵，PN=PF，∴(ASA)，∴BP=PK，∴．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键．2．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．①如图2，若四边形为菱形，求的值；②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．【答案】(1)或(2)①7；②；③【分析】（1）连接交于点，根据矩形的性质，得到，分点在点上方和点在点下方两种情况进行讨论，即可求出的值；（2）①连接交于点，结合菱形的性质和矩形的性质证明，从而证出直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，利用勾股定理求出的值，求出的值，即可求解的值；②连接、，根据题意求出四边形的面积，证明四边形是平行四边形，推出，求出，再根据即可求出的值；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小，根据勾股定理即可求解．【解析】（1）解：连接交于点，如图所示∵四边形是矩形，，∴∵、分别是、中点∴，∵四边形是矩形∴∴当点在点上方时，当点在点下方时，∵速度均为每秒2个单位长度∴的值为或（2）解：①连接、，交于点，如图所示∵四边形为菱形∴，，，∵，∴∵矩形∴在和中∵∴∴∴∴直线是线段的垂直平分线∴设，则在中，∴，解得：∴∴的值为7②连接、，如图所示∵四边形的面积是矩形面积的∴四边形的面积为：∵是的垂直平分线∴，由①可得：，由题意可得：，∴∴同理可得：∴∴四边形是平行四边形∴由题意可得：∵∴，解得：∴当四边形的面积是矩形面积的，则的值是，故答案是：；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，如图所示由②可得：四边形是平行四边形∴四边形周长∵对称∴∴当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小∵∴∵=∴四边形周长最小值为．故答案是：．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、最值等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的性质，在解题中灵活运用．3．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．猜想证明：(1)四边形BE'FE的形状是______；(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；(3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长．【答案】(1)正方形(2)CF＝FE'(3)【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形；（2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论；（3）过点D作DG⊥AE于点G，由旋转及四边形BE′FE是正方形可得如下关系：AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（1）可知，△ADG≌△BAE，得到DG＝BE，AG＝BE，再由勾股定理求出DE的长．【解析】（1）四边形BE′FE是正方形．理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四边形BE′FE是矩形，由旋转得，BE′＝BE，∴四边形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，在△ADG和△BAE中，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四边形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋转得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．（3）如图3，过点D作DG⊥AE于点G，∵BE＝FE′，CF＝3，∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝，∴(BE+3)2+BE2＝()2，解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE＝9+3＝12，由（2）得，△ADG≌△BAE，∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，∵∠DGE＝90°，∴DE＝＝＝．【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形．4．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是；（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．【答案】（1）AP=BE；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）首先说明A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出AP和BE的长，即可判断；（2）过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，证明△ABH≌△BEC，得到AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，从而证明四边形AHEP是平行四边形，同理可得AP=EH=BE；（3）过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，证明△ABK≌△DAM，得到BK=AM，求出AP，在△ADP中利用面积法求出DM，可得AM和BK，再利用勾股定理求出BF即可．【解析】解：（1）∵点E在BC上，△PEC为等腰直角三角形，∴PE=CE，∠PCE=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，∴PE=x，PC=x，AC=，∴AP=AC-PC=，BE=BC-CE=1-x，∴AP=BE；（2）成立，如图，过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，∵∠ABC=∠EBH=90°，∴∠CBE+∠ABE=∠ABH+∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABH，又∵BH=BE，AB=BC，∴△ABH≌△BEC（SAS），∴AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，∴∠AHE=∠AHB-∠EHB=∠CEB-45°，∵∠HEP=360°-∠CEB-∠HEB-∠CEP=360°-∠CEB-45°-90°=225°-∠CEB，∴∠AHE+∠HEP=∠CEB-45°+225°-∠CEB=180°，∴AH∥PE，∴四边形AHEP是平行四边形，∴AP=EH=BE；（3）如图，过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，∵∠BAD=∠BAK+∠DAM=90°，∠ABK+∠BAK=90°，∴∠ABK=∠DAM，又∵AB=AD，∠AKB=∠AMD=90°，∴△ABK≌△DAM（AAS），∴BK=AM，∵四边形ABCD是正方形，DP=PC=2，∴AD=CD=4，∠AHE=90°，∴AP=，∴S△ADP=，∴，∴，∴AM=，由（2）可知：△EBH为等腰直角三角形，HE∥AP，∴∠KBF=∠HBE=45°，∴∠F=45°，∴BF==．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．【答案】（1）见解析；（2）①；②【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【解析】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EFAB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝cm，∴菱形BFEP的边长为cm；②当点Q与点C重合时，如图2：点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，如图3所示：点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．6．如图所示，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点(不与A，B重合)，延长BA至点F，使AF=BE，连接CE，DF．(1)判断四边形CEFD的形状，并说明理由；(2)如图①，连接AC，过点E作EH⊥AC，垂足为点H．①证明：AH=EH；②若BE：AE=1：，求∠BCE的度数；③如图②，连接FH，在点E的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．【答案】(1)平行四边形，证明详见解析；(2)①详见解析；②22.5°；③不变，．【分析】（1）由AF=BE，得出AB=EF．由正方形的性质得出CD=AB=BC，CD∥AB，即可证出四边形CEFD是平行四边形；（2）①由正方形的性质，得到∠EAH=45°，由∠AHE=90°，则△AEH是等腰直角三角形，即可得到AH=EH；②由等腰三角形的性质，得到，则BE=EH，然后证明△BCE≌△HCE，即可得到答案；③由，∠EAH=∠HEA=45°，得到△ACE∽△EFH，即可得到．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC，CD∥AB．∵AF=BE，∴AB=EF．∴CD=EF，CD∥EF．∴四边形CEFD是平行四边形．（2）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAH=45°，∵EH⊥AC，∴∠AHE=90°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AH=EH；②∵△AEH是等腰直角三角形，∴，∵BE：AE=1：，∴，∴，∵CE=CE，∠B=∠CHE=90°，∴△BCE≌△HCE（HL），∴∠BCE=∠HCE，∵∠BCH=45°，∴∠BCE=22.5°；③由△AEH是等腰直角三角形，∴∠EAH=∠HEA=45°，在等腰直角△ABC中，有，∵，∴；∵，∴，∴，∴△ACE∽△EFH，∴；∴的值不变，．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．7．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．【答案】(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．【解析】（1）①如图，连接，∵四边形和四边形都是正方形，∴,，∴，∵为的中点，∴，则，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②，证明：如图，延长交于点，连接，∵四边形和四边形都是正方形，∴，，∵落在对角线的延长线上，∴，∴，∴在的延长线上，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，在中，,∴，∴，，∴，∵，，∴，设，，∴，，∵，∴，即，∴；（2）如图，连接，∵∴当在上时，如图，此时最大，，由（1）可知是等腰直角三角形，∵，，∴，，∴∴，∴当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，此时，综上所述，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．8．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；(2)如图2，G为的中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，为或【分析】（1）根据矩形的性质可知点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，可知点到边的距离为1；根据旋转的性质得，即可判定，然后根据平行线的性质即可得到；（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS”可判断，则；（3）根据正方形的性质得CB=CD，而，则和为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当和为钝角三角形时，可计算出α=135°，当和为锐角三角形时，可计算得到α=315°．【解析】（1）解：由题意可知，当点恰好落在边上时，点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，∴点到边的距离为：1，∵CE=1，，∴在中，，∵，∴，故答案为：1，30；（2）证明：∵G为中点，∴，∴，∵长方形绕点C顺时针旋转至，∴，∴，在和中，∵∴，∴；（3）能，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵，∴和为腰相等的两等腰三角形，当时，，当和为钝角三角形时，则旋转角=，当和为锐角三角形时，，则=，即旋转角的值为135°或315°时，和全等．【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．9．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．（1）若，求的长；（2）作，垂足为G，当时，求的度数；（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．【答案】（1）1；（2）；（3）1【分析】（1）如图1中，证明点与重合，可得结论．（2）如图2中，连接．证明是等腰直角三角形，可得结论．（3）如图3中，证明，过点作交的延长线于，在上取一点，使得，连接（见左边图），求出，可得结论．【解析】解：（1）如图1中，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，此时点与重合，．（2）如图2中，连接．是等边三角形，，，，，，，，．（3）如图3中，由翻折可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，过点作交的延长线于，在上取一点，使得，连接，，，设，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．10．如图1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ=67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）PQ2＝PF2+AQ2，理由见解析【分析】（1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE＝DF，则由此判断四边形AEFD是平行四边形，然后由：邻边相等的平行四边形是菱形，证得结论；（2）根据勾股定理，即可求解；（3）如下图，作辅助线，构建三角形全等，证明△PDQ≌△GDQ，得PQ＝GQ，在Rt△AGQ中，根据勾股定理可得结论．【解析】（1）由平移，得AE∥DF，AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵矩形ABCD，∴∠B=90°，∵BE=AE＝，∴AE＝4，又∵AE＝AD＝4，∴四边形AEFD是菱形．（2）由（1）得：△ABE是等腰直角三角形∴∠AEB=45°，∵AE∥DF，∴∠F=∠AEB=45°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB=45°，∴∠GAE=90°，∵△DCF绕点D旋转得到△DGA，∴GA=CF＝，∴．（3）PF、AQ、PQ之间的数量关系为：PQ2＝PF2+AQ2．理由如下：由（2）得：∠AEB=45°，∴∠ADF=∠AEF=135°，∵AD＝DF，∴将△DFP绕点D逆时针旋转135°得△DAG，连GQ，如图，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F=45°，∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ=67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ而DG＝DP，DQ为公共边，∴△PDQ≌△GDQ，∴PQ＝GQ，∴PQ2＝PF2+AQ2．【点睛】本题目是四边形的综合题型，难度偏高，涉及的知识点有旋转、平移、菱形的判定、勾股定理、三角形全等等重要中考的考点，熟练掌握这些知识点的综合运用是解答本题的关键．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．【答案】（1）45°；（2）①四边形BEFG是菱形，8；②y＝（0＜x＜12）【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠AEF即可解决问题．（2）①证明四边形BEFG是菱形，根据垂线段最短，求出BE的最小值即可解决问题．②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．证明△ABG≌△DBE（SAS），推出AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，推出DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，根据DE2＝EH2+DH2，构建方程求解即可．【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）①如图2中，连接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EB＝EF，∴四边形BEFG是菱形，∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝2，∴四边形BGFE的周长的最小值为8．②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，∴DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴y2＝x2+（4﹣x）2，∴y2＝x2﹣12x+48，∴y＝（0＜x＜12）．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．①当点P与点A重合时，∠DEF=°，当点E与点A重合时，∠DEF=°．②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．【答案】（1）①90，45；②；（2）0.6；（3）1．【分析】（1）①当点与点重合时，是的中垂线，可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分；②如图3中，证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可；（2）连接，由折叠性质可证，设．根据全等性质用x表示出线段关系，再由中可列方程求解；（3）如图，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以．【解析】解：（1）①当点与点重合时，是的中垂线，，当点与点重合时，此时，故答案为：90，45．②如图2中，设与交于点，由折叠知垂直平分．，，矩形，，，，，，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，当时，设菱形边长为，则，在中，，，菱形的周长．（2）如图3中，连接，设．由折叠知，，，，，，，，，在中，解得．．（3）如图中，连接，，．，，，此时的最小值，，，当与重合时，的值最小，由折叠得：，由勾股定理得：，，当，，共线时，有最小值，，则的最小值是1．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．13．如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；（2）若AB=2，AG=，求的长；（3）如图2，正方形AEFG绕点A逆时针旋转连结DE，BG，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)；(3)不变，与的面积之差为0【分析】(1)在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB，从而△EAB≌△GAD，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；(2)设BD与AC交于点O，由AB=AD=2，在Rt△ABD中求得DB，在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得结果；(3)作BQ⊥GA交GA的延长线于Q，作DP⊥EA交EA于P，可证得∠1=∠2，根据“AAS”可判断△PDA≌△QBA，所以PD=BQ，然后根据三角形面积公式得到，保持不变．【解析】(1)如图1，∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG=AE，AB=AD，∠EAG=90°，∠DAB=90°，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，∴∠GAD=∠EAB，在△EAB和△GAD中，，∴EAB≌GAD(SAS)，∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，∵∠EOH=∠AOG，∴∠EHG=∠EAG=90°，∴EB=GD且EB⊥GD；(2)如图2，连接BD，BD与AC交于点O，∵AB=AD=2，在RtABD中，，∴AO=DO=，∴，∴；(3)不变，．理由如下：作BQ⊥GA交GA的延长线于Q，作DP⊥EA交EA于P，如图3，正方形ABCD和正方形AEFG中，∠EAG=∠DAB=90°，AD=AB，∴∠EAD+∠BAG+∠EAG+∠DAB=360，则∠BAG=180°-∠EAD，∵∠1=90°-∠EAD，∠2=∠BAG-90°=180°-∠EAD-90°=90°-∠EAD，∴∠1=∠2，在△PDA和△QBA中，，∴△PDA≌△QBA(AAS)，∴DP=BQ，∵，，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、三角形面积公式，作出辅助线，利用三角形全等是解题的关键．14．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB，求证：MB平分．（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．【答案】（1）AG=EC，AG⊥EC；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）CM=BN．【分析】（1）由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解决问题；②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线；（3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：∵正方形BEFG，正方形ABCD，∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABG和△BEC中，，∴△ABG≌△BEC（SAS），∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，延长CE交AG于点M，∴∠BEC=∠AEM，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC，AG⊥EC；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM交BC于O．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC，在△ABG和△CEB中，，∴△ABG≌△CEB（SAS），∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG⊥EC．②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，∵△ABG≌△CEB，∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，∴EC•BP=AG•BH，∴BP=BH，∴MB平分∠AME；（3）CM=BN，理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ，∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN，在△ABQ和△BCM中，，∴△ABQ≌△BCM（SAS），∴CM=BQ，则CM=BN．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．15．图1，在正方形中，，为线段上一点，连接，过点作，交于点．将沿所在直线对折得到，延长交于点．（1）求证：．（2）若，求的长．（3）如图2，延长交的延长线于点，若，记的面积为，求与之间的函数关系式．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）先证，再据ASA证明△ABP≌△BCQ，可证得BP=CQ；（2）连接，先证，得到，设AN=x，用x表示出ND；再求出DQ和的值，再在RT△NDQ中用勾股定理列方程求解；（3）作QG⊥AB于G，先证MB=MQ并设其为y，再在RT△MGQ中用勾股定理列出关于x、y的方程，并用x表示y；用y表示出△MBQ的面积，用x表示出△的面积．最后据用x、y表示出S，并把其中的y用x代换即可．【解析】（1）在正方形ABCD中，，，，，，，．（2）在正方形ABCD中连接，如下图：由折叠知BC=，又AB=BC，∠BAN=90°∴，，，，，，，设，，，，，．（3）如下图，作，垂足为，由（1）知∵∠MBQ=∠CQB=∠MQB∴BM=MQ设，则．，，，故．【点睛】此题综合考查了正方形性质、三角形全等，勾股定理等知识点，其关键是要熟练掌握相关知识，能灵活应用．16．如图1，正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转，连接AF，点M是AF中点．（1）当点G在BC上时，如图2，连接BM、MG，求证：BM=MG；（2）在旋转过程中，当点B、G、F三点在同一直线上，若AB=5，CE=3，则MF=；（3）在旋转过程中，当点G在对角线AC上时，连接DG、MG，请你画出图形，探究DG、MG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）DG=MG，理由见解析．【分析】(1)连接MG并延长交AB于N点，证明△ANM≌△FGM后得到MG=MN，AN=CG，进而得到BN=BG，得到△ANG为等腰直角三角形，即可证明MG=MB.(2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.(3)先画出图形，然后证明△ADG≌△ABG，得到DG=BG，又△BMG为等腰直角三角形，故而得到DG=BG=MG.【解析】解：(1)连接MG并延长交AB于N点，如下图所示：∵GF∥AN，∴∠NAM=∠GFM，在△ANM和△FGM中，，∴△ANM≌△FGM(ASA)，∴MG=MN，CG=GF=AN，∴AB-AN=BC-CG，∴NB=GB，∴△NBG为等腰直角三角形，又M是NG的中点，∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：故有：MG=MB.(2)分类讨论：情况一：当B、G、F三点在正方形ABCD外同一直线上时，延长MG到N点，并使得MG=MN，连接AN，BN，∴，∴△AMN≌△FMG(SAS)，∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM，∴AN∥GF，∴∠NAB+∠ABG=180°，又∠ABC=90°，∴∠NAB+∠CBG=90°，又在△BCG中，∠BCG+∠CBG=90°，∴∠NAB=∠BCG，∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)，∴BN=BG，∠ABN=∠CBG，∴∠ABC=∠NBG=90°，∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°，在Rt△BCG中，，过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形，∴MH=BH=HG=BG=2，在Rt△MFH中，，情况二：当B、G、F三点在正方形ABCD内同一直线上时，如下图所示，延长MG到MN，并使得MG=MN，连接NA、NB，同情况一中证明思路，，△AMN≌△FMG(SAS)，∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM，∴AN∥GF，∴∠NAB=∠ABG，又∠ABG+∠GBC=90°，∠GBC+∠BIF=90°，∴∠BIF=∠ABG，又∠BIF=∠BCG，∠ABC=∠NAB，∴∠NAB=∠GCB，∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)，∴BN=BG，∠ABN=∠CBG，∴∠ABC=∠NBG=90°，∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°，在△BCG中，，过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形，∴MH=BH=HG=BG=2，∴HF=HG-GF=2-1=1，在Rt△MFH中，，综上得：或(3)由题意作出图形如下所示：DG、MG的数量关系为：DG=MG，理由如下：∵G点在AC上∴∠DAG=∠BAG=45°在△ADG和△ABG中：，∴△ADG≌△BAG(SAS)，∴DG=BG，又由(2)中的证明过程可知：△MBG为等腰直角三角形，∴BG=MG，∴DG=MG，所以：DG=MG.【点睛】本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识，难度很大，关键是要能正确做出图形，利用数形结合的思想，熟练的使用正方形的性质是解题的关键.17．如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．请直接写出线段AF，AE的数量关系；将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．【答案】（1），证明见解析；（2）①②或．【分析】（1）如图①中，结论，只要证明是等腰直角三角形即可；（2）①如图②中，结论：，连接EF，DF交BC于K，先证明≌再证明是等腰直角三角形即可；②分两种情形a、如图③中，当时，四边形ABFD是菱形；、如图④中当时，四边形ABFD是菱形分别求解即可．【解析】（1）如图①中，结论：．理由：四边形ABFD是平行四边形，，，，，，，是等腰直角三角形，．（2）①如图②中，结论：．理由：连接EF，DF交BC于K．四边形ABFD是平行四边形，，，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，是等腰直角三角形，．②如图③中，当时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，∵AC=AD，CE=DE，AE=AE，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠DEH=∠CEH，∵ED=EC，EH=EH，∴△DHE≌△CHE（SAS），∴∠EHD=∠EHC，∴，∴，∴，如图④中当时，四边形ABFD是菱形，同理可求，综上所述，满足条件的AE的长为或．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．18．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线、折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______和______；______.(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长；(3)如图4，梯形纸片满足，，，，.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出、的长.【答案】（1）AE，GF，1：2（2）AD=13（3）7或或5【分析】（1）由图可直接得到第一、二空答案，根据折叠的性质可得△AEH与△ABE面积相等、梯形HFGA与梯形FCDG面积相等，据此不难得到第三空答案；（2）对图形进行点标注，如图所示：首先根据勾股定理求得FH的长，再根据折叠的性质以及请到的知识可得AH=FN，HD=HN，然后根据线段和差关系即可得到AD的长；（3）根据题目信息，动手这一下，然后将结合画出来，再结合折叠的性质以及勾股定理的知识分析解答即可．【解析】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG=S平行四边形ABCD，∴S矩形AEFG：S平行四边形ABCD=1：2；故答案为AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，∴FH==13，由折叠的性质得：AD=FH=13；由折叠的对称性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN．易得△AEH≌CGF，所以CF=AH，所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13．（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM=FM=4，∴GM=CM==3，∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，∴GH=CD=5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，∵∠B=90°，∴FM=BM==3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，∴AD+BC=，∴BC=-x，∴MC=BC-BM=-x-3，∵MN=MC，∴3+x=-x-3，解得：x=，∴AD=，BC=-=；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的边长EF=GF=4，GM=FM=4，CM==3，∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，∴AD=5．【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识，本题综合性强，有一定难度．19．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．①如图3，若，，则______；②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．【答案】(1)；理由见解析(2)(3)①；②【分析】（1）过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论；（2）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；（3）①过点分别作垂足分别为，则，证明，设，根据，求得，即可得出；②连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果．【解析】（1）∵四边形是正方形，，，，过点作分别交、于点、，如图所示：四边形为平行四边形，，，，，，，在和中，，（），，；（2）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：四边形是正方形，四边形为矩形，，，，是正方形的对角线，，是等腰直角三角形，，，是的垂直平分线，，在和中，，（），，，，是等腰直角三角形，，故答案为：．（3）①解：如图所示，过点分别作垂足分别为，则在正方形对角线上，，是等腰直角三角形，，，又，，，，设，，，解得：，则，故答案为：．连接交于点，如图所示：则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，，，，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，点在上，，在和中，，（），，，，，，，，，，，，，，，，由翻折性质得：，在和中，，（），，'，是正方形的对角线，，则，，，，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，点为的中点，，则的最小值为．【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．20．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．【答案】(1)(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析(3)或【分析】（1）连接，延长交于H，证明，得到，再证明，即可得到：，再由，即可证明；（2）连接，与交于点，证明，得到，再证明，即可得到：，再由即可证明；（3）分两种情形：当点P在的延长线上时或点P在线段的延长线上时，连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长可得结论．【解析】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示，∵四边形是菱形，，∴，都是等边三角形，，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可证是等边三角形，∴，∴，即，又∵，∴．故答案为：；（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：如图，连接，如图所示，∴，为等边三角形，在和中，，又∵，∴，∴，∴，，设与交于点H，同理可得，∴，又∵，∴．（3）解：如图3中，当点P在的延长线上时，连接交于点O，连接，作于F，如图所示，∵四边形是菱形，∴，平分，∵，∴，∴，∴，∴，由（2）知，∵，，∴，由（2）知，∴，∴，∴，∵是等边三角形，，∴，∴；如图4中，当点P在的延长线上时，∵，，∴，∴，∴，∴；综上所述，的面积为或．【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．21．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．(1)求证：，．(2)若，，求的长．(3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)；(3)与的面积之差不变，且．【分析】（1）根据证明，得，再根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；（2）由，在中求得，从而得和的长，最后利用勾股定理即可求得结果；（3）如图3，过A作于P，过C作于Q，先证明，得，可得，从而得结论．【解析】（1）证明：如图1，∵四边形和是正方形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图2，连接与交于点M，∵，在中，，∴，∴，∴；（3）解：与的面积之差不变，且，如图3，过A作于P，过C作交其延长线于Q，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，又，∴，∴．【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键．22．已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．(3)图中若，，求的面积为______．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）分别证明、，根据全等三角形的性质解答；（2）由（1）的证明方法相同，证明即可；（3）根据题意求出的面积，根据全等三角形的性质解答．【解析】（1）解：猜想：，证明如下：如图，在的延长线上，截取，连接，∵在和中，∴，，，，，，，，∵在和中，，，又，；（2）解：，证明如下：如图，在上截取，连接，∵和中，，，，，即，，，∵在和中，∴，，，；（3）解：∵，，的面积为：，则的面积为．故答案为：．【点睛】本题为四边形的综合题，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键．23．（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程；(2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长；(3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)，证明见详解；(2)8；(3)，证明见详解