高中数学异面直线夹角自编

浅

谈

异

面

直

线

所

成

的

角

异面直线所成角的求法

求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公

式法。

一、几何法：

几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同

一平面内的相交直线，进而利用平面几何学问求解。根本思路是选择相宜的点,

平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特别位置的

点。常见三种平移方法：干脆平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：

补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题

转化为易于探讨的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是

常用的方法之一。

例：长方体ABCD—AiBiCQi中，假设AB=BC=3,AAi=4,求异面直线

BQ与BCi所成角的大小。

干脆平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个点，构成

一个平面，在此平面内做直线a的平行线。

解法一：如图④，过&点作BE〃BG交CB的延长线于E点。

那么NDBE就是异面直线DBi与BG所成角，连结DE交AB于M,

DE=2DM=3V5,

cosNDB|E=.7^^NDBiE=arccos二的。

170170

解法二：如图⑤，在平面DDBBi中过B点作BE〃DBi交DB的延长线于E,

那么NGBE就是异面直线DBi与BG所成的角，连结GE,在△BCE中,

NCBE=135°,GE=3百，cosN3BE=^^,NC】BE=a%cos。

170170

课堂思索：

1.如图，PA_L矩形ABCD,PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。

ABCD中，假设棱BBI=BC=1,AB=V3,求DB和AC所成角的余弦值.

【例2】如下图，长方体ABCQi-ABCQ中，NAB4=45°,NA|AOi=60°,求异面直线4B与AA

所成的角的度数.

AD

例2题图

中位线平移法

分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的

角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结BiC交BCi于0,过。点作OE〃DBi,那么NBOE

为所求的异面直线DBi与BG所成的角。连结EB,由有BiD=庖，BCi=5,

35/5...cosNB0E=宜更A

BDCE=----,/B0E=arccos7

2170170

解法二：如图②，连DB、AC交于。点，过。点作OE〃DB”过E点作EF

〃GB,那么NOEF或其补角就是两异面直线所成的角，过。点作OM〃DC,连

结MF、OF。那么OF=f,cosZOEF=-^^,

异面直线B,D与BG所成的角为

图③

解法三：如图③，连结LB交DBi于0,连结DA那么四边形ABCD为平

行四边形。在平行四边形ABCD中过点。作EF〃BG交AB、D£于E、F,那么

ND0F或其补角就是异面直线DBi与BG所成的角。在AADF中DF二手,cosN

DOF=2^I,ZD0F=arccos7734

o

170170

课堂练习

1.在正四面体ABCD中，E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值。

C

补形法

分析：在图形外补作一个一样的几何体，以例于找出平行线。

解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体

ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,那么DB/DzB,.\NGBD2或其补角就是异面直线DBi

与呢所成的角，连皿那么△CD4为Rt△-4舱一哥,

••・异面直线DBi与BC,所成的角是"ccos1^。

课堂练习：求异面直线A1C1与BD1所成的角

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE,那么

ZD1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在aBDIE中，

BD1=3,D[E=+2）=2下

二、矢量法。

利用向量，设而不找，对于规那么几何体中求异面直线所成的角也是常用的方

法之一。常有向量几何法和向量代数法两种。

解法一：如图⑦，连结DB、DC,,设异面直线DBi与BG所成的角为

cos6二HR而函.属=函■（函+而）=函.函+函.范

=|。4|忸叫COS〈函，函〉+\DBt\I^C.Icos〈函，束]〉

BBi/ZDD,

〈函，函〉=〈西，函〉=ZDiDBt

4

cosNDiDBi=

V34

〈西，而〉=180°—NDBG

______3

7cosNDB£=:=I.cos〈DB.,B,C,〉=—cosNDBiG=——j=

V34V34

-------------7x/347x/s4

DB.•BC.=7/.cos0=-------，0=arccos--------

11170170

解法二：如图⑧，建立如下图的空间直角坐标系,那么B(3,3,0),B,

[3,3,4),D[0,0,0),3(3,0,4〕。

设西和西的夹角为。，

那么cos”国织二返

网卜G|170

...异面直线函与西所成的角为arccos臂。

课堂练习：

长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AAl=2cm,AD=lcm,求

异面直线A1C1与BD1所成的角。

向量几何法：AB、AD、AA)为空间一组基向量

AJCJcJa+b|，=C+1=由

|BD)hJb+c-a|2-jb|J*|a|J+|c|a-3

7

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

向量代数法：

a3

LHL1<Ja/+aJ+a/+b2+b,

以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，那么A(0,1,

0)、C(2,0,0),B⑵1,0)、D1(0,0,2),[M3BD)-(-2.-1.2),AC-(2,-1.0)

-5有

cos<BDt,ACa

7

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为巴

5

三、公式法

公式法实质是矢量几何法的推广：

公式一、定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为0

qADJ+BCa-ABa-DC3

cosd----------------------

那么有2ACBD

证明，

-,■\BD»AC\=\忸4|BD|CW

而与£>=胡+,£）

\BD•AC|=|（BA+AD）*AC|=\BA•AC+AD*AC\

AB2+AC2-BC2AD2+AC2-CD2AD2+BC2-AB2-CD2

1=

2---------2----------------------2

dAD2+BC3-AB2-DC3

COS0----------------------

所以有：2ACBD

例：长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AAl=2cm,AD=lcm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。

解：连结BC1、A1B在四面体为8,易求得

AR-BCj-AdCj

CuSC^1*-------------------------

由定理得:2AleiBD]

『+称F..无)1-2’

2x5/5x3

平面a的斜线a与a内始终线b相交成。角，且a与a相交成(pl角，a在a上的射影c

与b相交成(p2角,那么有cosgcos=cos0

公式2用几何法探讨:

在平面a的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为0、B.

连接0B,那么0B±b.

在直角AAOP中，cos。1=-^.

AR

在直角AABC中，cos^,=—.

AO

AR

在直角AABP中，cos6>=—.

AP

所以

AOABAB

COS6?iCOS69=-------•--------=--------COS0

?APAOAP

所以COS0cos/=cos8成立.

(7)三棱柱ABC-A用G的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上的射影为BC的中点，那么异

面直线AB与CG所成的角的余弦值为(D)

，、省,、加…手3

(A)(B)(C)(D)-

4444

解：设8C的中点为D,连结AD,AD,易知e=N4A8即为异面直线与CG所成的角，由三角余

AT)An3

弦定理，易知cos。=cosNAAD•cosNZM8=-----=二.应选D

"AA4

讲解习题：

例1在长方体ABCD—ABGD中，AB=BC=3,AA,=4.求异面直线AB和AD所成的角的

余弦.(如图1)

A

例2在长方体ABCD-ABCD中，ZC,BC=45°,ZB,AB=60°.求AB,与BC所成角的

余弦.（如图2）

例3正方体的棱长为a,M为AB的中点，N为B,B的中点.求AM与CN所成的角的

余弦.（如图3）（1992年高考题）

图3

例4在长方体ABCD—ABCD中，AA,=c,AB=a,AD=b，月.a>b.求AC与BD所成的

角的余弦.（如图4）

作业：

1.袜方体ABCD-A/iCQi中，AB=2g.BC=5,B[B=]2.

求BDi和所成〜一的角的余弦.[1京191

2.在长方体ABCD-A]BigDi中，BC=§,CD=浮,DD1=

75.求AiC^BR1所成角的大小.[60。]

3.在棱长为a的正方体ABCD—ABGD中，0是正方形ABCD的中心，E,F分别是AB,

BC中点.求：（1）异面直线AD和CD的距离；（2）异面直线CIO和EF的距离.

,或1

a,Ta]

4.在长方体ABCD—ABCD中，NBAB尸NBAC=30°.求：⑴AB与AC所成的角的

度数；（2）A,A与CB,所成的角的度数；（3）AB,与AC所成的角的余弦.

31

3（TJ45°；-

4

5、如图，在三棱锥S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，且EF=5,SA=6,BC=8,那么

异面直线SA与BC的夹角为多少？

将上例中的问题改为求SF与BE所成角的余弦值.

解：连结CF,Q取CM的中点G,连结EG、BG,那么EG//SF,，NABEG中，利用余弦定

2

理可解得：C0SZBEG=3.

高考题：

例1（2005年全国高考福建卷）如图，长方体ABC。一AiBGOi中，AAt=AB=2,AIM,点E、F、G

分别是AB、CG的中点，那么异面直线AiE与G尸所成的角是（）

A.arccos------

5

V10

C.arccos

"I-

解：连BQ,那么A|E〃&G,知N81GF就是异面直线4E与GF所成的角.在△B|GF中，由余

弦定理，得

8夕2+GF~2_刀尸(0)2+(G)2—(小了

cosBjGF=

2B3GF2•、/

故NB|GF=90°,应选（D）.

评注：此题是过异面直线FG上的一点G,作BQ,那么A|E〃B】G,知NBQF就是所求的角，从

而纳入三角形中解决.

例2（2005年全国高考浙江卷）设M、N是直角梯形ABC。两腰的中点，DEA.AB于E（如图）.现将

△AOE沿0E折起，使二面角A-OE-B为45°,此时点A在平面BC£>E内的射影恰为点8,那么M、

N的连线与AE所成角的大小等于.

,A

D

图2

解：取AE中点G,连结GM、BG

'：GM//ED,BN//ED,GM=-ED,BN--£Z).

22

GM//BN,且GM=BM

；.BNMG为平行四边形，，MN//BG

:A的射影为艮

.,.AB±fflBCDE.

，NBEA=NBAE=45°,

又；G为中点，.\BG1AE.

即MN1AE.

AMN与AE所成角的大小等于90度.

故填90°.

三、平移（或构造）几何体

有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.

例3（2005年全国高考天津卷）如图，Q4_L平面/WC,NACB=9（）°且Q4=AC=BC=a,那么

异面直线PB与AC所成角的正切值等于

解：将此多面体补成正方体DBC4—Q'3'C'尸，尸3与AC所成的角的大小即此正方体主对角线

PS与棱所成角的大小，在RtZXPDB中，即tan/。6A=丝=也.故填拒.

DB

点评：此题是将三棱柱补成正方体06c4—D'3'C'尸，从而将问

题简化.

B

［例4］在棱长为a的正方体ABC。一4'B'CD'中，E、F分别是8C、A'D'的中点.

（2）解：如下图，在平面ABCD内，过C作CP〃OE,交直线A£＞于P,

那么/A'CP（或补角）为异面直线A'C与力E所成的角.

在AA'C尸中，易得A'C=6a,CP=DE=—a,A'2=姮a由余弦定理得cosA'CP=^-

2215

故4'C与DE所成角为arccos^jy-.

［例5］如下列图，平行六面体A8CD—A/