高中数学：3-2-1 单调性与最大（小）值-单调性（第1课时）（分层作业）

3.2.1单调性与最大（小）值一单调性（第1课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022.全国•高一课时练习）函数〃司=/-1的单调递增区间是（）

A.B.[0,+8)

C.(-3,3)D.(-3,+oo)

【答案】B

【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.

【详解】由〃x）=x2-1知，函数为开口向上，对称轴为x=0的二次函数，则单调递增区间是［0,+8）.

故选：B.

2.（2022・全国•高一课时练习）定义在区间［-2,2］上的函数/*）的图象如图所示，则/（x）的单调递减区间

为（）

C.[-2,0]D.[-1,2]

【答案】B

【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.

【详解】由题图知:在上/（x）的单调递减，在（-2,-1）,（1,2）上的单调递增,

所以/（x）的单调递减区间为

故选：B

3.（2022.全国•高一课时练习）已知函数〃同=犬-26+4在［0,+oo）上是增函数，则实数。的取值范围为

()

A.(-oo,-l]B.C.[0,+oo)D.(-<»,0]

【答案】D

【分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.

【详解】函数/(力=/一2公+4的单调递增区间是出,一)，依题意，[0,g)=[a,xo),

所以。40,即实数。的取值范围是(f.O].

故选：D

4.(2022・全国•高一)已知/(力=犬+2%+3在(-9,a)为单调函数，则”的取值范围为()

A.(-00,-1)B.C.(-9,-1)D.(-9,-1]

【答案】D

【分析】求出/(x)=f+2x+3的单调性，从而得到一9<。4一1.

【详解】”“=%2+2》+3在(9,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，故要想在(-9,a)为单调函数，

需满足一9<04-1,

故选：D

5.(2022.湖北武汉.高一期末)已知二次函数丫=/-2奴+1在区间(2,3)内是单调函数，则实数。的取值范

围是()

A.(^»,2]o[3,+oo)B.[2,3]

C.(^»,-3]O[-2,-H»)D.[-3,-2]

【答案】A

【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.

【详解】由题知，当一子42或一言23,即或时，满足题意.

故选：A

6.(2022•甘肃庆阳•高一期末)若函数y=〃x)在R上单调递增，且/(23)>〃-M，则实数用的取值

范围是()

A.(-oo,-l)B.(-1,+ao)C.(!,+(»)D.(-00,1)

【答案】C

【分析】由单调性可直接得到2机-3>-a，解不等式即可求得结果.

【详解】在R上单调递增，/(2zM-3)>/(-m),解得：m>\,

，实数用的取值范围为(1,侄).

故选：C.

7.(2022•全国•高一课时练习)下列四个函数在(y,0)是增函数的为()

A./(%)=+4B./(x)=l-2x

3

C.f(x)=-x2-x+1D./(x)=2——

【答案】D

【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可

【详解】对A,〃x)=f+4：次函数开口向上，对称轴为y轴，在(9,0)是减函数，故A不对.

对B,f(x)=l-2x为一次函数，k<0,在(-。,0)是减函数，故B不对.

对C,f(x)=-x2-x+\,二次函数，开口向下，对称轴为x=-g,在18,一；)是增函数，故C不对.

对D,f(x)=2-1为反比例类型，k<0,在(-8,0)是增函数，故D对.

故选：D

8.(2021•河南南阳♦高一阶段练习)已知函数f(x)=2>/m-x,对于任意的2,2]J(x)4加恒成立,

则实数机

的最小值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】利用换元法将函数的最值转化为二次函数的最值，即可求得次数用的最小值.

【详解】对于任意的xe[-2,2]使-x<m恒成立，

令<x+2=t(Ze[0,2]),则x=/一2,B|J2>Jx+2-x=2t-t2+2,

设/«)=_/+2/+2«€[0,2]),则/⑴«2,3],故加23,

即实数，”的最小值是3.

故选：D.

二、多选题

9.（2022•全国•高一课时练习）下列函数中，在（0,+8）上单调递增的是（）

A./（x）=2（x+l）B./（x）=（x-l）2C.f（x）=-^—D./（x）=|x|

X~1

【答案】AD

【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.

【详解】画出函数图象如图所示，

由图可得A,D中的函数在（0,+8）上单调递增，B,C中的函数在（0,+包）上不单调.

故选:AD.

10.（2021・江西•高一期中）如图是函数y=f（x）的图象，则函数/（x）在下列区间单调递增的是（）

C.[-1,2]D.[-1,2]J[5,8]

【答案】BC

【分析】根据单调性的定义即可由图知道八r）的增区间.

【详解】图像从左往右上升的区间有：（-6,-4）,（-1,2）,（5,8）,二危）在（一6,-4）,（-1,2）,（5,

8）上单调递增.

故选：BC.

三、填空题

11.（2022•全国•高一课时练习）写出一个同时具有性质①对任意都有/&）＞/（々）；②"1）=1

的函数/（x）=.

【答案】-（答案不唯一）

X

【分析】根据题意可得函数/（X）在（o,+8）为减函数，且/⑴=1再写出即可.

【详解】因为对任意。＜%＜多，都有/（与）＞/（々），所以函数f（x）在（0,y）上减函数.又/（1）=1,故函数

可以为f（x）=］（注：满足题目条件的函数表达式均可.）

故答案为：-（答案不唯一）

X

12.（2022・浙江丽水•高一开学考试）设函数/（x）=2x+3+b,其中力eR.若/⑴在［1,2］上不单调，

X

则实数〃的一个可能的值为.

【答案】。«2,8）内的任意一个数.

【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间，假设Ax）在口,2］上单调，即可求出。的取值范围，其

补集即为/*）在［1,2］上不单调时实数。的取值范围.

【详解】函数"X）的定义域为（y,o）u（o,y）,

由对勾函数的性质可得函数f（x）在-8,一左和J|,+8）上是单调递增，

若f（x）在［1,2］上单调，则栏22或修1,

解得a28或。42,

则/（X）在口,2］上不单调，实数a的范围是（2,8）,

故答案为：。«2,8）内的任意一个数.

13.（2022.全国•高一课时练习）函数〃X）=JX2+4X-12的单调减区间为.

【答案】（ro,-6］##（ro,-6）

【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增

异减''可求解.

【详解】函数〃力二50+以-设是由函数是由二&和“刀卜：+以-"组成的复合函数,

X2+4X-12>0，解得X4-6或X22,

，函数y=〃x）的定义域是{x|x4-6或北2},

因为函数"（x）=f+4x72在（9,-6］单调递减，在［2,内）单调递增，

而g（“）=4在［0,+8）上单调递增，

由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数/（X）的单调减区间（-00,-6］.

故答案为：（-8,-6］.

四、解答题

14.（2022・全国•高一）已知"0,函数f（x）==.

ax

⑴指出了（X）在（0,+8）上的单调性（不需说明理由）；

（2）若"X）在上的值域是,求6的值.

【答案】（l）/（x）在（0,+8）上是增函数

（2）2

【分析】（1）由于/。）=工-4，利用反比例函数的性质，即可得到结果；

ax

（2）根据（1）的函数单调性，可知f（£|=g,/S）=。，解方程即可求出结果.

（1）解：因为所以f（x）在（0,+8）上是增函数.

ax

（2）解：易知由（1）可知/（X）在上为增函数.

.‘.d9=』_2=；,解得。=1,

\1）a25

由/S）=b得解得b=2.

15.（2022・湖南•高一课时练习）设函数“X）的定义域为㈠,5）,如果〃x）在（Y,0）上是减函数，在（0,5）

上也是减函数，能不能断定它在（T，5）上是减函数？如果〃x）在（Y,0）上是增函数，在［0,5）上也是增函数,

能不能断定它在（T，5）上是增函数？

【分析】根据反例可判断两个结论的正误.

—x+3—4<xK0

【详解】取〃X)=''，则/(X)在(T,0)上是减函数，在(0,5)上也是减函数,

J人,人*7

但/(-0.2)=3.2J(O.Ol)=4.99,/(-0.2)</(0.01),

因此不能断定了(x)在(T,5)上是减函数.

x+5,-4<x<0/、/、「、

若取〃x)=,.v，则〃X)在(-4,0)上是增函数，在［0,5)上也是增函数,

人1InXZ<二41J

但/(-0.2)=4.8J(0.01)=3.01,/(-0,2)>/(0.0I),

因此不能断定“X)在(T,5)上是增函数.

16.(2022・全国•高一专题练习)已知函数〃1-3”的定义域为4=

⑴求/(x)的定义域8；

(2)对于(1)中的集合8,若小eB,使得〃成立，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)8=-2,；

⑵偌，+s)

【分析】(1)〃1一3耳的定义域xe可以求出-241-3x4；,即〃x)的定义域；

(2)令g(x)=X2-x+l,若士GB,使得”>g(x)成立，即可转化为a>g()而成立，求出g(x),Rn即可.

(1)•••/(1一3%)的定义域为4=,；.*E.

—2<1—3x4—,IjlljB=—2,—.

4L4.

(2)令g(x)=d-x+l,

使得a>d-x+l成立，即〃大于g(x)在-2,；上的最小值.

一丫2

：g(x)=A-2J+"

g(x)在-2,；13

上的最小值为g

716

•••实数。的取值范围是借,口).

【能力提升】

一、单选题

1.(2022•全国•高一课时练习)已知函数“X)的定义域为R,满足〃x+l)=/(l-x),且当々>再>1时，

"(々)-/(%)](々-玉)<0恒成立，设"(7),b=f(2),c=/(e)(其中e=271828…)，则a,h,

c的大小关系为()

A.c>a>hB.b>c>a

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】根据函数单调性的定义判断出“X)在(l,y)上单调递减,再利用〃x+l)=/(l-x)把/(-l)转化为

/(3),最后利用/(x)的单调性判断即可.

【详解】因为》2>玉>1，所以%-内>0,因此〃吃)一/&)<0,BP/(X2)</(X,),

所以f(x)在(1,+8)上单调递减，

又因为〃x+l)=〃l-x),所以〃-1)=〃1-2)=/。+2)=〃3),

又因为l<2<e<3,所以/⑵>/(e)>/(3),

所以“C>4.

故选：B.

【答案】A

【分析】探讨函数)，=丁匚的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.

【详解】函数y=4的定义域为{XCRIXH-1},选项c,D不满足，

因y=字二！=1_」一,则函数丫:各在(F,-D,(-1,口)上都单调递增，B不满足，则A满足.

1+x1+X1+X

故选：A

【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判

断图象的上下位置；

(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.

3.(2022•全国•高一课时练习)设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+l)=2/(x),且当x«0,l］时,

Q

/(x)=x(x-l).若对任意都有则加的取值范围是()

(91(71(51(8-

A.|-℃,-B.IC.l-oo,-D.I

【答案】B

【分析】根据函数关系式可知f(x)=2*f(x-&)(AeZ),由此可确定了(同在(1,2］,(2,3］上的解析式,并确

QQ

定每段区间上的最小值；由x«2,3］时，可确定=在此区间内的两根，结合函数图

象可确定加的范围.

【详解】由〃x+l)=2/(x)知：〃x)=2/(x—l),;J(x)=2£/(x—k)(壮Z)；

当xe(0,l]时，〃x)=x(x—1)=产_孙则

当xw(l,2]时，x-\G(0,1],/(x)=2/(x-l)=2(x-l)(x-2)=2x2-6x+4,

贝4图=q；

当xw(2,3]时，X-2G(0,1],/(X)="(X—2)=4(X—2)(X—3)=4/—20X+24,

贝4(％,=呜)=_]<]；

Q7Q

令4f-20x+24=-],解得：x=§或x=±

作出函数/(x)的大致图象如图所示.

QQ7

对任意xe（ro,〃7|恒成立，>--,则加

即实数机的取值范围为18,（.

故选：B.

二、多选题

4.（2021・安徽•高一期中）下列命题正确的是（）

A.“X）的定义城为［-2,2］,则/（x-1）的定义域为［T3］

B.函数y=2x+F7的值域为

C.函数/（》）=下=的值域为［2,内）

VX2+2

D.函数>的单调增区间为（f,l）（1,田）

1—X

【答案】AB

【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判断A;利用换元法求得函数>=2x+VT7值域，可判断B;利用基

本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号，可判断D.

【详解】对于A选项，由于函数/（X）的定义域为［-2,2］,对于函数f（x-l）,-2<x-l<2,

解得T4xW3,所以函数的定义域为［T,3］,A选项正确;

对于B选项，令/=则x=l-「，y=2（l-*）+r=_2（f_；）,且f=时，取得等

号，所以函数y=2x+7T=7的值域为18,/,B选项正确：

对于C选项，，（》）=叁匕=正巧+7当且仅当=时，即d=_i等号取得，

&+2&+2Vx2+2

但等号取不到，所以C选项错误;

对于D选项，^=占==2=2-1=/；示-1,所以函数'=+的单调增区间为（73,1）和（1,+8）,

单调区间之间不能用并集符号，D选项错误，

故选：AB.

5.（2021.辽宁实验中学高一期中）下列命题，其中正确的命题是（）

A.函数y=2x2+x+l在（0,+oo）上是增函数

B.函数），=」一在（a，D5Ly）上是减函数

x-\

C.函数y=J5+4X-X2的单调区间是⑵收）

D.已知/（X）在R上是增函数，若a+b＞0,则有/3）+f3）＞./■（-〃）+f（—b）

【答案】AD

【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，函数y=2x\x+l的对称轴为x=—二=一［,开口向上，所以函数），=2/+x+l在

（0,+8）上单调递增，故A正确；

对■于B选项，因为当x=-2时，y=-1,当x=2时，y=\,

所以函数＞=—］在（-1,内）上不是减函数，故B错误；

对于C选项，解不等式5+4x-f20得-14x45,函数y=右+以一丁的定义域为卜1,5］,故C错误；

对于D选项，由a+匕＞0得〃＞—2＞-。，由于/（X）在R上是增函数，故〃«）＞〃—6）,/伍）＞/（一。），所

以〃4+/伍）＞"一0）+/（一6）,故D正确.

故选：AD

6.（2022・全国•高一课时练习）已知函数“X）的定义域是（0,+8）,且/（q）=/（x）+/（y）,当x＞l时，

/（x）＜0,/（2）=-1,则下列说法正确的是（）

A./⑴=0

B.函数/（X）在（0,+8）上是减函数

C1州岛*…+唱+佃+f（2）+〃3）+…+/（2021）+〃2022）=2022

D.不等式个卜—22的解集为［4,同

【答案】ABD

【分析】利用赋值法求得了⑴=0,判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单

调性，判断B;利用〃孙)=/(x)+/(y),可求得C中式子的值，判断C：求出/[£|=/(£|+/]£|=2,

将/(^)一/(工一3)±2转化为/(：)+/[七)*/(；]，即可解不等式组求出其解集，判断D.

【详解】对于A,令x=y=l,得/(1)=/(1)+/(1)=2/(1),所以/(1)=0,故A正确：

对于B,令y=：＞0,得f⑴=f(x)+f(£|=0,所以=

任取玉G(0,”)，且X1＜当，则〃占)-/(占)=/(*2)+/—=/

/\x\J

因为强＞1,所以/㈤＜0,所以〃动＜〃5)，

所以，(力在(0,+8)上是减函数,故B正确;

对于C'《圭卜•'(系卜…+/3卜/〔扑/(2)+/(3)+““(2°21)+/(2022)

=7(击'2°22)+/(击x2021)+…+/〔：x3)+/(；x2)=/(l)+/(l)+…+/(1)+/(1)=0,故C错误;

对于D,因为〃2)=-1,且/(£]=-/(力，所以/(；)=-/(2)=1,

所以4)=/({)+吗)=2,

所以/&)-/(63)22等价于士卜

—^＜1

x(x-3)4

又“X)在(0,+8)上是减函数，且/3)=/(x)+/(y),所以■^＞0,

」一＞0

x-3

解得X之4,故D正确，

故选:ABD.

7.(2022.广东深圳.高一期末)(多选)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数

学王子”美誉的高斯提出了取整函数丫=[司，M表示不超过X的最大整数，例如已知

/（X）=,xe（-oo,-3）u（2,-H»）,则函数〃x）的值可能为（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】BCD

【分析】利用常数分离法知”=2-士，根据x的取值范围结合不等式的性质求出2-2；■的取值范围,

X+lx+lX+1

进而得到函数“X)的值.

【详解】Q生11=生止m=2--—,xe(e,-3)52,+«)

x+1x+\x+l

1133

当x>2H'l",x+1>3,0<----<-=0<----<1,「.1<2-----<2,

x+13x+lx+\

此时〃力的取值为1;

」」<0n3±<。,汽c37

当x<—3时,%+1v—2»:.2<2-------<—

2x+l2x+1x+12

此时f(x)的取值为2,3.

综上，函数f(x)的值可能为1,2,3.

故选：BCD.

三、填空题

8.(2022.全国•高一专题练习)点P&yJ、Q(f+1,%)均在抛物线产a(x-尸+匕(«<0,八6为常数)

上，若,<%，则f的取值范围为.

【答案】

【分析】根据。<0,可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=l,当P、。两点

关于抛物线对称轴对称时，可求出根据根据，+1>人%>乂，即可求出，的取值范围.

【详解】根据。<0,可知抛物线开口向下，

根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=l，

则有时，y随x的增大而增大；

当尸、。两点关于抛物线对称轴对称时，则有二产=1，

解得/=；，

'：t+l>t,必>卜，

又•；xVl时，y随x的增大而增大;

，可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，

P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，

当尸、。分别在对称轴下1的两侧时，

随着P、。向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，。的纵坐标逐渐减小，

当尸、Q两点关于抛物线对称轴对称时有必=X，

继续正方向移动，则有%＜耳，

满足以＞乂的t的取值范围：，

故答案为：彳.

四、解答题

9.（2022.全国•高一课时练习）已知函数/（"=与］,判断并证明“X）在区间［-2,2］匕的单调性.

x+8

【答案】单调递增，证明见解析

【分析】利用单调性的定义证明，先任取七，9«-2,2］,且不＜三，然后作差/（3）-/伍），变形，判断

符号，即可得结论.

【详解】/（X）在区间［-2,2］上单调递增，理由如下：

任取玉，x,e［-2,2］,且不＜丫2，

f（x\-f（x西一1_当-1=（x「l）（x；+8）一（D（x；+8）=（西-七）（氏+士+8-入内）

’3厂”^78"778"（7+8乂.+8）--k；+8）代+8）—'

因为一2＜匹＜%K2,

所以西一X2＜0,-4＜x,+x2＜4,-4＜x］x2＜4,

所以玉+冗2一丹马＞一8

所以~+/+8—3％2＞。，

所以4而）-/（马）＜。即./■&）＜/（&）,

所以函数“X）在区间［-2,2］上单调递增.

10.（2022•全国•高一课时练习）已知函数/（x）的定义域为（0,+8）,对任意正实数。、匕都有

〃必）+l=/（a）+/（。），且当x＞l时，〃x）＞l.求证：函数f（x）是（0,+s）上的增函数.

【分析】任取为、々e（0,M）,且々＞士，可得出/5）一f（为）=f三-1,结合已知条件可出了（%,）、/（々）

lxJ

的大小关系，即可证得结论成立.

【详解】证明；任取X］、€（0,+OO）,且9＞为,

则/⑸-/㈤"M-XJ

-/（5）=/M+/（XI）-/（X1）-1=/M-1.

Xx\JJ7\XI7

因为手'＞i,所以/国＞i，所以/㈤―〃与）＞0,即/（6/a），

所以函数〃x）是（0,y）上的增函数.

11.（2022・全国•高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：

⑴"-+；

（2）f（x）=-（x-3）W.

【答案】（1）图象见解析;单调递增区间为（e,-2）和（-2,内），无单调递减区间

（2）图象见解析;单调递增区间为0,1,单调递减区间为（v,0］和|,+8）

【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；

_y~1_3丫V*0

（2）化简函数的解析式为/（》）=2,'八，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.

x—3x,xV0

（1）画出"x）=-£1的图象如图所示,

可得其单调递增区间为（YO,-2）和（-2,XO）,无单调递减区间.

(2)/(x)=-(x-3)|x|=W+^X，X>®，作出该函数的图象如图所示,

x-3x,x<0

33、

观察图象，知该函数的单调递增区间为0,-,单调递减区间为(YO,0］和-,+ooI.

12.(2020・陕西・榆林市第十中学高一阶段练习)已知函数.7'(x)=L-’(a>0,x>0).

ax

⑴求证：/0)在(0,+=o)上是增函数;

2I

(2)当时，求不等式］4外幻42的解集.

【答案】(1)证明见解析；

⑵卜卜工臼

【分析】(1)利用函数单调性的定义与作差法即可证明;

(2)将。代入Ax),然后求解不等式即可

(1)任取王,&«0,侬)，且“<三，则不-々<0,占々>°，

11AAiiAiiY_Y

所以--------------=一一+—=-^~-<0,

Xj卜〃X2JX)X2XjX2

所以/&)</(&)，所以/(x)在区间(0，田)上单调递增;

251

⑵当叫尹〃加5-7

由夫/⑶。可得3|-12,解得

故不等式;</(x)<2的解集为ix||<x<2

13.(2021•广东广雅中学花都校区高一期中)设函数f(x)=x2+(x-l)|x-a|+3(aeR).

(1)当a=0时，求函数的单调递减区间;

(2)若函数/(X)在R上单调递增，求a的取值范围；

(3)若对VreR,不等式“力22x恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)(0，；)；(2)a>|；(3)-3<a<l.

【解析】(1)去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间.

(2)去掉绝对值符号可得/(尤)=广1"+?无+3+“，*”,根据函数在R上单调递增可得关于”的

不等式组，从而可得其取值范围.

⑶等/、价于尚[x>.a(.+3户+3+.对且/[x<ga+33。恒成立,前者可分类讨论，后者可结

合一次函数的图象和性质，两者结合可得a的取值范围.

2/_(+3r>0

【详解】(1)"0时，/(X)=X2+(X-1)|X|+3=C]一，

x+3,x<0

故“力在S，o)上为增函数，在(o,J上为减函数，在(；，+8)为增函数，

故函数的单调递减区间为(0，；｝

co.f2x2-(a+\]x+3+a,x>a

(2)f(x)=x+(x-1)x-a+3=x+1,

[a+\)x+3-a,x<a

-a-+-1<,a

4

因为函数/(%)在R上单调递增，故。+1>。，

2a~—(〃+l)a+3+a2(a+1)Q+3—a

解得“q

⑶.等价于保/+3)尤+3+/。且/以+3.g0恒成立，

\x<afiz-l<0

先考虑/一、八恒成立，则2八八，故

[("1)元+3-aNO[a-2a+3>0

x>a

再考虑a2/,八恒成立，

2x一(a+3)x+3+aN0

X-a=——>,^―—>a,

444

A=(a+3)2-8(a+3)<0以始_,

故解得一34。41,

a<1

综上，。的取值范围为—34a41.

【点睛】方法点睛：对于含绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，从而把问题题转化为常见的一次函

数、二次函数在给定范围上的恒成立问题，注意先讨论简单的一次函数的性质，从而参数的初步范围后再

讨论二次函数的性质.

14.(2021・重庆市清华中学校高一阶段练习)对于定义域为/的函数，如果存在区间［见〃］=/,同时满足

下列两个条件：

①/(x)在区间［见n］上是单调的；

②当定义域是向，川时，〃x)的值域也是［见网.则称［皿川是函数丫=/(幻的一个“黄金区间

(1)请证明：函数y=l」(x>0)不存在“黄金区间

X

(2)已知函数y=/-4x+6在R上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间

(3)如果值,〃］是函数丫=叵孚二1(〃*0)的一个“黄金区间”，请求出”一”的最大值.

a~x

【答案】(1)证明见解析；(2)［2,3］；(3)殛.

3

【分析】(1)由y=i,为(0,+8)上的增函数和方程的解的情况可得证；

X

(2)由y=(x-2)2+222可得出帆N2,再由二次函数的对称轴和方程f-4x+6=x,可求出函数的“黄金

区间”；

(3)化简y(x)=(〃+T=四-得函数的单调性,由己知"S<〃)是方程但-4=x的两个

axaaxaa-x

同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示〃-m由。>1或。<-3,可得

Va33

”一"的最大值.

1ff(ni)=m

【详解】解：⑴证明：由y=i——为(。,y)上的增函数，则有:、，

：.}--=x<^x2-x+］=0,无解，...y=l-』(x>0)不存在“黄金区间”；

XX

(2)记［，”,〃］是函数y=/-4x+6的一个“黄金区间,'(加<〃),

由y=(x-2)2+2N2及此时函数值域为［加,〃］，可知m22

而其对称轴为x=2,，y=d-4x+6在［肛网上必为增函数，

2

令x?—4x+6=x,•**x—5x+6=0,*,•=2,x2=3

故该函数有唯一一个“黄金区间”［2,3］；

(3)由/(*)=("2+"-1="1-，-在(—,0)和(0,e)上均为增函数,

axaax

已知了(%)在“黄金区间”［九川上单调，所以g，川口(f,。)或［也利=(0,”)，且知功在在M上为单调递增,

则同理可得/(，")="，/(")=〃，即加,"(a<〃)是方程四-/一=*的两个同号的实数根，等价于方程

aa"x

-(〃+“)x+i=o有两个同号的实数根，

又加”=二>0,则只要△=(/+a)2-々J>。，。>1或“<-3,

a-

而由韦达定理知"+%=”:"=史1,mn=\,

aaa

所以〃-〃?=小伽+m)2-4〃?"=+—+1=^-3(--i)2+y,其中”>1或av-3,所以当

“=3时，〃一机取得最大值过1.

3

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将

值域问题转化为方程的根的情况得以解决.

15.(2022.广东•普宁市第二中学高一期中)已知函数g(x)=ox+6,h(x)=x2+l,/。)=愕.若不等

h(x)

式a(x)-g(x)-340的解集为［-1,2］

⑴求。，匕的值及〃x);

(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并利用定义证明你的结论.

⑶已知也,々武。，4^0)，且为<七，若f(xj=〃w).试证：％+尤2>2.

【答案】(l)a=l，/，=0；〃力=心

r+1

(2)函数/(x)在区间(0,1)上的单调递增，证明见解析

(3)见解析

【分析】(I)根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值

(2)定义法证明单调性，假设4<电，若/(与)</(三)，则单调递增，若/■(%)>〃9)，则单调递减

(3)单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大

l+a-b-2=0,,a=\

⑴/z（x）-g（x）-340,即取_6_2V0,因为不等式解集为［T2］,所以4-2“-。-2=0'解得:

b=0

所以小）=六

（2）函数/1（x）在区间（0,1）上的单调递增，证明如下:

假设不＜%，则为-々＜0

/(X,)-/(X)=-^yX?X]X)~+X[—/Xj—(%一“2)(1一"["2)

2V+1(玉2+1)(/2+])(犬+1)盲+1)

(%一/)(1-中2)

因为所以1—玉々＞0,所以/（%）一/（9）=<0,即当X1<电时，/(-^)</(%2),

2

(V+I)(X2+I)

所以函数/（X）在区间（0,1）上的单调递增

（3）由（2）可得：函数f（x）在区间（0,1）上的单调递增，在区间（L+?）上的单调递减，因为/（xj=/（w）,

且西,々e（0,+oo）,xt＜x2,所以为e（0,l）,x,e（l,+℃）,2-A,e（l,+oo）

证明国+々＞2,即证明电＞2-玉，即证明/仇）＜〃2-玉），因为/（苍）=/（±）,所以即证明

/（3）＜/（2-%），代入解析式得：,即

%+1（2-xJ+1

忘7-\二；1］一＜°，令"（力=3一（2（；；）?1"«°」），因为““）=£7在区间（（）」）上的单调递增,

（2-%）

根据复合函数同增异减的性质可知，.二J：］在区间（。/）上的单调递减,所以

（2-x］

*（x）=¥x7T（2_x）2；i"«°/）单调递增'即9（x）g=°（l）=0,所以8（x）＜0在区间（°/）上恒成立，即

其%,1＜祗（2-x＜.）?得证-+々＞2

【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较

大，解题过程中应用到以下知识点：

（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若“々）＜/（2-%），且

单减，则当＞2-占：解题过程

（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数

16.（2021.江苏•高一单元测试）已知函数"x）=x+q-4,g（x）=6+3

⑴对任意的“e［4,6］,函数|/（x）|在区间［1,〃?］上的最大值为|/（"，）|,试求实数机的取值范围；

（2）对任意的aw［1,2］,若不等式|/（占）卜|/（々）|<8（与）-8（王）任意对%2<2,4］（士气）恒成立，求实数上

的取值范围.

【答案】（1）加26

⑵A46-46

【分析】（1）由己知可得|/（x）|=/（x）,结合对勾函数的单调性与最值情况求参数范围：

（2）由题意不等式可转化为函数尸（幻