2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第3节 圆的方程含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第三节圆的方程课标解读考向预测1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.近三年主要考查了圆的方程及应用，主要以选择题或填空题的形式出现．预计2025年高考仍会考查，且以选择题、填空题为主，难度中档.必备知识——强基础1．圆的定义及圆的方程定义平面上到eq\x(\s\up1(01))定点的距离等于eq\x(\s\up1(02))定长的点的集合叫做圆方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心Ceq\x(\s\up1(03))(a，b)半径为eq\x(\s\up1(04))r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\x(\s\up1(05))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系：位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0点在圆外|MC|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0点在圆内|MC|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<01．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3 B．(－2，3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq\r(13).故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝2解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，则该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．答案2解析∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．答案(x＋3)2＋(y－3)2＝10解析点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝eq\f(2－0,0－（－4）)＝eq\f(1,2)，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x＋y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3，))所以圆心为(－3，3)，r＝eq\r(（－3）2＋（3－2）2)＝eq\r(10)，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．答案x2＋y2＋4x－2y＝0解析设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得eq\f(a＋0,2)＝－2，eq\f(0＋b,2)＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝eq\r(（－2＋4）2＋（1－0）2)＝eq\r(5)，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．答案(x＋1)2＋(y－1)2＝2解析设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,a2＋（2－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（2－b）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，,r＝\r(2)，))因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．【通性通法】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【巩固迁移】1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝13解析由题设知，|PA|＝eq\r(10)，|PB|＝eq\r(13)，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝eq\r(10)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以kACkBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式，得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)，知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．所以直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【巩固迁移】3．已知两点A(－5，0)，B(5，0)，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程为________________．答案x2＋y2－eq\f(25,2)x＋25＝0解析设P(x，y)，由题意可知|PA|＝3|PB|，由两点间距离公式，可得eq\r(（x＋5）2＋y2)＝3eq\r(（x－5）2＋y2)，化简，得x2＋y2－eq\f(25,2)x＋25＝0.4．(2023·江苏淮安一模)已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上一点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)如图，设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(（2＋2）2＋（7－3）2)＝4eq\r(2)，所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(k2＋1))≤2eq\r(2)，解得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以eq\f(|2－7＋b|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，解得b＝9或b＝1，所以y－x的最大值为9，最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【巩固迁移】5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4 B．5C．6 D．7答案A解析设圆心为C(x，y)，则eq\r(（x－3）2＋（y－4）2)＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号．故选A.6．已知A(－2，0)，B(2，0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最大值为()A．40 B．46 C．48 D．58答案D解析设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.圆C的圆心为C(3，eq\r(7))，半径为r＝1，|OC|＝4，所以|PO|2的最大值为(|OC|＋r)2＝(4＋1)2＝25，所以|AP|2＋|BP|2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．答案12解析由题意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.【通性通法】建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．【巩固迁移】7．等边三角形ABC的面积为9eq\r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值为()A．－5－2eq\r(3) B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3) D．－6－4eq\r(3)答案A解析设等边三角形ABC的边长为a，则面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M为△ABC的内心，则M在OC上，且|OM|＝eq\f(1,3)|OC|，则A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．设N(x，y)，则x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，又eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq\r(3)y－11≥2eq\r(3)×(eq\r(3)－1)－11＝－5－2eq\r(3).考向3利用对称性求最值例5一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是()A．5eq\r(2)－1 B．5eq\r(2)＋1C．3eq\r(2)＋1 D．3eq\r(2)－1答案A解析如图，依题意知，圆C的圆心C(3，3)，半径r＝1，点A(－2，2)关于x轴的对称点为A′(－2，－2)，连接A′C交x轴于点O，交圆C于点B，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A′与圆C上的点的距离的最小值为|A′B|＝|A′C|－r＝eq\r(（－2－3）2＋（－2－3）2)－1＝5eq\r(2)－1.在x轴上任取点P，连接AP，A′P，PC，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是5eq\r(2)－1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【巩固迁移】8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．答案2eq\r(13)－1解析根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝eq\r(（6－0）2＋（－2－2）2)－1＝2eq\r(13)－1.课时作业一、单项选择题1．(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为()A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a＜0或a＞4.∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C.2．(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为()A．x2＋(y＋5)2＝5 B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25 D．x2＋(y－5)2＝25答案B解析因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，半径为|MQ|＝eq\r(（0－2）2＋（5－6）2)＝eq\r(5)，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.故选B.3．(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]答案A解析由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A.4．(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为()A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x－6)2＋(y－4)2＝4答案D解析由圆的方程(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得，圆心坐标为(－2，12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心为(－2，12)关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)－\f(b＋12,2)＋6＝0，,\f(b－12,a＋2)＝－1，))解得a＝6，b＝4，故圆的方程为(x－6)2＋(y－4)2＝4.故选D.5．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案B解析∵|PA|＝1，∴点P和圆心的距离恒为eq\r(2)，又圆心坐标为(1，0)，设P(x，y)，∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2.故选B.6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6 C．5 D．4答案B解析∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3，4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.故选B.7．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1，0)，B(1，0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2 B．2eq\r(2)C．4eq\r(2) D．4答案B解析由已知，得线段AB为圆的直径．所以|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq\r(2)，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq\r(2)时，等号成立．故选B.8．(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(24,13))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(24,13)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,13)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,13)，2))答案C解析在圆O上总存在不同的两点A，B使得AB垂直平分OP.若P为直线l与y轴的交点，得P(0，2)，此时圆O上不存在不同的两点A，B满足条件；若P为直线l与x轴的交点，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，0))，此时直线AB的方程为x＝eq\f(2,3)，满足条件，y0＝0；当直线AB的斜率存在且不为0时，∵AB⊥OP，kOP＝eq\f(y0,x0)，∴kAB＝－eq\f(x0,y0)，∴直线AB的方程为y－eq\f(y0,2)＝－eq\f(x0,y0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))，化为2x0x＋2y0y－xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝0，由圆心到直线AB的距离d＝eq\f(\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)),2)<1，得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)<4，又3x0＋2y0－4＝0，化为13yeq\o\al(2,0)－16y0－20<0，解得－eq\f(10,13)<y0<2，∴y0的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,13)，2)).故选C.二、多项选择题9．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A．圆M的圆心坐标为(1，3)B．圆M的半径为eq\r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2，3)在圆M内答案ABD解析设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为eq\r(5)，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内．故选ABD.10．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3，0)C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C的坐标为(k，k)，在直线y＝x上，故A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简，得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，故B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简，得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D正确．故选ABD.三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A(4，0)，P是圆x2＋y2＝4上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是________．答案(x－2)2＋y2＝1解析如图所示，设P(x0，y0)，Q(x，y)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4①，因为Q为AP的中点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋4,2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y))②，所以由①②得，(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1，所以点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.12．(2023·广东湛江三模)已知圆C过点A(－2，0)，B(2，4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝10解析由A(－2，0)，B(2，4)，可得线段AB中点的坐标为(0，2)，又kAB＝eq\f(4－0,2－（－2）)＝1，所以AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，则圆心C在线段AB的垂直平分线y＝－x＋2上，当圆心C到原点O的距离最小时，则OC垂直于直线y＝－x＋2，则OC∥AB，所以直线OC的方程为y＝x，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝－x＋2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以圆心C(1，1)，又半径r2＝|AC|2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝10.13．(2024·福建泉州期中)已知点P(m，n)在圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝9上运动，则(m＋2)2＋(n＋1)2的最大值为________．答案64解析由题意得，圆心C(2，2)，半径r＝3.(m＋2)2＋(n＋1)2表示圆C上的点P到点M(－2，－1)的距离的平方，因为|CM|＝5，所以|PM|max＝5＋3＝8，即(m＋2)2＋(n＋1)2的最大值为64.14．已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．答案2eq\r(5)解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq\r(5)的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|≥|A′C|－r＝2eq\r(5).四、解答题15．(2023·广东佛山期中)已知圆C过点A(4，0)，B(0，4)，且圆心C在直线l：x＋y－6＝0上．(1)求圆C的方程；(2)若从点M(4，1)发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．解(1)由A(4，0)，B(0，4)，得直线AB的斜率为kAB＝eq\f(0－4,4－0)＝－1，线段AB的中点D(2，2)，所以kCD＝1，直线CD的方程为y－2＝x－2，即y＝x，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,y＝x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))即C(3，3)，所以半径r＝|AC|＝eq\r(（4－3）2＋（0－3）2)＝eq\r(10)，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10.(2)由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C(3，3)，设点M关于直线y＝－x的对称点N(x，y)，则直线MN与直线y＝－x垂直，且线段MN的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,2)，\f(y＋1,2)))在直线y＝－x上，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x－4)×（－1）＝－1，,\f(y＋1,2)＝－\f(x＋4,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－4，))所以N(－1，－4)，所以直线CN即为直线l1，且kl1＝kCN＝eq\f(3－（－4）,3－（－1）)＝eq\f(7,4)，反射光线l1的方程为y－3＝eq\f(7,4)(x－3)，即7x－4y－9＝0.16．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．解由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得Δ＝m2－8m>0.则m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－eq\f(1,2).此时C(0，－1)，AB的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))即为圆心，半径r＝|CM|＝eq\f(\r(17),4)，故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(17,16).(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，整理，得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5).))故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(4,5))).17．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)答案ACD解析因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，故A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；由C项知，它们的圆心距为eq\r(（5－1）2＋（－5＋1）2)＝4eq\r(2)，D正确．故选ACD.18．(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，点M(4，2)，点P在圆C上，O为原点，则下列命题正确的是()A．M在圆上B．线段MP的长度的最大值为eq\r(5)＋1C．当直线MP与圆C相切时，|MP|＝2D．eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))的最大值为2eq\r(5)＋6答案BCD解析将M(4，2)代入圆的方程，(4－2)2＋(2－3)2＝5>1，所以M在圆外，A错误；线段MP的长度的最大值为|MC|＋1＝eq\r(（4－2）2＋（2－3）2)＋1＝eq\r(5)＋1，B正确；当直线MP与圆C相切时，|MC|2＝|MP|2＋1＝[eq\r(（4－2）2＋（2－3）2)]2，∴|MP|＝2，C正确；设动点P(x，y)，点P的轨迹是圆心为(2，3)，半径为1的圆，x＝2＋cosθ，y＝3＋sinθ，又M(4，2)，所以eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝(－4，－2)·(x－4，y－2)＝－4(x－4)＋(－2)·(y－2)＝－4x－2y＋20，因为x＝2＋cosθ，y＝3＋sinθ，所以eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝－4cosθ－2sinθ＋6＝2eq\r(5)sin(θ＋φ)＋6，θ∈[0，2π)，且sinφ＝－eq\f(2\r(5),5)，cosφ＝－eq\f(\r(5),5)，则eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))的最大值为2eq\r(5)＋6，D正确．故选BCD.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课标解读考向预测1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.近三年主要考查了直线与圆有公共点求参数的取值范围、直线与圆相切以及弦长最值问题，主要以选择题、填空题的形式出现，常结合基本不等式、函数等知识考查最值．预计2025年本部分内容仍会考查，以选择题或设问方式为开放性的填空题为主，难度中等.必备知识——强基础1．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δeq\x(\s\up1(01))<0Δeq\x(\s\up1(02))＝0Δeq\x(\s\up1(03))>0几何观点deq\x(\s\up1(04))>rdeq\x(\s\up1(05))＝rdeq\x(\s\up1(06))<r2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d>r1＋r2四条外切d＝r1＋r2三条相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xMxN).3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B解析圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而0<eq\f(\r(2),2)<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．外离 B．外切C．相交 D．内切答案C解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝eq\r(（－1）2＋（－2）2)＝eq\r(5)，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得，r＝eq\f(|3×3＋4×（－1）|,\r(32＋42))＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案y＝x＋1解析圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，kCM＝eq\f(3－2,2－3)＝－1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，km·kCM＝－1，所以km＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.考点探究——提素养考点一直线与圆的位置关系例1(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．答案相交解析由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r的值为________．答案±eq\r(2)解析由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得eq\f(|2|,\r(12＋12))＝|r|，即|r|＝eq\r(2)，故r的值为±eq\r(2).【通性通法】判断直线与圆的位置关系的两种方法特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．【巩固迁移】1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为()A．相交 B．相离C．相切 D．相切或相交答案C解析由题意可得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝eq\f(2,\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案(－3eq\r(2)，3eq\r(2))解析由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))<3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题例2(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－eq\r(3)ycosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．eq\r(7) D．3答案C解析因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－eq\r(3)ycosθ＝0的距离为d＝eq\f(3,\r(1＋3cos2θ))，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝eq\f(3,\r(1＋3cos2θ))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，又因为弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－d2)，所以当d取得最小值eq\f(3,2)时，弦长取得最大值，为eq\r(7).故选C.(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－eq\r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．答案5解析因为圆心(0，0)到直线x－eq\r(3)y＋8＝0的距离d＝eq\f(8,\r(1＋3))＝4，由|AB|＝2eq\r(r2－d2)，可得6＝2eq\r(r2－42)，解得r＝5.【通性通法】求直线被圆截得的弦长的两种方法【巩固迁移】3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0答案B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq\r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq\r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4).综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.故选B.4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为eq\f(8,5)”的m的一个值：________．答案2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))解析设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，由d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±2或m＝±eq\f(1,2).考向2切线问题例3(1)在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为()A．5x－12y＋45＝0B．y＋5＝0C．x－3＝0或5x－12y＋45＝0D．y－5＝0或12x－5y＋45＝0答案C解析因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x＝3，圆心(1，2)到直线x＝3的距离为2，故直线x＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y－3k＋5＝0，则eq\f(|k－2－3k＋5|,\r(k2＋1))＝2，则eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，两边平方得12k＝5，k＝eq\f(5,12)，所以y－5＝eq\f(5,12)(x－3)，即5x－12y＋45＝0.综上，切线的方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.故选C.(2)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案eq\r(7)解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，所以|PM|的最小值为2eq\r(2)，此时|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2)）2－1)＝eq\r(7).【通性通法】1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0.2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k.注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．【巩固迁移】5．(2023·河南开封模拟)已知圆M过点A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，则圆M在点A处的切线方程为()A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0答案A解析设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,D－E＋F＋2＝0，,－3D＋E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝1，,E＝－2，,F＝－5，))所以圆M的方程为x2＋y2＋x－2y－5＝0，圆心为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以直线AM的斜率kAM＝eq\f(3－1,1＋\f(1,2))＝eq\f(4,3)，所以圆M在点A处的切线方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－15＝0.故选A.6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)答案B解析解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝eq\r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝eq\r(22＋（－2）2)＝2eq\r(2)，则|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，可得sin∠APC＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，cos∠APC＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4)，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,4)<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq\f(\r(15),4).故选B.解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝eq\r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝eq\r(22＋（－2）2)＝2eq\r(2)，则|PA|＝|PB|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－eq\f(1,4)<0，即∠APB为钝角，则cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝eq\f(1,4)，又α为锐角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(15),4).故选B.解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝eq\r(5)，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝eq\r(（k1＋k2）2－4k1k2)＝2eq\r(15)，所以tanα＝eq\f(|k1－k2|,1＋k1k2)＝eq\r(15)，即eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(15)，可得cosα＝eq\f(sinα,\r(15))，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋eq\f(sin2α,15)＝1，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinα>0，解得sinα＝eq\f(\r(15),4).故选B.7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．答案[1，9]解析由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴eq\f(|k1x0－y0|,\r(1＋keq\o\al(2,1)))＝2eq\r(2)，eq\f(|k2x0－y0|,\r(1＋keq\o\al(2,2)))＝2eq\r(2)，分别对两个式子进行两边平方，整理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(keq\o\al(2,1)（8－xeq\o\al(2,0)）＋2k1x0y0＋8－yeq\o\al(2,0)＝0，,keq\o\al(2,2)（8－xeq\o\al(2,0)）＋2k2x0y0＋8－yeq\o\al(2,0)＝0，))∴k1，k2是方程k2(8－xeq\o\al(2,0))＋2kx0y0＋8－yeq\o\al(2,0)＝0的两个不相等的实数根，易知8－xeq\o\al(2,0)≠0，∴k1·k2＝eq\f(8－yeq\o\al(2,0),8－xeq\o\al(2,0))，又k1·k2＝－1，∴eq\f(8－yeq\o\al(2,0),8－xeq\o\al(2,0))＝－1，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝eq\r(9＋16)＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.考点三圆与圆的位置关系例4(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为()A．相交 B．相离C．外切 D．内切答案A解析圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝eq\r(3).|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C．两个圆心所在直线的斜率为－eq\f(4,3)D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0答案BC解析根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r＝1，圆心距|C1C2|＝eq\r(9＋16)＝5，则|PO|的最小值为|C1C2|－R－r＝3，最大值为|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心C1(0，0)，圆心C2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k＝eq\f(－4－0,3－0)＝－eq\f(4,3)，故C正确；对于D，两圆的圆心距|C1C2|＝5，则|C1C2|>R＋r＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D错误．故选BC.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0解析如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由对称性可知公切线l2过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).设公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(7,24)，所以公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝eq\f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq\f(4,3)x垂直．设公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝eq\f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（－1）2))，解得t＝eq\f(5,4)，所以公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.【通性通法】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．【巩固迁移】8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离答案B解析由题意，得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，圆M、圆N的圆心距|MN|＝eq\r(2)，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.9．(2023·云南丽江期中)圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切线的条数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析根据题意，圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0，即(x－3)2＋(y－5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r＝6；圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R＝7，两圆的圆心距|C1C2|＝eq\r(（－2－3）2＋（－7－5）2)＝13＝R＋r，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P是圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上一动点，A，B是圆C：x2＋2x＋y2＋2y－2＝0上的两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为________．答案[4eq\r(2)－2，8eq\r(2)＋2]解析由题意知，点P所在圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，且A，B所在圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(－1，－1)，半径为2.设D是AB的中点，连接CD，则CD垂直平分AB，则|CD|＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以点D在以C为圆心，1为半径的圆上，即点D所在圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，又由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，可得|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，|eq\o(PD,\s\up6(→))|即为圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上的点与圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC1|＝eq\r(（2＋1）2＋（2＋1）2)＝3eq\r(2)，所以3eq\r(2)－1－eq\r(2)≤|eq\o(PD,\s\up6(→))|≤3eq\r(2)＋1＋eq\r(2)，即|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[4eq\r(2)－2，8eq\r(2)＋2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＝0，直线l：2x－y－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心答案B解析由x2＋y2＋2x－4y＝0，可得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故圆心C(－1，2)，半径r＝eq\r(5)，则圆心到直线l：2x－y－1＝0的距离d＝eq\f(|－2－2－1|,\r(22＋1))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5)＝r，故直线l与圆C相切．故选B.2．(2024·黑龙江大庆质检)若直线kx－y＋1－2k＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(2)答案B解析直线kx－y＋1－2k＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒过定点M(2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M在圆C内，因此当且仅当AB⊥CM时，|AB|最小，而圆C的圆心C(1，0)，半径r＝2，|