高中数学北师大必修1学案第二章12 生活中的变量关系 对函数的进一步认识

§1&§27生活中的变量关系对函数的进-步认识

2.1函数概念

映葡EW加秋i当课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P23〜27,思考并完成以下问题

1.当两个变量满足什么条件时，才称它们之间有函数关系？

2.函数的概念是什么？

3.函数的自变量、定义域、值域是如何定义的?

4.什么是区间？

［新加初提］

1.函数关系

并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.只有满足对于其中一个变量的每一个值，另

一个变量都有唯一确定的值与之对应时,才称它们之间有函数关系.

2.函数的有关概念

给定两个非空数集A和员如果按照某个对应关系/,对于集合4中任何一个数x,在

集合B中都存在唯一确定的数与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函

数,记作f：8,或y=*x),xCA.此时,x叫作自变量，集合叫作函数的定义域，集

合&正出叫作函数的值域，习惯上称y是x的函数.

［点睛］

(1)函数符号y=/(x)可用任意字母表示，如y=g(x).

⑵犷x)”表示x对应的一个函数值，是一个数，不是/与x的乘积.

(3)uf:A^Bn表示4fB的函数，/为对应关系，不同的函数中，/的具体意义不同.

3.区间

(1)区间的概念与记法：

设“，方是两个实数，而且“〈从我们作出规定：

定义名称符号几何表示

闭区间I”,力]-f—

开区间-6----

{x\a<x<b}(〃，b)abx

{x\a^：x<b}左闭右开区间一，b)----K

{x\a<x^b]左开右闭区间(a,bl----L

(2)无穷大:

实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”，“一8”读作“负无

穷大”，“+8”读作“正无穷大”.我们可以把满足x2a,x>a,x幼的实数x的集合

分别表示为［a,+8),(a,+8),(-8,勿，(一8,加.

定义符号数轴表示

「a,+8)—al-----------x-

{x\x>a}(a,+8)£X

(-8,加

{x|xWb}bx

{x|x<6}(一8,b)£x

［点睛1

(1)区间是连续数集的另一种表示形式.

(2)“8”是一个符号，而不是一个数，表示的是变化趋势.

［小锹才手］

1.判断下列说法是否正确，正确的打“J”，错误的打“X”.

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系.()

(2)对于一个函数产危),在定义域内任取一个x值，可以有多个函数值y与其对应.()

⑶任何数集都能用区间表示.()

(4)集合｛x|x22｝可用区间表示为［2,+8］.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X

2.下列说法正确的是()

A.函数的定义域和值域可以是空集

B.函数的定义域和值域一定是数集

C.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应

D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了

解析：选B由函数的定义知A,C错误，B正确.对D,函数的值域是由定义域和对

应关系决定的，定义域和对应关系确定后，值域也就确定了，但定义域和值域确定不了对应

关系，故D选项是错误的.

3.若函数/(幻=2/+3*—5,则＜2)=.

解析：八2)=2X2?+3X2—5=8+6—5=9.

答案：9

4.数集｛x|xV—2,或x20｝.用区间表示为.

答案：(-8,-2)U［0,+~)

5.集合｛x|x2一1,且xW5｝用区间表示为.

答案：［-1,5)U(5,+~)

字课堂讲练设计，举一能通类题

题型一依赖关系的判断

［典例］下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？

①正方形的面积和它的边长之间的关系；

②姚明罚球次数与进球数之间的关系；

③施肥量与作物产量之间的关系；

④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系.

［解］①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③中两个变量间

有依赖关系，但不是函数关系.

分析两个变熹是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的.

［活学活用］

张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥Xkg,每亩地小麦产量为ykg,贝!!()

A.x,y之间有依赖关系B.x,y之间有函数关系

C.y是x的函数D.x是y的函数

解析：选A小麦产量与施肥有关系，但这种关系又不是确定的.

题型二

［典例］设M={x|0WxW2},N={y|0WyW2},给出下列四个图形，其中能表示从集合

M到集合N的函数关系的有()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

［解析］

图号正误原因

①Xx=2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.

②V同时满足任意性与唯一性.

③Xx=2时，对应元素y=34N,不满足任意性.

④Xx=l时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.

［答案］B

判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合48是否是非空数集，其次验证对应关

系下，集合力中数x的任意性，集合夕中数y的唯一性.

［活学活用］

图中(1)(2)(3)(4)四个图像各表示两个变量x,y的对应关系，其中表示y是x的函数关系

的有.

解析：由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图像至多有一个交点，对于

本题而言，当一l4aWl时，直线x=a与函数的图像有且仅有一个交点，当”>1或“V-1

时，直线x=a与函数的图像没有交点.从而表示y是x的函数关系的有(2)(3).

答案：⑵⑶

|题型三同一函数的判断

7

［典例］判断下列函数是否为同一函数:

x2—4

(l-x)=与g(x)=x+2；

(26x)=4/寿i与g(x)=、x(x+l)；

(3求X)=必一2*—1与g(f)=P-2f-l；

(4求x)=l与g(x)=x°(xWO).

［解］(16》)的定义域中不含有元素2,而g(x)定义域为R,即定义域不相同，所以不是

同一函数.

(2求制的定义域为［0,+°°),而g(x)的定义域为(-8,-1］U［O,+°°),定义域不相同，

所以不是同一函数.

(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用f表示，但它们的定义域相同，对应

关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同

一函数.

(46x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x#=0},因此不是同一函数.

函数有三个要素：定义域、值域和对应关系，值域是由定义域和对应关系确定的，所以

只要定义域和对应关系相同，这两个函数就是同一函数.

下列各组函数中是同一函数的是()

A./(x)=x°,g(x)T

B.f(x)=yjx+l-\lx—i,g(x)=y]x2—l

1,x<0,g(f)衅

C.Ax)=

~x,x>0,

D.兀r)=x,g(f)=#

解析：选A对B,定义域不同；对C,f>0,g(Z)=l,/<0,g(f)=T;对D,g(t)=邓

=|/|.

题型四求函数的定义域

［典例］求下列函数的定义域:

(l)y=2x+3；(26幻=*；

(3)y=、x-l+、l-x；(4)y=^zy.

［解］⑴函数y=2x+3的定义域为{xlxCR}.

(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x+1学0,x右一1.故函数的定义域为{x|x丰一

1).

x—120,(x^l,

⑶要使函数式有意义，则，、即彳/所以x=l,从而函数的定义域为同丫

.1—x，0,IxWl,

=1}.

x+1

(4)因为当了2—1*0,即x*±l时，f二J有意义，所以函数的定义域是{x|x丰±1}.

求函数定义域的一般方法

当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量X的取值

范围.

求函数定义域的一般方法为：

(1m*)为整式型函数时，定义域为R;

(2)/U)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；

(3加用为二次根式(偶次根式)型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；

(4)函数y=x°中的x不为0；

(5)如果函数是一些简单函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各个简单函数

定义域的交集；

(6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求.需要注意的是定义域必须用集合

或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“U”连接.

［活学活用］

如图所示，用长为1的铁丝完成下部为矩形、上部为半圆形的框架，若

半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数解析式，并写出它的定义°°

域.

AFG,，、，■g1-2x-7TXI.1—2x-7TX,nx2一

解：AB=2X9CD的长=7rx,于是AZ)=彳,因此，y=2x*彳+="，即

f2x＞0,

兀+4」

2x+”•由［1「1—2x一—n＞x。，

得0＜工＜］;，此函数的定义域为(0,V。

题型五

函数值域的求法

［典例］求下列函数的值域:

(l)j=x+bxe{1,23,4,5)；

(2)y=x2—2x+3,xG［0,3);

2x+l

⑶尸有

(4)y=2x—yjx—1.

|解](1)(观察法)因为xG{1,2,3,4,5},分别代入求值，可得函数的

值域为{2,3,4,5,6}.

(2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-l)2+2,由xG[0,3),再结合函数的

图像(如图)，可得函数的值域为[2,6).

、心也**2x+l2(x—3)+77

(3)(分离常数法)尸三-=2+—>

显然不M丰0,所以丁手2.故函数的值域为(一8,2)U(2,+°°).

(4)(换元法)设1,则x=/+l,且£20,

所以丁=2俨+1)—[=2£—：2+学，由£，0,再结合函数的图像，如图所示，可得函数的

值域为+°°.

O

求函数值域的方法

求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则后，值域

就完全确定了，但求值域特别要注意方法.常用的方法有：

(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图

像的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法.

(2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方.在充分注意到自变量取值范围的情

况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法.

(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函

数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积

累.除了上述常用的方法外，还有分离常数法、数形结合法等，应注意选择最优的解法.总

之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

[活学活用I

求下列函数的值域：

(l)j=^2x+l+l；⑵尸旨

解：(1)因为#2x+l》0,所以“上+1+1川,即所求函数的值域为[1,+8).

1—x22

(2)因为》=9=-1+讦J,

又函数的定义域为R,所以/+121,

2

所以0石不贝幼£(一1,1].

所以所求函数的值域为(-1,1].

诏《睬闻喊军受效课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.已知函数式©=*则H=()

C.aD.3a

解析：选DQ=|=3a.

a

2.函数y=)l—x+5的定义域为()

A.{x|xWl}B.{小》。}

C.{x|xmL或xWO}D.{力0这x近1}

1-x^O,

解析：选DJ、0O&W1.

x^O

3.函数的图像与x=l的交点最多有()

A.0个B.1个

C.2个D.以上都不对

解析：选B利用函数的定义，对于集合A中的任意一个数x,在集合3中都有唯一确

定的数1x)和它对应，所以函数的图像与x=l的交点最多有1个.

4.下列各组中的两个函数为相等函数的是()

A.fix)=yjx+i-^/x—1,g(x)=^/(x+l)(x—1)

B.f(x)=(^2x—5)2,g(x)=2x—5

1-x1+x

c-/3=币与8⑴=不

d-©=呼与8(产

解析：选DA中，八幻=4工+1々”-1的定义域为{x|x》l},g(x)=yj(x+l)(x—1)的定

义域为{x|x21,或工<一1},它们的定义域不相同，不是相等函数；B中，f(x)=g-W

的定义域为卜|x》|},g(x)=2x-5的定义域为R,定义域不同，不是相等函数；C中，y(x)

1—X1+x

=*2+]与g(x)=x2+i的对应关系不同,不是相等函数；D中，J[x)=x=x(x>0)与g(x)

=/(f>0)的定义域和对应关系都相同，它们相等.

5.设犬*)=上1，则%:

6.设集合4=[-2,10),8=[5,13),贝!JCR(ACB)=.(用区间表示)

解析：；4=[-2,10),B=[5,13),.,.AnB=[5,10),

.,.CR(AnB)=(-oo,5)U[10,+oo).

答案：(一8,5)U[10,+8)

7.设函数/k)=2x-Lg(x)=3x+2,则式2)=,g(2)=,%(2))=

解析：｛2)=2X2-1=3,g(2)=3X2+2=8,

/(g(2))=/(8)=2X8-l=15.

答案：3815

8.函数y=,16一产的值域为.

解析：；x22o,.•.16-x2W16.又要使函数有意义，则16一好》0,即0^16-X2^16,

0^\16—故函数瓦与的值域为[0,4].

答案：[0,4]

9.已知函数尸"[?"]'的定义域为A,函数y=d7百+1的值域为3,求API氏

|x|一x20,

解：要使函数？="!_j有意义,则

.X学;1,

即x=#l....A=(—8,1)U(1,+°°).

V^/x+1^0,.,.j=Vx+l+l^l,

/.B=[l,+°°),."「5=(1,4-0°).

10.已知函数/(x)="\/x+3+A^,

⑴求函数的定义域；

(2)求1-3),/g)的值；

(3)当a>0,求加)，小0—1)的值.

x+3》0,

解：(1)要使函数有意义，则,一

[x+2#=0,

即X2-3且x*—2,

故函数的定义域为Wx2—3,且x手一2}.

(2/-3)=、-3+3+^^=0-1=-1.

(3)因为a>0,所以{a),44一1)有意义，

所以1/(a)=Ya+3+Vp

加-1)=.(1)+3+(」)+2=而^+击

层级二应试能力达标

1.若H")==，则方程式4x)=x的根是()

A,2B.~2

C.2D.-2

4x—1

解析：选A,：f(4x)=-^-=x,.,.4x2-4x+l=0,

.1

..x2,

2.若集合4={xly=«r—1},B={jly=x2+2},则4nB=()

A.[1,+°°)B.(1,+00)

C.[2,+8)D.(0,+«>)

解析：选C集合A表示函数7=五=1的定义域，则4={“仅21},集合3表示函数y

=必+2的值域，则B=bly22},故AnB={x|x22}.

3.若函数<x)="2—1,Q为一个正数，且财—1))=—1,那么〃的值是()

A.1B.0

C.一1D.2

解析：选AV/(x)=ax2—l)=a—1,=-

a(a~l)2=0.

又为正数，.\a=l.

4.若函数y=|x|的定义域为M={-2,0,2},值域为N,则MCN=()

A.{-2,0,2}B.{0,2}

C.{2}D.{0}

解析：选BVA/={-2,0,2},xGM,.,.当x=0时，j=0;当x=±2时，y=2,得N

={0,2},.♦.MnN={0,2}.

5.若函数_Ax)的定义域为[2a-l,a+1],值域为[a+3,40,则a的取值范围为.

(2a—l<a+l,

解析：由区间的定义知<)=^l<a<2.

[a+3V4a

答案：(1,2)

6.已知集合A={x|x24},g(x)=厂名=的定义域为B,若403=0,则实数a的取

y/l—x+a

值范围是.

解析：由题可知，g(x)的定义域为{x[x<a+l},集合4={*像24},若使An8=0,则需

a+l<4,解得aW3.

答案：(一8,3]

7.求下列函数的值域：

(l)fix)=x2-2x,其定义域为A={0,l,2,3}；

(2)j=x2-4x+6,x6[l,5)；

(3)/=^|_；；(4)y=x+yj2x—l.

解：(1)分别令x=0,l,2,3,得#0)=0,41)=一1,

犬2)=0,八3)=3,所以函数的值域为{-1,0,3}.

(2)将y=/—4x+6配方，得y=(x-2)2+2,又xW［l,5),结合函数图像(图略)可知，函

数的值域是［2,11).

2工2—133

(3)y=KF=2一正五，由好+121,得0V正qW3,即有一l<yV2,所以函数的

值域是［—1,2).

(4)设则x=一1。20),于是y=(—+，=5(1+。2,又f20,故丁，1所

以函数的值域是1,十8).

8.已知函数/Cr)=]+1・

⑴求人2)+/Q),人3)+/G)的值;

(2)求证：f(x)+f(J是定值;

(3)求人2)+/&)+43)+/自+…+大2O16)+/(J辅的值•

x222\27/i\32(3J

解：(l)：/W=l+x2,•••#2)+/0=1+22+]+e=1，*)+/©=l+32+]+G)2

=1.

小x2a

⑵证明：•^)+/(2=用+项

♦1「+1

1+x2X2+l-X2+l~,

(3)由(2)知｛x)+/g)=l,.\A2)+/©

=1,大3)+娟=1,大4)+姬

=1,/(2016)+4小)=1....八2)+/(；)+/(3)+/Q)+-+/(2016)+/(*)=2

015.

2.2函数的表示法

喙踞㈤I侬曲课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P28〜31,思考并完成以下问题

1.函数的表示方法有哪几种方法？

2.什么样的函数是分段函数?

［新和初建］

1.函数的三种表示方法

函数的表示方法通常有三种，它们分别是列表法、图像法和解析法.

(1)列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法.

(2)图像法：用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法.

(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这

种方法称为解析法.

［点睛］

(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观.但是，它只能表

示有限个元素间的函数关系.

(2)图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势.

(3)解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质.但是，一些实际问

题很难找到它的解析式.

2.分段函数

有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的

函数称为分段函数.

［点睛］分段函数是一个函数，而不是几个函数.

［小辑―一］

1.判断下列说法是否正确，正确的打“J”，错误的打“X”.

(1)任何一个函数都可以用解析法表示.()

(2)分段函数各段上的对应关系不同，因此分段函数是由几个不同函数构成的.()

(3)分段函数分几段，其图像就有相应的几段.()

(4)分段函数的定义域部分可以有公共部分.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X

2.已知函数./U)由下表给出，则43)等于()

X1«222<x^4

於)123

B.2

C.3D.不存在

答案：C

3.函数/U)的图像如图所示，则Ax)的定义域是.

域是.

答案：[-1,2)(-1,1]

x+1,xWl,

4.已知函数fix)=则f

—x+3,x>l,

答案：2

5.已知/(X)是一次函数,且其图像过点4(-2,0),8(1,5)两点，则Ax)的解析式为

解析：据题意设Ax)=ar+b(a#=0),

\-2a+b=Q,

又图像过点A(—2,0),5(1,5).,

(a+b=5,

解得Z>=-y././(x)=1x+^.

答案：1Ax)=|x+¥

字课堂讲练设计，举一能通类题

函数图像的画法

［典例］作出下列函数的图像.

x(xGZ);

(2)j=2x2—4x—3(0^x<3).

［解］(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y=l-x上(：xGZ,.RGZ),

这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分；

(2)V0^x<3,，这个函数的图像是抛物线丁=2炉一标一3介于0<xv3之间的一段曲线,

且y=2x2—4x—3=2(x—1)2—5,当x=0时，y=­3;当x=3时，j=3,如图②所示.

F亩春法是表示函孩的方法之一，画菌薮亩春时，以定义域、对应关系为依据，采用'

列表、描点法作图.当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮

助作图.

(2)作图像时，应标出某些关键点.例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要

分清这些关键点是实心点，还是空心点.

［活学活用］

函数产x+片的图像是()

解析：选C

当x>0时，y=x+l;当时，y=x—1.

[x+1,x>0,

即y=\故其图像应为C.

[工一1,x<0,

一趣受法

题型二峰回路特

求函数的解析式

［典例］求函数的解析式.

(1)已知八x)是一次函数，且加a))=9x+4,求大x)的解析式;

(2)己知心6+1)=%+25，求大x)；

(3)已知2y0)+/(x)=x(x^O),求l/U).

［解］(1)(待定系数法)设_/W=Ax+贴手0),

则欢x))=A(Ax+》)+6=A2x+必+〃=9X+4.

k2=9,

Al,解得M=3,5=1或/=-3,5=-2.

(kb+b=4.

'.f(x)=3x+l或/(x)=-3x—2.

(2)法一(配凑法)：

•.•4#+1)=》+2m=(5+1)2-1(正+1，1),

/./(x)=x2—1(x^1).

法二(换元法)：

4^+1=制》1),则x=(r-i)2(，2i),

:.财=«—1)2+2次«—1)2=产一1(f》1).

.依)=好一1(x21).

(3)(消元法)：Ax)+〃(^)=x,令x代换;的值，

/)+2”)=*,

得娟+的）=%于是得关于犬X）与"）2Y*

的方程组1解得於）=K-3

⑷+2於)=7

（x*0）.

求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析

式，再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式.

（2）换元法（有时可用“配凑法”）：已知函数_/ig（x）］的解析式求/（X）的解析式，可用换元法（或

"配凑法"），即令g（x）=t,反解出X,然后代入J［g（x）］中求出/«）,从而求出/（X）.

（3）消元法（或解方程组法）：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变

量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由

两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做

消元法（或解方程组法）.

］活学活甬r

已知《1+0=耳在+：,试求/（X）.

11l+x2

解：法一（换元法）：令，=1+房，则，e（—8,i）u（i,+°°）,于是x==p代入-/

+1中，可得犬f）=F-f+l,即_Ax）=x2-x+l,XG（—8,1）U（1,+8）.

i+》21x2+2x+i2x,i,IYI.c&…i

法二(配凑法):A1+x)=-+x=-P-一手+7(1+方一(1+#1，因为1+1

所以函数解析式为/(x)=/—x+1,xe(-oo,1)U(1,+°o).

一题多张

题型三题极显现

分段函数

题点一：已知分段函数求函数值

x+LxW—2,

求八一5),八一g),五一1))的值.

1.已知函数Ax)=jX2+2x，-2<x<2,

〔2x—1,x22.

解：由一5£(—8,—2],一小£(一2,2),—^G(-oo,-2],知八_5)=_5+1=_4,

八一3)=(一5>+2(一小)=3—2市.

-m=v+i=c-2<-1<2,

((5。(3、(3\./3、

•0可尸「5尸十2X1以=13=F.

题点二：已知分段函数值求自变量(或参数)

X+LxWO,

2.已知函数4x)=J若兀r)=10,则*=_________.

[―2x,x>0,

解析：当xWO时，x2+l=10,即必=9,：.x=~3.

当x>0时，-2*=10,则*=一5(舍去)，故x=-3.

答案：一3

题点三：分段函数图像问题

3.已知函数人外的图像如图所示，则人》)的解析式是.口

解析：的图像由两条线段组成，.•.由一次函数解析式求法可得，L

x+1,-1近xVO,--1or\；1*

八')=1nVT户

Lx,OWxWLI

x+1,-IWXVO,

答案：犬x)=

-X,04x41

题点四：分段函数的应用

4.某汽车以52km/h的速度从A地行驶到260km处的8地，在5地停留1.5h后，再

以65km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数.

解：因为260+52=5(h),2604-65=4(h),所以，当0WtW5时，s=52t;当5VfW时，s

=260;当V/W时，s=260+65(，-6.5).

(52t,0Wf《5,

所以s=360,5VK,

1260+65(/一),V0O.5.

(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.

(2)多层V，的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.

(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的

值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析

式再求解.

(4)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，

可先将各段的图像分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图像.

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1.已知/(x)是反比例函数，且/(-3)=-1,则/(x)的解析式为()

33

A.B.

C./(x)=3xD.f(x)=-3x

解析：选B•.外)是反比例函数，.•.设式x)=§(E0).又-3)=—1,...2=一1,

3

即k=3.：.f(x)=~.

P+]x2]

2.已知函数Ax)==二1则—1))的值等于()

x+Lx<0,

A.5B.2

C.-1D.-2

解析：选A1)=-(-1)+1=2,

.W-1))=/12)=22+1=5.

3.函数/(x)的图像如下图,则该函数的定义域与值域分别是()

A.[-3,4],[-1,2]

B.[-3,1]U[2,4],[-2,1]

C.[-3,1]U(2,4],[-2,2]

D.[-3,4],[-2,2]

答案：C

4.已知若一l)=2x+3,则大6)的值为()

A.15B.7

C.31D.17

解析：选C令一l=f,得x=2f+2.将x=2f+2代入《一l)=2x+3,得大t)=4f+7,

.,如)=4x+7,

.•,716)=4X6+7=24+7=31.

5.某人去上班，由于担心迟到，因此跑着赶路，直到跑累了再走完余下的路程.如果

用纵轴表示与工作单位的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图像中比较符合此人走

法的是()

解析：选D一开始离工作单位最远，排除A、C;开始跑得快，故在较少时间内离工

作单位越来越近，故一开始时减得快，后来减得慢，即开始时倾斜程度较陡，后来较缓.

6.已知函数人幻，g(x)分别由下表给出

X123

Ax)131

X123

g(x)321

则虑⑴)的值为

满足/(g(x))>g(r(x))的x的值是

解析：1Ag(1))=人3)=1.

X123

131

1Ag(x))

g(/W)313

故yig(x))>g(Ax))的解为x=2.

答案：12

7.如图，函数八x)的图像是折线段A8C,其中A,B,C的坐标

分别为(0,4),(2,0),(6,4),贝(|欢0))=.

解析：结合图像可知#0)=4,则加0))=犬4)=2.

答案：2

8.某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米元；

如果超过100千米，超过部分按每千米元定价，则客运票价M元)与行程x(千米)之间的函数

关系式是.

解析：由题意得，当OWxWlOO时，j=x;当x>100时y=100X+(x-100)X=10+x.

答案：y=错误！

9.画出下列函数的图像：

(g)=x,xGN*；

(26x)=[x](表示不超过x的最大整数)；

(36x)=|x+刀；

-X-1,-1,

(4)f(x)='x2—x—2,-1VXW2,

.x~2,x>2.

解：(1次x)=x,XCN*表示分段函数

p,x=l,

f(x)=\2,x=2,图像是一列点，

如图⑴：

1

2315*

图(1)

-2,-2^x<~l,

-1,T«0,

(26x)=[x]=<0,OWxVl,

1,1«2,

2,2&V3,

如图⑵:

图⑵

x+2,x，-2,

(31/(x)=|x+2|=画出y=x+2的图像，取［-2,+8)上的一段；画

-x—2,x<—2.

出y=-x—2的图像，取(一8,—2)上的一段，如图(3)所示:

图⑶

(4)画出一次函数y=-x—1的图像，取(一8,—1］上的一段；画出二次函数y=x2—%

-2的图像，取上的一段；画出一次函数y=x-2的图像，取(2,十8)上的一段，如

图(4)所示：

图(4)

10.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路

程时汽车里程表读数$km与时间th的函数解析式，并作出相应的图像.

解：(1)阴影部分的面积为

50X1+80X1+90X1+75X1+65X1=360.

阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为

360km.

’5("+2004,0«,

80(/-1)+2054,

⑵根据图像，有s==490(f-2)+2134,20<3,

75(/-3)+2224,34<4,

、65。-4)+2299,44,45.

相应的图像如图所示:

|2x,

1.函数由x)=12,

l<x<2,的值域是()

x'2

A.RB.|0,4-00)

C.[0,3]D.[0,2]U{3}

解析：选D作出y=<x)的图像.

由图像知，八x)的值域[0,2]U{3}.

2.已知函数/(X)满足/(x)+"(3-x)=x2,则大X)的解析式为()

A./(x)=x2—12x4-18B./(x)=1x2—4x4-6

C.1x)=6x+9D.贝x)=2x+3

解析：选B由1x)+於3-x)=f可得火3-x)+»U)=(3—x)2,由以上两式解得#x)

3.若xGR,_/(x)是y=2—y=x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为()

A.2B.1

C.-1D.无最大值

解析：选B在同一坐标系中画出函数y=2-*2,y=x的图像如图所示，根据题意，坐

标系中实线部分即为函数Ax)的图像.，x=l时，f(.x)mm=l.

0，x为有理数，

4.设贝x)=jO,x=0,g(X)=c.工烟料则加⑺)的值为()

1—1,x<0,lo,x为无理数，

A.1B.0

C.