福建省宁德市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：1．答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名；考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号；填空题和解答题用0.5米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，〖答案〗无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．1.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由随机变量服从二项分布，可得.故选：D.2.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.16〖答案〗B〖解析〗因为随机变量服从正态分布，且，所以.故选：B3.棱长为3的正方体中，点到平面距离为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为正方体的棱长为3，所以，是正三角形，设点到平面距离为，因为，即，所以，解得，即点到平面距离为.故选：A4.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由函数，可得，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B.5.已知随机变量满足，，其中为常数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由随机变量满足，，可得，解得，所以随机变量满足，所以故选：A.6.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，当时，，所以函数在上单调递减，所以，故当时，，即，所以当时，，故，设，则，当时，，所以函数在上单调递增，所以，即综上可得，，故选：D.7.抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知事件为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰子的点数之和等于8，则事件包含的基本事件为，而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，所以，因为甲骰子的点数大于4的有5，6两种情况，所以，所以，故选：C8.已知函数，若，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由函数，设，其中，可得，，则，设，可得，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，，即的最大值为.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.以下运算正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：AC10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.已知，，则在上的投影向量为B.已知两个向量，，且，则C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D.若对空间中任意一点，有，则四点共面〖答案〗BC〖解析〗对于A，因为，，所以，所以在上的投影向量为，故A错误；对于B，因为，所以因为，，所以，解得，所以，故B正确；对于C，设是空间中的一组基底，则不共面，假设共面，则，显然无解，所以不共面，则也是空间的一组基底，故C正确；对于D，，但，则四点不共面，故D错误.故选：BC11.已知定义在上函数，其导函数为且满足，则下列判断正确的是（）A.函数是奇函数B.函数在区间上单调递减C.在区间上，函数的图象恒在轴的下方D.不等式解集为〖答案〗BCD〖解析〗将函数两边求导，得：，令故，，由此可以判断函数是偶函数，选项A错误；函数在区间上单调递减，选项B正确；函数在区间上单调递减，所以函数的图象恒在轴的下方，选项C正确；，且函数是偶函数，由余弦函数图像性质可知，在上单调递增，在上单调递减，因为，则有，解得：，选项D正确；故选：BCD.12.如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当且时，有B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，直线和所成的角的取值为D.当时，直线与平面所成角的正弦值范围是〖答案〗ABD〖解析〗选项A，当且时，为的中点，取中点，中点，连，因为三棱柱为正三棱柱，所以，建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，又，所以，所以，所以选项A正确．选项B，当时，为的上的动点，因为，又易知，到平面的距离为，所以，所以选项B正确．选项C，当时，为线段的上的动点，设，，又，，，，所以，又，由，又因为，当时，当时，所以，所以直线与所成角的范围为，所以选项C不正确．选项D，当时，则为的上的动点，如图2，取中点点，，又三棱柱为正三棱柱，所以平面，则为与平面所成的角，在中，为定值，又,所以与平面所成的最大角为，此时，最小角为，此时．所以选项D正确．

故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡的相应位置．13.已知空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，则边上中线的长度为___________．〖答案〗〖解析〗设的中点为，因为，，所以，则,故〖答案〗为：.14.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，而第1，2，3台车床的次品率分别为，，．现从加工出来的零件中随机抽出一个零件，则取到的零件是次品的概率为____________．〖答案〗〖解析〗设“任取一个零件次品”，“零件为第台车床加工”，则，两两互斥．根据题意得：，，由全概率公式，得．故〖答案〗为：.15.如图，60°的二面角的棱上有、两点，射线、分别在两个半平面内，且都垂直于棱．若，，．则的长度为___________．〖答案〗2〖解析〗，，，．，，故〖答案〗为：216.设函数，若，恒成立，则的取值范围是___________．〖答案〗〖解析〗当时，若，则，恒成立，符合题意；当，，所以，构造函数，，时，，所以在上单调递增，因为，所以，则时，，所以，，令，所以在上递增，上递减，所以，所以，又，所以，综上可得，故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数在处有极值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在上的最大值和最小值．解：（1），，即，解得，当，，当或单调递增，当单调递减，所以取极大值，符合题意，所以，.（2）由，得，令，则，，由于和都在区间内，所以可列表如下：递增递减递增所以在上的最大值为，最小值为1.18.已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球现从盒子中不放回地随机摸取3次，每次摸取1个球．（1）求第二次摸出的球是红球的概率；（2）求取得红球数的分布列和期望．解：（1）解法一：设表示第1次摸到红球，设表示第2次摸到红球，，所以第二次摸出的球是红球的概率是．解法二：设事件表示第二次摸出的球是红球，，即，所以第二次摸出的球是红球的概率是．（2）从5个球中摸取3个球，用表示抽到的红球数，则，所以，，，所以分布列：012所以取得红球数的期望为．19.银耳作为我国传统的食用菌，有“菌中之冠”的美称，历来深受广大人民所喜爱汉代《神农本草经》记载：银耳有“清肺热、济肾燥、强心神、益气血”之功效．宁德市山川秀美，气候宜人，非常适合银耳的种植栽培，其银耳产量占全球产量的90%以上．（1）经查资料，得到近4年宁德市银耳产量（单位：万吨）如下表：年度2019202020212022年度代码1234银耳产量34.9036.2037.2038.5请利用所给数据求银耳产量与年度代码之间的回归直线方程，并估计2023年银耳产量．（2）宁德市某银耳开发研究公司积极响应国家倡导的科技创新，研发了一款提高银产量的辅料——“多保灵”．该公司科研小组为了研究这款产品是否有利于提高银耳产量，从同一其他条件下种植的2000筒银耳中随机抽取了100袋，对是否使用“多保灵”和银耳每筒的产量进行统计，得到如下数据：是否使用“多保灵”每筒产量克每筒产量克总计未使用2545有按规定比例量使用10总计7030100①完善填写上面的列联表．②问：是否有99%的把握认为银耳每筒产量与是否有按规定比例量使用“多保灵”有关？参考公式：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），参考数据：，，2.7063.8415.0246.6357.87910.8280.100.050.0250.0100.0050.001解：（1）由表中的数据可知，，，，，所以，故，所以，所求的回归直线方程为，令，则，故预测2023年银耳产量为39.65万吨．（2）①列联表如下：是否使用“多宝灵”每筒产量克每筒产量克总计未使用252045有按规定比例使用451055总计7030100②又因为，而且查表可得，由于，所以有的把握认为银耳产量与是否有按规定比例使用“多宝灵”有关．20.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．（1）证明：平面平面；（2）已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）底面是平行四边形，则，∵，∴，∴∵平面，平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，则平面的一个法向量为，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，∴，∴，所以解法二：连接，由（1）知，，，平面，平面,所以平面，由平面,所以，所以为二面角的平面角，所以，在中，因为，所以，所以为等边三角形，所以为中点，所以21.在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；（2）当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．解：（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，则，解得，故的最小值为0.8．（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，，，，，从而的分布列为：01230.0270.1890.4410.343（3）设方案1､方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，可知计算机网络断掉的概率为：，故万元．采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7备用设备，达到“一用三备”，计算机网络断掉的概率为：，故万元．因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．22.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）讨论函数的零点个数．解：（1）∵，∴，∴．∵，∴切点坐标为，∴函数在点处的切线方程为，即，∴切线与坐标轴交点坐标分别为，，∴所求三角形面积为．（2）解法一：设函数，当时，，在上单调递增，而，，所以存在唯一，使得；即只有一个零点．当时，令，解得，（舍），当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，设，在单调递减，且，当，解得，所以没有零点，即没有零点；当，解得，所以只有一个零点，即只有一个零点；当，解得，，所以在只有一个零点，因为，，当时，，