1.3 勾股定理的应用 北师大版数学八年级上册课时同步练习(含解析)

1.3勾股定理的应用课时同步练习北师大版八年级数学上册一、选择题1．近年来，作为规模较小的城市绿色敞开空间，口袋公园改善了城市生态环境，方便了市民健身休闲．如图，某口袋公园内有两条互相垂直的道路OA，OB，若OA长40m，OB长20m，当小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时，小明所走的路程可能是（）A．35m B．42m C．44m D．52m2．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？()A．4米 B．3米 C．5米 D．7米3．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（）m长的梯子.A．20 B．25 C．15 D．54．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（）A．5 B．3 C．2 D．135．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC=90°，又量得AC=9m，BC=15m，则A、B两点之间的距离为（）A．10m B．11m  C．12m D6．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（）A．1 B．4 C．6 D．97．如图，校园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB=8m，BC=6m．从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段AC走．这样做会踩坏草坪，而实际上只少走了（）A．10m B．4m C．6m D．8m8．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺9．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（）

A．3米 B．5米 C．7米 D．9米10．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里二、填空题11．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距12．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是.13．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为.14．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为尺．（一丈=10尺）15．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距16．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是．三、解答题17．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？18．如图，强大的台风使得一根旗杆BC在离地面3m的A点处折断倒下，旗杆顶部C点落在离旗杆底部B点4m处，旗杆BC折断之前有多高?19．如图，一根竹子AB原高1丈（1丈=10尺），在点C处折断，竹稍A触及地面D处时，点D离竹根B有3尺，试问折断处离地面有多高？20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？21．如图，一艘小船停留在点A处，在离水面高度为8米的台阶上有一根绳子连接小船，用绳子拉小船移动到点D处，已知开始时绳子的长AC=17米，停止后绳子的长CD=10米，求小船移动的距离AD的长．22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．24．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，若DA=10km，CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短，∴小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时的最短距离即为AB的长，∵OA⊥OB，OA=40m，OB=20m，∴AB=O∵35∴小明所走的路程可能为52m，故答案为：D．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再比较大小即可。2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知，BE＝CD＝1.5m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理，得CE＝52-32故离门4米远的地方，灯刚好发光，故答案为：A.【分析】由题意求出离门的距离CE的长，灯刚好发光；在直角三角形ACE中，用勾股定理可求得CE的值即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：∵AC＝20m，BC＝15m，∴在Rt△ABC中，AB=152+故答案为：B.【分析】可依据题意作出简单的图形，结合图形利用勾股定理进行求解，即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：点P(-2,3)到原点的距离为(-2-0)2+(3-0)故答案为：D.【分析】由题意过点P分别作x轴、y轴的垂线，则点P的横、纵坐标的绝对值分别是直角三角形的直角边，点P到点O的距离是直角三角形的斜边，然后用勾股定理可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AC=9m，BC=15m，∴AB=BC故答案为：C.【分析】在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。故BC2=AB6．【答案】A【解析】【解答】解：大正方形的边长为5，较短直角边长为3，则较长直角边长4，∴小正方形边长为1，∴小正方形面积为1，故答案为：A．【分析】先求出较长直角边长4，再求出小正方形边长为1，最后求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：由勾股定理，得捷径AC=8少走了8+6-10=4(故答案为：B．【分析】利用勾股定理先求出AC=10m，再求解即可。8．【答案】C【解析】【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2解得：x=15，所以x+2=17．即：这个芦苇的高度是17尺．故答案为：C．

【分析】根据题意，设水池的深度为x尺，列出方程解答即可。9．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：OE=3m，OB=12-3=9m，OD=15-3=12m，AB=CD=15m，在Rt△ABO中，AO=AB在Rt△COD中，CO=CD∴AC=AO-CO=3m，故答案为：A．【分析】先利用勾股定理求出AO和CO的长，再利用线段的和差列出算式AC=AO-CO=3求解即可。10．【答案】D【解析】【解答】解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，∴∠AOB=90°，∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，∴AB=OA故答案为：D.【分析】利用方位角的定义可知∠AOB=90°，利用两船的运动速度，可求出OA，OB的长，再利用勾股定理求出AB的长.11．【答案】20km【解析】【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．在Rt△ABC中，AC=16×1=16km，BC=12×1=12km．则AB=AC2故答案为：20km．【分析】先判断△ABC为直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长即可。12．【答案】2【解析】【解答】解：∵如图是两个边长为1的小正方形，∴其对角线的长度=12∴大正方形的边长为2，故答案为：2.【分析】由题意可知大正方形的边长就是小正方形的对角线，所以用勾股定理可求得小正方形的对角线（即为大正方形的边长）.13．【答案】41【解析】【解答】解：由题意知BN为最大线段，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝AM故答案为：41.【分析】利用勾股定理求出BN的值即可.14．【答案】3.2【解析】【解答】解：1丈＝10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，根据勾股定理得：x2＋62＝（10−x）2，解得：x＝3.2．答：折断处离地面的高度为3.2尺．故答案为：3.2

【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理可得x2＋62＝（10−x）2，再求出x的值即可。15．【答案】30【解析】【解答】解：如图，由题意可知∠BAC=90°AB=12×1.5=18在Rt△ABC中BC=故它们相距30海里．故答案为：30

【分析】先求出∠BAC=90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。16．【答案】3cm【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，则AB=AC∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．故答案为：3cm．

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。17．【答案】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m，所以旗杆的高度为12米【解析】【分析】设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，由于旗杆，绳子与地面构成直角三角形，从而根据勾股定理建立方程，求解即可.18．【答案】解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=52，解得AC=5∴BC=AB+AC=3+5=8所以旗杆折断之前高度为8m。【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，进而可求出旗杆折断之前高度.19．【答案】解：设折断处离地面的高度BC是x尺，根据题意可得：x2+32=（10﹣x）2解得：x=4.55．答：折断处离地面的高度BC是4.55尺．【解析】【分析】设折断处离地面的高度BC是x尺，则AC=(10-X)尺，即CD=(10-X)尺，根据勾股定理建立方程求解即可。20．【答案】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，∴∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∵AC＝16×3＝48，BC＝60，∴AB=BC∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．【解析】【分析】先求出∠CAB＝90°，再利用勾股定理求出AB=36，最后求解即可。21．【答案】解：因为∠ABC=90°，BC=8米，AC=17米，所以在Rt△ABC中，AB=A在Rt△CDB中，BD=C所以AD=AB-BD=15-6=9（米），答：小船移动的距离AD的长为9米．【解析】【分析】利用勾股定理先求出AB=15m，BD=6m，再计算求解即可。22．【答案】解：设AC=x，则AB=x-3，在Rt△ABC中，AB∴(x-3)2解得：x=73答：绳索长是736【解析】【分析】设AC=x，则AB=x-3，根据勾股定理列出方程(x-3)223．【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8-x）米，∴在Rt△CBA中