1-2复变函数的极限(复变函数)

第一章复数与复变函数第二节复变函数的极限与连续性作业：P3018;22(2,4,6,8,10);24；26;30。2.1复平面上的区域邻域内点开集全体内点构成的集合,内部intD.边界点中，既有属于D的点，又有不属于D的点.边界邻域边界点边界外部闭区域有界区域和无界区域区域D邻域区域连通的开集单连通域与多连通域单连通域多连通域区域D区域D(1)圆环域:例1

判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:解(1)有界域(2)无界域(3)无界域(4)无界域如果x=x(t),y=y(t)(a

t

b)为连续函数时,连续曲线光滑曲线均连续，且简单曲线或约当曲线没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.

例2

指出下列不等式所确定的点集,是否有界?是否区域?如果是区域,单连通的还是多连通的?解2.2复变函数的概念设G是复平面上的点集,若对任何z

G,都存在惟一确定的复数w与z相对应,称在G上确定了一个单值复变函数，用w=f(z)表示.

G称为函数的定义域，对应于z的所有w的全体称为函数的值域.定义1（复变函数）复变函数与自变量之间的关系映射由于一个复变函数反映了两对变量u,v和x,y之间的对应关系，因而无法用同一平面内的几何图形来表示，必须看成是两个复平面上的点集之间的对应关系.两个特殊的映射关于实轴的对称映射，而且对应图形是全同的.将一个幅角为的角形域映射为幅角为的角形域反函数（一一对应、单叶函数）例3

在映射下，求下列平面点集在w平面上的像：（1）线段还是线段（3）双曲线一条直线（2）扇形还是扇形解（1）线段（2）扇形（3）双曲线例4设有函数，试问它把z平面上的下列曲线分别映成平面上的什么曲线？解关于复变函数的几点说明：（1）复变函数的定义在形式上与实一元函数的定义几乎完全一致,但反映试问实质则不同。复变函数反映的是z平面上的点集与平面上点集间的对应关系，而实一元函数反映两个实轴上的点集间的对应关系，只需用平面上的一条曲线就可以直观地表示，显然要简单地多。（2）相当于两个实二元函数讨论一个复变函数的极限和分析性质可借助于实二元函数中相应的理论.2.3复平函数的极限与连续性设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的,存在

,使得当

时,恒有成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并记作或复变函数极限的性质（1）唯一性（2）有界性（3）有理运算法则注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复杂得多，要求也苛刻的多。定理1.1（极限计算）设函数例5

当z0时,函数极限不存在.方法1.沿方法2.沿不同射线注：复变函数无穷小也是指极限为0的变量。解复变函数的连续性设f(z)在z0的邻域内有定义,且

则称f(z)在z0处连续.

若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.定理1.2

设则f(x)在处连续的充分必要条件是都在点连续.连续函数的性质：（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数;（2）连续函数的复合函数是连续函数.例6试证argz在原点与负实轴上不连续.解例7映射，求圆周的像.从x,y之间的关