2021-2022学年广东省汕头市九年级上册数学期末试卷（一）含答案

2021-2022学年广东省汕头市九年级上册数学期末试卷(一)

一、选一选(共10小题，每小题3分，满分30分)

1.下列方程是一元二次方程的是()

A.ax2+bx+c=0B.3x2-2x=3(x2-2)

C.x3-2x-4=0D.(x-1)2-1=0

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

解：A、当a=0时，方程ax2+bx+c=0是一元方程，故本选项错误；

B、方程3X2-2X=3(X2-2)是一元方程，故本选项错误；

C、方程x3-2x-4=O是一元三次方程，故本选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确.

故选D.

考点：一元二次方程的定义.

2.已知。。的直径为5,若尸0=5,则点尸与。。的位置关系是()

A.点尸在。0内B.点尸在上C.点尸在。。外D.无法判断

【答案】C

【解析】

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则『时,

点在圆外；当d=r时，点在圆上；当时，点在圆内.

【详解】解：r=-=2.5,

2

Vt/=5>2.5,

点尸在0O外，

故选C.

【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为/■，点到圆心的距离

为d,则有：当■时，点在圆外；当d=z'时，点在圆上，当时，点在圆内.

3.二次函数y=x2+2的顶点坐标是()

A.(1,-2)B.(1,2)C.(0,-2)D.(0,2)

【答案】D

【解析】

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【分析】已知二次函数y=x?+2为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标.

【详解】试题分析：：Vy=x2+2=（x-0）2+2,

顶点坐标为（0,2）.

故选D.

4.如图，BD是。O的直径，点A、C在。O上，AB=BC,ZAOB=60°,则NBDC的度数

A.60°B.45°C.35°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据圆周角定理即可求解.

【详解】如图，连结OC,

,:彘=前，

•••NBDC《NAOB=460*30。

【点睛】本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对

的弦是直径.

5.若一+4》一4=0,则3（》一2）2-6（》+1）（》一1）的值为（）

A.-6B.6C.18D.30

【答案】B

【解析】

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【详解】解：・"+4%一4=0,

,x2+4x=4，

・，・原式=3(炉—4x+4)—6(x2—1)

=3x2-12x+12-6x2+6

=-3X2-12X+18

=-3(X2+4X)+18

=-12+18

=6

故选B.

6.正十二边形的每一个内角的度数为()

A.120°B.135°C.150°D.108°

【答案】C

【解析】

【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角得出每个内角的度

数.

【详解】正十二边形的每个外角的度数是：

则每一个内角的度数是：180°-30°=1500.

故选项为：C.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，掌握多边形的外角和等于360度，正确理解内角与外角的

关系是关键.

7.已知点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，则a+b的值为()

A.3B.-3C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出如6的值即可.

【详解】I•点/(1,a)、点、B(b,2)关于原点对称，

。=-2,b=-1,

Aa+b=-3.

故选B.

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【点睛】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.

8.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油

的深度为（）

A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm

【答案】A

【解析】

【分析】连接OA,过点。作OEJ_AB,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长，再根据勾

股定理求出OM的长，进而可得出ME的长.

【详解】解：连接OA,过点。作OE_LAB,交AB于点M,交圆。于点E,

•直径为200cm,AB=160ctn,

OA=OE=100cm,AM=80cm,

・•.OM=y]OA2-AM2=71002-802=60cm，

，ME=OE-OM=100-60=40cm.

故选：A.

考点：（1）、垂径定理的应用；（2）、勾股定理.

9.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AABC的顶点都在格点上，将4ABC绕点C顺时

针旋转60。，则顶点A所的路径长为（）

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R屈CM■

L.10nB.-------C.-------n

33

【答案】c

【解析】

【详解】如图所示：

在RtZXACD中，AD=3,DC=1,

根据勾股定理得：AC=yjAD2+CD2=V10，

又将4ABC绕点C顺时针旋转60°,

则顶点A所的路径长为［=竺生上叵=典万.

1803

故选C.

10.如图，正方形4BCD的边长为3cm,动点P从8点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA

运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从8点出发，以lcm/s的速度沿着边加向A点运

动，到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△8PQ的面积为y(cm?),则y关于x的函

数图象是()

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y(cm3)y(cn?)

g、D'_0L

o\123x(s)0\123x(5)

【答案】c

［解析］

【详解】解：由题意可得BQ=x.

①OVxVl时，P点在BC边上，BP=3x,

则△BPQ的面积=/P・80,

可得片!・3x・x=—x2；

22

故A选项错误：

②1<XS2时，尸点在CD边上，

则△BPQ的面积8Q・BC,

3

可得y=v*x*3=—x;

22

故B选项错误；

③2VXV3时，P点在AO边上，AP=9-3x,

则△8PQ的面积=，AP・8Q,

,i93,

可得(9-3x)*x=­x—x"；

222

故D选项错误.

故选：C.

二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)

11.一元二次方程x(x+3)=0的根是.

【答案】X］=0,x2=-3

【解析】

【分析】用因式分解法解方程即可.

【详解】解：x(x+3)=0,

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x=0或x+3=0,

X]=0,=_3；

故答案为：X]=0,x2=-3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0,这两个数至少有一个为0是

解题关键.

12.将二次函数串=，的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的

表达式为.

【答案】y=x2+4x+4.

【解析】

【详解】试题分析：平移后二次函数解析式为：y=（x+2）2=x?+4x+4,故答案为

y=x2+4x+4.

考点：二次函数图象与几何变换.

13.若|b-l|+JT丁=0,且一元二次方程b2+公+6=0有实数根，则k的取值范围是—.

【答案】k£4且kwO.

【解析】

..I----b—1=0b=1

【详解】试题分析：•；b—l+J』=0,{,八={.

11a-4=0a=4

...一元二次方程为kx2+4x+i=0.

:一元二次方程kx2+4x+i=o有实数根，

kH0

•・•口”。=1且k”

考点：（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.

14.如图，已知等边AABC的边长为6,以AB为直径的00与边AC,BC分别交于D,E两点，

则劣弧DE的长为.

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【解析】

【详解】解：连接OD、0E,

是等边三角形，

ANA=NB=60°,

•：OA=OE=()B=OD=3,

：./\OAE和△08。都是等边三角形,

:.ZAOE=NBOD=60。,

：.ZEOD=60。,

二劣弧。E的长60%*3==n,

180

故答案为：式.

15.如图，正方形0/8C的两边。4、0c分别在x轴、y轴上，点。(5,3)在边45上，以C

为，把ACDS旋转90。，则旋转后点。的对应点。，的坐标是.

【答案】(2,10)或(-2,0)

【解析】

【详解】:点D(5,3)在边AB上，.-.BC=5,BD=5-3=2,

①若顺时针旋转，则点D，在x轴上，OD=2,所以，D(-2,0),

②若逆时针旋转，则点D，到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,所以，D，(2,10),

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综上所述，点D，的坐标为（2,10）或（-2,0）.

故答案为：（2,10）或（-2,0）.

16.如图，在00的内接五边形ABCDE中，NCAD=35。，则NB+NE=

【解析】

【详解】解：连接CE

:五边形ABCDE为内接五边形

四边形ABCE为内接四边形

.*.ZB+ZAEC=180°

又.../CAD=35

；.NCED=35。（同弧所对的圆周角相等）

ZB+ZE=ZB+ZAEC+NCED=180°+35°=215°

故答案为：215.

【点睛】本题考查正多边形和圆.

三、解答题（共3小题，满分18分）

17.用公式法解方程：x2-x-2—0.

【答案】x,=2,X2=-1

【解析】

【详解】试题分析：先求出的值，再代入公式求出即可.

试题解析：解：Va=Lb=-l,c=-2,△=fe2-4ac=（-1）2-4xlx（-2）=9>0,

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..."士〃jj生,解得…=2,々=-1.

2a2

18.如图为桥洞的形状，其正视图是由①和矩形48CQ构成.。点为无所在。。的圆心，

点。又恰好在43为水面处.若桥洞跨度。＞为8米，拱高(。8_1弦。于点F)E/为2米.求

无所在0。的半径

【答案】5米

【解析】

【详解】试题分析：

设半径OD=r,则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE±CD,根据“垂径定理”可得DF=/CD=4,

这样在RtAODF中由勾股定理建立方程就可解得r.

试题解析：

设。0的半径为r米，则OF=(r-2)米，

VOE1CD

DF=yCD=4

在Rtz2iOFD中，由勾股定理可得：(rlp+dZur2,

解得：r=5,

CD所在。0的半径DO为5米.

19.如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2),

将AABC以点C为旋转旋转180°,画出旋转后对应的△ABC，并写出B,的坐标.

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J小

【答案】见解析，4（3,2）出（0,0）

【解析】

【详解】试题分析：根据旋转的性质作出力、B、C绕点C旋转180。后对应的点，连接即可.

试题解析：解：如图：

由图可得：4（3,2）,（0,0）.

四、解答题（共3小题，满分21分）

20.某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级（1）班的2名男生、1名女生（男生用A,B表示,

女生用a表示）和九年级（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示，女生用b表示）共5

人中随机选出2名主持人，用树状图或列表法求出2名主持人来自没有同班级的概率.

3

【答案】见解析，一

5

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【解析】

【详解】试题分析：首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果，由选出的是2名主持

人来自没有同班级的情况，然后由概率公式即可求得.

试题解析：解：列表可得：

ABcab

AABACAaAb

BBABCBaBb

CCACBcaCb

aaAaBaCab

bbAbBbCba

共有20种等可能的结果.名主持人来自没有同班级的情况有12种，...2名主持人来自没有

123

同班级的概率为：—

205

点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以没有重复没有遗漏

的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注

意概率=所求情况数与总情况数之比.

21.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=l.

(1)求证：2a+b=O：

(2)若关于x的方程ax、bx-8=0的一个根为4,求方程的另一个根.

【答案】(1)见解析；(2)x=-2

【解析】

【详解】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据(1)中所求，再将x=4代入方程

求出a,b的值，进而解方程得出即可.

试题解析:(1)证明：,对称轴是直线x=l=-------,b=-2a2a+b=O；

2a

(2)；ax2+bx-8=0的一个根为4,；.16a+4b-8=0,Vb=-2a,A16a-8a-8=0,

解得：贝为：2

a=l,lJb=-2,...af+bx-8=0x-2x-8=0,

则解得：

(x-4)(x+2)=0,4=4,X2=-2,

故方程的另一个根为：-2.

考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点

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22.如图1,若AABC和AADE为等边三角形，M,N分别是BE,CD的中点，

（1）求证：AAMN是等边三角形.

（2）当把4ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若没有成

立请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）CD=BE.理由见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）由等边三角形的性质得到48=ZC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=60°,从

而得到8E=CD,再由中点的定义得到EN=Z）N,即有从而可以得到结论；

（2）可以利用SAS判定全等三角形的对应边相等，所以CD=BE.

试题解析：解：（1）;△/3C和是等边三角形，，/BMC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=60°,

：.AB-AE=AC-AD,BPBE=CD,：.M,N分别是8E,。的中点，:.EM*BE,DN*CD,

:,EN=DN,：.EM+AE=DN+AD,即⑷V=4W,VZBAC=60°,ZUMV是等边三角形；

（2）CD=BE.理由如下：

:△/8C和2UOE为等边三角形，：.AB=AC,AE=AD,NBAC=NEAD=60°.

"：ZBAE=ZBAC-ZEAC=60°-ZEAC,ZDAC=ZDAE-ZEAC=60°-ZEAC,NBAE=NDAC,

L.ABE=AJCD,:・CD=BE.

五、解答题（共3小题，满分27分）

23.用长度一定的没有锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②中的一种）.设竖档AB=x

米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的没有锈钢材料总长均指各图中所有黑线的长度和，

所有横档和竖档分别与AD、AB平行）

（1）在图①中，如果没有锈钢材料总长度为12米，当x为多少时・，矩形框架ABCD的面积为3

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平方米？

(2)在图②中，如果没有锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S?

面积是多少？

3

【答案】(1)1米或3米；(2)-13平方米.

2

【解析】

【详解】试题分析：(1)先用含x的代数式(12-3x)+3=4-x表示横档的长，然后根据矩

形的面积公式列方程，求出x的值.

4

(2)用含x的代数式(12-4x)+3=4--x表示横档4)的长，然后根据矩形面积公式得到二

3

次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的面积以及对应的x的值.

解：(1)由题意，BC的长为(4-x)米，依题意，得：

x(4-x)=3>即x2-4x+3=0,解得xi=l,X2=3.

答：当Z8的长度为1米或3米时，矩形框架48CD的面积为3平方米.

444

(2)根据题意，由图2得，4D=(12-4x)+3=4-§x,Z.S=AB>AD=x(4--x)=--x2+4x

433

配方得S=—(x—)'+3,当尸一时，S取值3.

322

3

答：当％=—时，矩形框架的面积，面积是3平方米.

2

点睛：本题考查的是二次函数的应用.(1)根据面积公式列方程，求出x的值.(2)根据面积

公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值.

24.如图，在△Z3C中，NC=90。，点O在4c上，以。4为半径的。。交48于点。，8。的垂

直平分线交BC于点E,交BD于点、F,连接DE.

(1)判断直线OE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若RC=6,8C=8,OA=2,求线段的长.

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c

【答案】（1）直线。石与。O相切；（2）4.75.

【解析】

【分析】（1）连接O。，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明NEO8+NOD4

=90。，进而得出0。，。石,根据切线的判定即可得出结论；

AHOA

（2）连接OE,作0"_L4D于〃.则/〃=O”,由△ZOHSAZBC,可得——=—，推出

ACAB

612

AH',4D=《,设DE=BE=x,CE=8-x,根据列出方程

即可解决问题；

【详解】（1）连接OQ,

•••石尸垂直平分8。，

:・EB=ED,

；・NB=NEDB,

•；OA=OD,

：.ZODA=ZA,

VZC=90°,

・・・NZ+N8=90。，

：.ZEDB+ZODA=90°f

：.ZODE=90°f

：.OD±DEt

•••DE•是。。的切线.

(2)连接OE,作O”_LZO于”.则Z"=O"，/AHO=/C=90。,

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"ZCAB=HAO,

：.AAOHsAABC,

•AH_0A

,•京—布’

,AH2

••,

610

612

.-AH——,AD=—,

55

设DE=BE=x,CE=8-x,

；0炉=。戌+。£>2=£。+0c2,

/.42+(8-x)2=22+x2,

解得：x=4.75,

：.DE=4.15.

【点睛】本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等

知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方

程解决问题，属于中考常考题型.

25.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，

抛物线Ci：yi=-2x?+4x+2与C2：y2=-x2+mx+n为“友好抛物线

(1)求抛物线C2的解析式.

(2)点A是抛物线C2上在象限的动点，过A作AQ_Lx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的值.

(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(-1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,

使线段MB绕点M逆时针旋转90。得到线段MB，，且点B，恰好落在抛物线C2上？若存在求出

点M的坐标，没有存在说明理由.

【答案】(1)V2=-X2+2X+3.(2)—；(3)(1,2)或(1,5)

4

【解析】

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【详解】试题分析：(1)先求得yi顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、

n的值；

(2)设A(a,-a2+2a+3).则OQ=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，依

据配方法可求得OQ+AQ的最值；

(3)连接BC,过点B'作B，DJ_CM,