2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的数量积【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的数量积（原卷版）(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为()A.30° B.135° C.75° D.45°2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·A.9 B.3 C.6 D.93.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是()A.(-3,3) B.(3,3)C.(3,-3) D.(-3,-3)4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=(A.5 B.10 C.5 D.105.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是()A.若a·c=b·c,则a=bB.若a+b=a-bC.若a∥c,b∥c,则a∥bD.若a∥b,则a·b=a6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则()A.AD=2(AE+AC)B.AB·(EA+2FA)=|AB|2C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FED.AE在CB方向上的投影向量为327.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB=.

8.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是9.(5分)已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a10.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;【加练备选】1.(2023·大庆模拟)已知向量a,b满足a=2,b=(1,1),a·b=-2,则sin<a+b,b>=()A.12 B.22 C.322.(多选题)已知a=b=a+b=1,下述结论正确的是(A.a-b=3 B.(a+b)·bC.<a-b,b>=π6 D.(a-2b)·a11.(10分)(2023·滁州模拟)已知平面向量a,b是单位向量,且a⊥(a-2b).(1)求向量a,b的夹角;(2)若a-b=(12,-32),向量c与向量a-b共线,且|c|=|a+b|,求向量【能力提升练】12.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的菱形组成,巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF,下列说法正确的是()A.AC-AE=BFB.AC+AE=2C.AD·AB=|AB|2D.EC在AB上的投影向量为313.(5分)(2023·宁德模拟)在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,AE=2,AF=6,则AC·【加练备选】已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=-1,过点O作OD垂直AB于点D,点E满足OE=12ED,则EO·EA的值为14.(10分)(2023·苏州模拟)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BP=13BC,Q是边AB(1)若AQ=25AB,O点为AP与CQ的交点,请用AB,AC表示(2)若点Q使得AP⊥CO,求cos∠BAC的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的数量积（解析版）(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为()A.30° B.135° C.75° D.45°【解析】选D.由a⊥(a-b),则a·(a-b)=a2-a·b=a2-abcos<a,则1-1×2cos<a,b>=0,得cos<a,b>=22,0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·A.9 B.3 C.6 D.9【解析】选D.因为a+b=5,所以即得a2+b2+2a·b=25,又a-b=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是()A.(-3,3) B.(3,3)C.(3,-3) D.(-3,-3)【解析】选B.因为a=(2,23),b=(3,1),所以a·b=2×3+23×1=43,b=(3所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量为a·bb·bb=4344.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=(A.5 B.10 C.5 D.10【解析】选A.因为a=(2,1),所以|a|=5,又因为a·b=10,a+b=52,所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是()A.若a·c=b·c,则a=bB.若a+b=a-bC.若a∥c,b∥c,则a∥bD.若a∥b,则a·b=a【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,则accos<a,c>=bccos<b,则acos<a,c>=bcos<b,c>,但cos<a,c>与cos<b,c>不一定相同,所以得不到a=b,无法得到a=b,故A错误;对于B,若a+b=平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=abcos<a,ba·b=若a∥b,则cos<a,b>=±1,若cos<a,b>=-1,原式不成立,故D错误.6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则()A.AD=2(AE+AC)B.AB·(EA+2FA)=|AB|2C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FED.AE在CB方向上的投影向量为32【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,AE+AC=2AO,而AD=2,OD=EDsin30°=12,则AO=3|AE+AC|=2|AO|=3>|AD|,所以AD≠2(AE+AC),A不正确;对于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cos60°=1=|AB|2,B正确;对于C,FE=BC,则有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正确;对于D,EF=CB=-e,<AE,EF>=150°,|AE|=2|AF|cos30°=3,向量AE在CB方向上的投影向量为|AE|cos<AE,CB>·CBCB=3cos150°(-e)=32e7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB=.

【解析】由题意,得圆C的半径为5,且AB=5,由余弦定理知,cos∠ACB=52+5所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos∠ACB=-5×5×910=-45答案:-458.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b22×1×2cosπ3且2a-b=4设向量2a-b与b的夹角为θ,所以cosθ=(2a-b)·因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b与b的夹角为2π答案:2π9.(5分)已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a【解析】因为b是单位向量,所以b=1.因为a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a化简得2a·b=b2=1,即a·b=12所以a在b方向上的投影向量是a·bb2·b答案:1210.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;【解析】(1)设d=λa(λ<0),则d=λa=(λ,2λ),由d=25可得λ2+(2λ所以d=(-2,-4);(2)若(a+kc)⊥(a-2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.【解析】(2)a+kc=(1+3k,2+3k),a-2b=(3,0),由题意得3(1+3k)=0⇒k=-13所以a+kc=(0,1),所以a+kc在向量a上的投影向量的模为(a+kc)·a【加练备选】1.(2023·大庆模拟)已知向量a,b满足a=2,b=(1,1),a·b=-2,则sin<a+b,b>=()A.12 B.22 C.32【解析】选D.由(a+b)·b=a·b+b2=-2+2=0,则cos<a+b,b>=(a由<a+b,b>∈[0,π],则<a+b,b>=π2故sin<a+b,b>=1.2.(多选题)已知a=b=a+b=1,下述结论正确的是(A.a-b=3 B.(a+b)·bC.<a-b,b>=π6 D.(a-2b)·a【解析】选AB.因为a=b=a+所以a+b2=a2+2a·b+b2=1⇒a·b=-12⇒<a,对于A项,a-b2=a2-2a·b+b2=3⇒a对于B项,(a+b)·b=a·b+b2=12对于C项,cos<a-b,b>=(a-b)·ba-bb=a·b-b2对于D项,(a-2b)·a=a2-2a·b=2≠0,故D错误.11.(10分)(2023·滁州模拟)已知平面向量a,b是单位向量,且a⊥(a-2b).(1)求向量a,b的夹角;【解析】(1)因为a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,又因为a,b是单位向量,设a与b的夹角为θ,所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2cosθ=0,解得cosθ=12又θ∈[0,π],所以θ=π3(2)若a-b=(12,-32),向量c与向量a-b共线,且|c|=|a+b|,求向量【解析】(2)因为|c|=|a+b|,所以|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=3,即|c|=3.设c=(x,y),则有|c|=x2+y因为向量c与向量a-b共线,所以-32x=12y,解得y=-3联立两式解得:x=32所以c为(32,-32)或(-32,【能力提升练】12.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的菱形组成,巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF,下列说法正确的是()A.AC-AE=BFB.AC+AE=2C.AD·AB=|AB|2D.EC在AB上的投影向量为3【解析】选CD.对A,AC-AE=EC,显然由题图可得EC与BF为相反向量,故A错误;对B,由图易得AE=AC,直线AD平分∠EAC,且△ACE为正三角形,根据平行四边形法则有AC+AE=2AH,与AD共线且同方向,易知△EDH,△AEH均为含π6角的直角三角形,故EH=3DH,AH=3EH则AD=4DH,而2AH=6DH,故2AHAD=32,故AC+AE对C,因为∠BCD=∠ABC=2π3AB=BC=DC,所以∠BDC=∠DBC=π6,则∠ABD=π又因为AD∥BC,所以∠DAB=π3,AD=2ABAD·AB=ADABcosπ3=2AB2×1对D,连接AE,作CG垂直AB所在直线,垂足为G,记AB=m,由C选项可知EA⊥AB,所以EC在AB上的投影向量为AG,易知在Rt△BCG中,∠CBG=π3,BC=m所以BG=12m,所以AG=32m,故AG=313.(5分)(2023·宁德模拟)在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,AE=2,AF=6,则AC·【解析】设AB=a,AD=b,由DE=12EC,BF=可得AE=AD+DE=13a+bAF=AB+BF=a+13b又因为AE=2,AF=6,所以AE2=(13a+b)2=19a2+b2+23a·b=2,AF2=(a+13b)2=两式相减得到89a2-89b2=4,可得a2-b2=又由AC=a+b,BD=b-a,所以AC·BD=(a+b)·(b-a)=b2-a2=-92答案:-9【加练备选】已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=-1,过点O作OD垂直AB于点D,点E满足OE=12ED,则EO·EA的值为【解析】OA·OB=1×2×cos<OA,OB>=2cos<OA,OB>=-1,cos<OA,OB>=-12由于0≤<OA,OB>≤π,所以<OA,OB>=2π3AB=12+2S△OAB=12×7×OD=12×1×2×sin2π3,OD=37,由于所以OE=37×13=121,ED=37×23=221,