初升高数学暑假衔接（人教版）第21讲 弧度制（教师版）

第21讲弧度制1．了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性；2．能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制；3．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题。一、弧度制1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同.联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.二、角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度03、角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。四、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积考点一：角度制与弧度制的概念辨析例1．下列说法中，正确的是（）A．1弧度角的大小与圆的半径无关B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．用弧度来表示的角都是正角【答案】A【解析】A：由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故A正确；B：大圆中1弧度角与小圆中1弧度角的大小相等，故B错误；C：圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关，半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误；D：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，故D错误.故选：A.【变式训练】（多选）下列各说法中，正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关【答案】ABC【解析】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确；1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，故B正确；根据弧度的定义，一定等于弧度，故C正确；根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小均与圆的半径长短无关，而是跟弧长与半径的比值有关，故D错误的.故选：ABC.考点二：角度制化为弧度制例2．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，.故选：C【变式训练】的弧度数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由.故选：B考点三：弧度制化为角度制例3．若角，则角θ对应的角度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】根据弧度制与角度制的互化可知，.故选：C【变式训练】把弧度化成角度：______【答案】【解析】，故答案为：考点四：扇形的弧长计算例4．已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角______【答案】【解析】设弧长为，半径为,则cm，2cm，.故答案为:.【变式训练】荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（）A．米B．米C．13.6米D．198米【答案】A【解析】由题意，秋千的最大摆角为，且秋千的缆索长为米，即半径，所以秋千最大摆角所对的弧长为米.故选：A.考点五：扇形的面积计算例5．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设扇形的圆心角大小为，半径为，则由扇形的面积为，可得：，解得：扇形的圆心角．故选：C【变式训练】工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为__________cm2

【答案】400π【解析】根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故答案为：400π考点六：扇形中的最值问题例6．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．（1）若，，求扇形的弧长l；（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【答案】（1）；（2）扇形周长的最小值为，此时【解析】（1）因为，，所以扇形的弧长；（2）由扇形面积，得，则扇形周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，，所以，所以扇形周长的最小值为，此时.【变式训练】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．（1）若，求扇形的弧长．（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设扇形的弧长为l．因为，即，所以．（2）由题设条件，知，则，所以扇形的面积．当时，S有最大值36，此时，所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．1．下列命题中，正确的是（）A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径长的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角【答案】D【解析】因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以选项ABC说法不正确，D正确，故选：D2．用弧度制表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C．3．某钟表里分针按正常方式走了2小时20分，则对应时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用任意角的概念可得，顺时针方向旋转角为负角，一小时时针转过的角度为，2小时20分相当于小时，所以对应时针转过的弧度数.故选：B4．若，，则终边所在象限为（）A．第一象限B．第一、三象限C．第二象限D．第二、四象限【答案】B【解析】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故经过一三象限，故选：B.5．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）A．1B．C．或D．或【答案】C【解析】由题意如图，，所以三角形为等边三角形，所以,因为同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以，因为四点共圆，所以.故选：C.6．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）

A．B．C．D．【答案】C【解析】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为．故选:C7．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（）A．10B．15C．20D．25【答案】D【解析】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，由题有，则，当时取等号.故选：D8．（多选）下列转化结果正确的是是（）A．化成弧度是B．化成角度是C．化成弧度是D．化成角度是【答案】AB【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：.9．（多选）下列转化结果正确的是（）A．60°化成弧度是B．化成度是－600°C．－150°化成弧度是D．化成度是15°【答案】ABD【解析】对选项A：60°化成弧度是，正确；对选项B：化成度是－600°，正确；对选项C：－150°化成弧度是，错误；对选项D：化成度是15°，正确.故选：ABD10．（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（）A．该扇形的半径为11B．该扇形的半径为22C．该扇形的面积为100D．该扇形的面积为121【答案】AD【解析】设该扇形的半径为r，弧长为l，则，即，解得．故该扇形的面积．故选：AD.11．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________．【答案】【解析】因为，所以，扇形的圆心角为，半径为，所以，该花园的护栏的总长度为.故答案为：.12．已知（1）将写成的形式，并指出它是第几象限角（2）求与终边相同的角，满足．【答案】（1），它是第三象限的角；（2），【解析】（1）因为，故，∵，，∴将写成（，）的形式为，它是第三象限的角．（2）∵与的终边相同，∴令，，当，满足题意，故，．1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.故选：B2．已知扇形的周长为6cm，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1．故选：A．3．下列各对角中终边相同的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】对于A，，其终边与的终边相同，与的终边不相同，A错；对于B，，其终边与的终边相同，与的终边不相同，B错；对于C，，其终边与的终边相同，C对；对于D，，其终边与的终边相同，与的终边不相同，D错.故选：C4．下列结论错误的是（）A．－150°化成弧度是B．化成度是－600°C．化成弧度是D．化成度是15°【答案】A【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确．故选：A5．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（）A．1：2B．1：4C．D．1：8【答案】C【解析】设扇形的圆心角的弧度数为，两圆的半径分别为和，则，.两个扇形周长的比为:.故选：C6．下面关于弧度的说法，错误的是（）A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为，弧度数为，则.C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.【答案】D【解析】A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，即弧度数为，故C正确；D.圆周长为，32等分后，每一份弧长为，故D错误.故选：D7．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，设，，由题图及弧长公式可得解得设扇形COD、扇形AOB的面积分别为，，则该玉雕壁画的扇面面．故选：D.8．下列命题中，正确的是（）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关C．若是第一象限的角，则是第四象限的角D．若是第一象限的角，则也是第一象限的角【答案】D【解析】对于选项A，由弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，故A错误；对于选项B，用角度制和弧度制度量角，由定义可知都与圆的半径无关，故B错误；对于选项C，因为是第一象限角，所以，，所以，，当时，，为第二象限角，故C错误；对于选项D，因为是第一象限角，所以，，所以，，是第一