数系的扩充和复数的概念教学设计-高一年级下册数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念

——教学设计

课题数系的扩充和复数的概念

教材新人教A版高中教科书数学必修第二册第七章第一节

课型概念新授课课时安排第一课时

一、教材分析

•简述教材内容：《数系的扩充和复数的概念》是新人教A版高中数学必修第二册第七章第一节的内

容。本节包括数系的扩充和复数的概念。教材从解一元二次方程入手，展开对负数开平方的探究，

从而引出数系的扩充过程和方法，进一步总结复数的概念及其分类、性质。

•从知识结构分析：本节内容是在前有数集的基础上对数系进行扩充引出复数集，完成了高中阶段最

后一次数系的扩充；另外复数的概念又为后面学习复数的几何意义、复数代数形式的四则运算奠

定基础。因此，本节具有承前启后的作用，也是本章的重点内容。

•从方法论的角度分析：借助前数集的扩充经验，在实数集的基础上通过类比、化归、从特殊到一般

的思想方法扩充得到复数集；在探究复数的分类和性质方面涉及有分类讨论、类比推理等思想方

法，从而发展学生的直观想象能力、数学抽象能力、逻辑推理能力和数学运算能力。

•从课标栗求的角度分析：课标对本节课的要求是“通过方程的解认识复数；注重对复数的代数表示

的理解；适当融入数学文化，让学生体会数系过程中理性思维的作用”，因此，本节课将从社会发

展和解方程(主)两个角度入手，重点探究实数集的扩充过程及复数的概念形成，同时融入与复

数有关的数学史，让学生感受数系发展和形成的历史背景。

二、学情分析

(1)学生的知识储备：已学习自然数集、整数集、有理数集和实数集及其性质，

能在特定数集上熟练解决一元一次方程；已有一定的从特殊到一般的思想方法的

经验，有利于自主形成复数的概念。

1.认知基础

(2)学生的学习特点：高二阶段的学生求知欲强，对历史、社会充满好奇心，

具有一定观察、分析、解决问题的能力，抽象思维能力处于迅速发展阶段，逻辑

思维和推理能力初步形成。

(1)对负数开平方带有不确定性，缺乏对负数开平方的条件的清晰认识；

2.认知困难

(2)对复数引入的实际意义、实际应用的理解。

三、教学目标

(1)了解数系的扩充过程和引入复数的必要性；

1.知识与技能(2)理解复数的概念及代数表示；

(3)掌握复数的分类及复数相等的条件。

(1)经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数

2.过程与方法系的扩充，感悟引入虚数的必要性及合理性；

(2)引导运用化归、从一般到特殊的思想方法引入虚数单位i,构建复数的概

念，培养学生的逻辑思维和抽象能力；

(3)通过观察、分析获得复数的分类和相等性质，体会知识获得的过程和与旧

知的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力。

(1)体会数系扩充过程中数系结构与数的变化，感受人类理性思维的作用与现

实世界的联系，形成正确的数学观；

3.情感态度与价值观

(2)感受引入虚数的引入过程，培养学生的创新意识和创新能力；

(3)拓展数学视野，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。

四、教学重点、难点

(1)数系扩充的过程和方法；

重点

(2)对i的规定和理解复数的概念。

难点虚数单位i的引入和复数概念的理解。

五、教学用具

黑板，多媒体，PPT,小蜜蜂

六、教学流程

\温故知新探究学习激学导思归纳小结\\课后作业\

/铺锭百阶夕引出概念〃学以或论/^尤化认知/深化提高/

七、教学过程

教学

教学内容教师活动学生活动设计意图

环节

从社会和数学两个角度带领学生回顾数系的扩充过程。

教师引导从社会发

【问题1】截至目前，我们都学习过哪些数集？这些数集之间学生复习展的角度

(-)

有什么关系？旧知，通回顾数系

温

预设回答：自然数集、整数集、有理数集、实数集。后面的数过多媒体的扩充过

故

集包含前面的数集，即后一■个数集是前一■个数集的扩充。带领学生程，一■方面

知

【追问】为什么要扩充数系？从数学史学生回忆、让学生感

新

预设回答：满足社会发展需要和解决数学内部矛盾。和解方程思考并回悟数学与

两个角度答。生活息息

铺

【数学史】

回忆数系相关，另一

设

从满足社会发展需要的角度，以图文结合的形式简单回

台的扩充过方面以图

顾数系扩充的过程。

程，最后文的形式

阶

总结数系进行有利

【解方程】

于调动学

从解决数学内部矛盾的角度，通过在特定数集中求解方的扩充原

程回顾数系的扩充过程。则。生学习的

①久+2=1在自然数集有解吗？若无解，引入什么新数积极性；从

后有解？此时自然数集扩充为何数集？方程的角

②2%=5在整数集中有解吗？若无解，引入什么新数后度分析是

有解？此时整数集扩充为何数集？导入的重

③％2=2在有理数集中有解吗？若无解，引入什么新数点，在回顾

后有解？此时有理数集扩充为何数集？复习数集

负整数分数无理数的扩充过

111程中引导

自然数一整数一有理数一实数

学生发现

x+2=l2x=5x2=2

每一次扩

充的“机

遇”和共同

【总结】数系扩充的原则

原则，帮助

(1)增加新元素；

学生做好

(2)加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留；

进行数系

(3)新数系能解决旧数系中的矛盾。

的进一步

扩充的预

备性反应，

充分发挥

定势的积

极作用。

探究一引入虚数单位i在复习了

教师提学生思前面数系

(二)【问题2】/=一1在实数集中有解吗？为什么无实数解？

问，针对考，被指扩充的基

探预设回答：在实数集中没有解。因为在实数集中对7开平方

学生的回名学生回础上继续

究没有意义。

答进行适答。引出“负

学【追问】怎样才能使方程有解？类比前面数系的扩充，你能

当修正，数不能开

习想到什么？

引导得出学生思考方”的方

预设回答：引入新数扩充实数集，使负数开方在新数集中有

引正确答后集体回程问题，

意义。

出案。答。启发学生

概【问题3】引入什么新数能解决所有负数开平方问题？(提利用前有

念示：负数不能开平方的根本原因是什么？)教师提问，经验对数

系进行进

V-121=J121x(-1)=V121x用引导性

V-25=J25x(-1)=V25xV-1问题启发学生在教一步扩

学生，师生

yj—a=Jax(―1)=y[axV—l(a>0)师的引导充；通过

通过举例下思考、举例子、

预设回答：7不能开平方。引入一个新数，使它的平方等于

子、化归的探究。观察、化

-1问题就解决了。

思想方法归的方

教师：同学们真聪明！现在让我们一起来看看以前的数学家

共同探究。法，经历

事怎么定义这个数的。

将复数开

平方问题

教师讲授学生认真转化为对

1777年，瑞士数学家欧拉首次

相关数学听讲。-1开平方

引入i,规定12=—1.它取自

史。的过程，

..imaginary(想象的，假想的)

感受从源

-词的词头,并把它称为虚数

头上解决

单位

数学问题

的一般方

【问题4]由此我们可以解得：法，同时

教师带领学生集体培养学生

V-121=7121x(-1)=V121xd=12i

学生运用回答。的逻辑推

V-25=05x(-1)=V25xV^l=5i新知解决理能力和

=Jax(—1)=y[axV-T=y[ai(a>0)前面提出抽象概括

的问题C能力C

探究二引出复数的概念

(三)

【问题5】数系扩充保留运算律，那么在实数集中引入新数i根据前面

激

后，新的数集中包含哪些数？以实数2和-1为例，请大家写教师提问，学生在教总结的数

学

出它们和i进行加法和乘法运算的结果。引导学生师的引导系扩充的

导

预设回答：2、2+i、2i、—1、—i,—1—i-1+2i,...进行相应下进行计原则，引

思

【追问】借鉴有理数的代数形式形成的经验，你能从以上例的运算。算探究。导学生从

子归纳出它们的代数形式吗？新数集保

学

教师通过学生观看留运算律

以

ppt演示ppt内容的方面进

致

简单回顾回忆10行探究；

用

旧知，以此知，同时结合学生

启发学生思考解决的学业发

进行学习教师提出展水平，

迁移。的问题。通过列举

具体例子

和回忆相

关经验，

使学生易

懂能懂，

教师通过学生带着明确问

实％li

ppt演示自己思考题，点拨

2+0i

2+li呈现复数的成果比思路，启

0+2i的代数形对结果，发学生通

-1+Oi

0-li式的形成认真听过观察、

—1—1i过程。讲。分析、归

—1+2i

a+bi(a、beR)纳出复数

的代数形

【探究2小结】

式。在此

教师引导学生认真过程中锻

(1)定义：形如。+4(。,6€/?)的数称为复数学生共同听讲，思炼学生分

其中i叫做虚数单位。。总结出复考并集体析问题、

⑵全体复数组成的集合称为复数集，记做C,数的概念回答。解决问题

用描述法表示为C={a+bl\a,bER}.，及相关描的能力，

(3)表示：复数通常用字母z来表示，即。述方法。提高学生

z=a+bi(a,bER),a与b分别叫做复数z的实部的迁移意

与虚部。，识，感受

z=a+bi(a,bER)~

迁移学习

虚数单位寸的过程及

先分析后学生思其带来的

【探究2巩固】答题，引考，在老成果，提

说出下列复数的实部和虚部：导学生条师的指导高学习兴

(1)2+i(2)-3-i(3)i理清晰地下开始抢趣。

(4)-V2i(5)n(6)0思考作答。

分析步骤：答。

①是否为标准形式？

②实部是？虚部是？(注意符号)

小结：化标准—得“虚实”充分利用

“最近发

探究三理解复数的概念展区”理

【问题6】小组讨论：教师引导学生在教论，引导

观察以下复数的结构，你能将它们分成几类？学生根据师的引导学生利用

(1)2+i(2)-3-i(3)i结构对复下对各数现有的水

(4)-V2i(5)n(6)0数进行分进行观平对问题

预设回答：分为三类：不含i、含i和只含i,即实数、虚数类，之后察、分类、进行自主

和纯虚数。教师明确理解、分观察分

【追问】观察它们的实部和虚部的特点，实部a和虚部b满呈现类析，自主析，在教

足什么条件时为实数？什么情况下为虚数？纯虚数呢？名，顺势获得复数师的适当

让学生分的分类的引导下主

【探究3小结1】

析归属为知识。动建构认

各类时满知结构，

(1)当6=0,即z=a(aCR)时为实数；，

足的条获得新

(2)当b#0,即2=a+bi(a,bER,0)时为虚数。、

件。知;同时,

虚数分为纯虚数和非纯虚数两类；3运用分类

(3)当b#0,a=0,即z=bi(5CR,b不0)时为炖讨论的思

虚数；而当a、bwO时就叫做非纯虚数。e想对复数

代数形式

(实数(5=0)

复数\纯虚数(a=0)深入认

识，对实

、虚数(掠0)■

部和虚部

.非纯虚数(叶0)

的取值

教师引导进行讨

【问题7】用韦恩图表示出复数集、实数集、虚数集、纯虚数学生尝试学生思考论，也有

集之间的关系。

绘制韦恩并尝试作利培养学

图表示各图。生符号学

【探究3巩固1]

说出下列复数中的虚数和纯虚数：数集间的习的习

(1)2+i(2)-3-i(3)i关系。惯，渗透

(4)-V2i(5)7t(6)0逻辑推

理、分类

【应用】分别求实数x的值，使得复数z=Q—2)+(x+3)i

讨论的思

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.

想；通过

分析步骤：

①题目已知什么信息？让学生尝

②是否为复数的标准代数形式？试绘制

③实部和虚部分别需要满足什么条件？先分析后学生认真结构图，

解：(1)当％+3=0,即％=—3时，复数z是实数；答题，引读题、思突破本节

(2)当％+3H0,即%丰一3时，复数z是虚数；导学生条考，写出课的重

(3)当％—2=0且％+3H0,即久=2时，复数z是纯虚理清晰地正确的解点。

数.思考作题过程。

小结：化标准->定条件f得结论答，并规

范解题步

【问题7］已知复数Zi=a+bi(a,beR),z2=c+di{a,bE骤。

R),什么情况下二者相等？(提示：将i类比为未知数尢)

分析步骤：

①将i视为未知数％,此时Z]、Z2变成什么？

预设回答：-a+bx^z2—c+dx,变成两个一元一次多

项式。

②两个多项式相等满足什么条件？教师提学生认真探究两个

预设回答：两个多项式相等6对应项系数相等问，借助读题、思复数相等

提示引导考，在教的性质

【探究3小结2】学生进行师引导下时，由于

积极的联回忆复习学生对新

已知复数=a+bl(a,bER),z2=c+di(a,bE/?),则想，通过旧知，进学的虚数

zx=z2<=>a=c且b=d<-,两个启发行类比推单位i还

特别地，

a+bi=0=Q=b=0.y式问题引理得出结不够熟

【探究3巩固2]导学生得论。悉，直接

分别求满足下列关系的实数％与y的值.出正确结推理存在

(1)(x+2y)-i-6x+(x-y)i；

论，最后一定难

(2)(x+y+1)-(y-2)i=0；

(3)%—y—2=(%+y)i.总结O度。借助

类比多项

分析步骤：式的方法

①等号两边的复数是否为标准式？推得结论

②两个复数相等满足什么条件？符合学生

解：的认知特

⑴根据复数相等的定义，得仔：士:6，解得X="y=”点，能促

(j.—xy33

使其快速

⑵根据复数相等的定义，得9户，解得％=—3,先分析后学生认真捕获正确

L(y—N)=u

y=2.答题，引读题、思结论，对

(3)根据复数相等的定义，得「一1―2=0，解得％=1,y=导学生条考，应用知识点形

(%+y=U'

理清晰地新学知识成更加深

-1.

思考作解答，写刻的印象

小共，：化标准f虚实对应相等.

答，并规出正确的和理解。

范解题步解题过

骤，适当程，被指

指名学生名学生回

回答。答。

♦课堂小结引导学生

【问题8】本节课学习了哪些新的知识？实数集是如何扩充从知识内

到复数集的？容和学习

负整数分数至理数虚数♦

过程两个

(四)自然数一整数一有理数一实数一复数.教师引导方面总结

归.x+2=l2x=5x2=2x2=-1x=i学生尝试自己的收

纳脱离课本莪并建

学生回忆

小和多媒体立知识之

并集体回

2士进行本节间的联

答，整体

课的内容系；运用

巩固本节

1兀复习，之理解复习

课内容。

JAS【追问】本节课学习了复数的哪些内容？后ppt呈与试图脱

认形如z=a+bi(a,beR)的数称为