高中数学导数试题

十、《导数》变式题（命题人：广大附中王映）

一导数的概念与运算

1»如果质点A按规律s=2户运动，则在片3s时的瞬时速度为（）

A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s

解析：・・H=6产，・・・5缶3=54.答案：C

变式：定义在D上的函数/（x）,如果满足：VxeD,三常数M>°,都有"（x）l

WM成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

S（r）=~+at

文（1）若已知质点的运动方程为“1，要使在'[°，+8）上的每一

时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数”的取值范围.

理（2）若己知质点的运动方程为s⑺=,2/+1—孔，要使在teg+oo）上的每

一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

工+。1

解:.由6,(f)|wi,得W1

令（什1）2,显然g[t]在[0,+00）上单调递减,

则当ff+8时，gO)-i.

/?(/)=—J--1

令GIT,显然〃⑺在［°，+8)上单调递减，

则当r=0时，)max"(0)=°a>0

；.0WaWl；

故所求。的取值范围为OW“W1.

S(r)=----a|一~--a\

(2)V21+\.由|S(r)lwi,得121+1W1

g(d=-1

&t+l,V(2r+1]3

令则

当fe[0，+8）时，有g（/）＜。，

g⑺

72t+l在[0,+8)上单调递减.

-1gV)max=g(0)=1

故当r=0时，有；

g⑺茄

又,当L*+8时,-0

——+1>1

g«G(0,l]TtbflV27+1

,从而有WO,且；.OWaWl；

故所求a的取值范围为OWaWl.

〃2+4¥）力2）

/(%)=-,则lim

2.已知XAx-»0/x的值是（)

11

A.4B.2C.4D,-2

解:

/(2+Ax)—/(2)_1

lim/1(2)=-X

AXTOAr27选A

得x=2

设八3）=4,则1讪但止组为

遮1：J02h)

A.-1B.-2C.13D.1

解：

/(3-/z)-/(3)=-1/'(3)=-2

-Llim

2h2-力->o—h2

选B.

/(%+3-/(%-3日坐

设在x。可导，则lim于

变式2：Ax

()

A2/(曲)f,M37‘00)"(x)

3.人教版选修1一1第84页例2,选修2—2第8页例2：

根据所给的函数图像比较曲线〃⑺在「。，小附近得变化情况。

变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是()

A.。<户(2卜户丫

C.0</(3)<户(2)</("3)'-/⑵(2)ri

D.0<〃3)-/(2卜户⑵寸⑶。1231x

解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT

点B处的切线为BQ,

."(3土穴2)=3-2

'"(3)=&0,f{2}=kAT,

如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于Q

切线AT的倾斜角

谒Q<R的

01234x

所以选B

4.人教版选修1一1第93页习题A组第4题，选修2—2第18页习题A组第4题,

求所给函数的导数：

3nxd-1

(文科)y=x+iog2%；y=xe'y=——

sinx

(理科)y=(x+l)99；y=2e~x-,y=2xsin(2x+5)

变式：

设火x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，尸(x)g(x)+/(x)g'(x)>0

且g(3)=0.则不等式_/(x)g(x)VO的解集是(

)

A.(―3,0)U(3,4-oo)B.(-3,0)U(0,3)

C.（—8,—3）u（3,+oo）D.（—8,—3）u（0,3）

5.人教版选修1一1第93页A组第6题、选修2・2第18页A组第6题

已知函数y=xlnx.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点犬=1处的切线的

方程.

X

变式1：已知函数y=e.（1）求这个函数在点x=e处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y="的切线，求切线的方程.

解：⑴依题意得：切点为侬，〃），=?,

ee

由点斜式得切线方程y-e=e[x-e]（

即y=eex-ee+x+ee.

（2）设切点为）丁"）-=

由点斜式得y-e'"=e"（x-xo）,

,,o

切线过原点，••-0-/°=^'（0-xJ/.'eLO,:.x^l,：.

切点为（Le），k=e,由点斜式，得：y-e=e（x-\）,即：y-ex.

变式2：函数y=ax2+l的图象与直线y=x相切，贝！|。=（）

\\

A.8B.4c.2D.1

解：设切点为（如为），y'岛=2",.•.攵=2/=1,①

又点（/%）在曲线与直线上，

即「。=就+1

1>°=的②

1

a=

由①、②得4,选B

说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先

“设切点的坐标”2.求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的

斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点.

6.人教版选修1一1第99页例2选修2-2第25页例2

判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是

A.[-1,0]B.第C.[1.2]D.觞

,、x,1e-x*e(1-xbe"

〃x)=x-e-x=—.f(x)=——2—=-----2—>0,X<\

解："㈤网,选A

或/，(x)=l-e-A+x-e-AX-l)=(l-^)-e-A>0,ve-x>0,：.x<l.(理科要求：复合函

数求导)

y=~x3+x2+ax-5

变式2：(1)己知函数3(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),

则。的值是.(2)若函数在U，+8)上是单调增函数，则a的取值

范围是_.

解：⑴若函数的单调递减区间是(-3,1)=(-3,D={x|/'(x)<0},⑵若函数在

”,+8)上是单调增函数O口，+8)=肛:(%)20}

12

解：(1)y=x+2%+a,因为函数的单调递减区间是(-3,1)

=(-3,1„)<0},

所以-3,1是方程/+2x+a=°的两个实数根，由韦达定理，(一3卜1=。,二。=一3(草

图略)

⑵若函数在口，+8)上是单调增函数0口，+8)之亚/口)住，，/

如图示，分类讨论：'/

1当即4-4处0,即位1,*廉条件成立；

bD/i-W////\j/

2当ILI即-3为<1,*沈条件成立；

▼

综上，42-3,*以条件成立，危-3为所求.

变式3：设厚。，点P(f,0)是函数/(X)=%3+HX与g(%)=6x2+C的图象

的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

(I)用,表示a,b,c；

(ii)若函数产/O)-gO)在(一1,3)上单调递减，求，的取值范围.

解：(D因为函数/(%),gO)的图象都过点(，，0),所以/0)=。，

即户+/=0.因为件0,所以。=一产.

又因为/(x),gO)在点(L0)处有相同的切线，所以/

而f(%)=3x2+a,g(光)=2如所以3"+a=2bt.

将a=一-代入上式得b=t.因此c=ab=-P.故a=-t2,h=t,

c=-P.

(n)解法

y=/(x)-g(尤)=*3-/*一tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)

当y=(3x+f)(x-f)<0时，函数y=/(x)-g(x)单调递减.

r>0,贝!J_'vxaf〈o,则tvx<一,

由y<0，若3；若3

由题意，函数V=/(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则

t

r>3^6__>3.即f<-9或，>3.

所以3一

所以f的取值范围为(-0°-9]U[3,+OO).

解法二：y=/O)-g(x)=%3-dx_52+户,y=3X2-2tx-t2=(3x+t^x-t)

因为函数y=/O)-g(x)在(一1,3)上单调递减，且y=(3x+r)(x-f)是

(—1,3)

上的邺物线，

；1蜘位例HWiiii

所以E即解得t<-9或总3.

所以「的取值范围为(-8,-9]u[3,+8).

7.人教版选修1-1第103页例4,选修2—2第29页例4

/（X）=_X3-4X+4

求函数3的极值.

人教版选修1一1第106页例5,选修2—2第32页例5

求函数3在1°，3」上的最大值与最小值..

变式1：函数/0）的定义域为开区间①力），导函数f（x）在力）内的图象如

图所示，则函数/（%）在开区间（°，〃）内有极小值点（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性,

然后列表可判断函数极小值点的个数。选A

变式2：已知函数/㈤=加+加+5在点无。处取得极大

值5,其导函数丁=/'（龙）的图象经过点a°）,

图所示.求：

（I）%的值；

（II）0力"的值.

解:

（I）由图得

X(0,1)1(1,22

)

00

极极

大小

值值

则玉＞=1;

"(1)=5a+Z?+c=5

</,1(1)=0<3a+2b+c=O

(2)=012a+4b+c=O

依题意得〔即〔

(H)

.・.a=2,b=-9,c=12

蜘3：

4

若函数/(灯="'-"+4,当尤=2时，函数/(光)有极值3,

(1)求函数的解析式；

(2)若函数/(%)=%有3个解，求实数k的取值范

围・解：f(x)=3ax2-b

(1)由题意：

f[x)=~x3—4x+4

■■所求解析式为3

(2)由(1)可得：/(%)=%2—4=(%—2)(%+2)

令/反)=(),得x=2或x=-2

当x变化时，/(x)、/W的变化情况如下表:

—

单调递增/单调递减、单调递增/

28

因此，当犬=-2时，/W有极大值3

当x=2时，有极小值

f[x}=~xi-4x+4-

函数3

y=k

428

―—<k<.

由图可知：33

/(x)=x3—hx2—2x+c

变式4：已知函数2，对x?(―1,2),不等式f(x)?c?恒

成立，求c的取值范围。

解：

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2)(X-1),函数/GJ的单调区间如下表:

X1(1,+?)

222

<—?,一3)-3(-3,1)

翼+0一0+

(X

)

f9极大9极小9

)值值

_L222

32

f(x)—x—2x—2x+c,x?(—1,2),当x=—3时，/(x)=27-]-c为极大值,

而/(2)=2+c,则/(2)=2+c为最大值。

要使f(x)?c2(x?[-1,2))恒成立，只需c2V(2)=2+c

解得c?一1或c?2

三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题

8.人教版选修1一1第108页B组习题，选修2—2第34页B组习题

利用函数的单调性，证明：lnx<x<e',x>0

1一—51n

谈L证明：(工+1归xx+1x>—1

证明：⑴构造函数/3=ln(x+l)-x,

1=~

X+1x+1(X>T),当1=0,/(0)=0,得下表

+0—

单调递增极大值〃°)=°单调递减

总有/(x)</(0)=0,ln(x+l)-x<0,.,.ln(x+l)<x.

另解X+1x+\(x>T),当1=0,/(O)=o,

当-IvxvO,/1)>(),单调递增，•.•-1<%<。,/(九)</(。)=。，……①

当尤>0,/(x)<O,/(x)单调递减，.”>0,/0)</(0)=0,..........②

当1=0,〃0)=0.........................................③

综合①②③得:当x>~［时，/(x)w°，-1.ln(x+l)-x<0,ln［i+l)<x.

g(x)=ln(x+l)+--1,18(x)=-=

⑵构造函数X+lX+l(X+l)20+1)2,

当x=0,g(O)=O,当T<x<0,g'3<o,g(x)单调递减；

当%>O,g(x)>O,g(x)单调递增;-X—O，gW极小值==k(X)］min=g(O)=。,

ln(x+l)+--1>O,

总有g(x)?g(O)=O，，x+l即：

x+l

<ln［x+l)<x

综上(1)(2)不等式x+l成立.

变式：(理科)设函数f(x：)=(l+x)2Tn(l+x)2,若关于X的方程f(x)=x?+x+a在［0,2］上恰好有

两个相异的实根，求实数a的取值范围.

解：

方程f(x)=x?+x+a,即x—a+1—ln(l+x)2=0,t己g(x)=x—a+1—ln(I+x)2.

，r、12x-1

所以1+xX+l由g'(x)>0,得x<—1或X>1,由g(x)<0

得一

所以g(x)在［0,1］上递减，在口,2］上递增,为使f(x)=x2+x+a^［0,2］上恰好有两

个相异的实根，只须g(x)=o在［°，D和Q，2］上各有一个实根，于是有

9,函数f(x)=X3+3x(XER),若加小2)+〃1一%X)>。恒成立，求实数m的取

值范围

解：由f(%)=3%2+3>3>0,得xe(-co,+co),单调递增；

又(-00,4-00),-.re卜oo,+矶/(-x)=(-x］3+3(-x)=-x3-3x=-7(x),

所以/㈤是奇函数.侬2)+川一斓>0,

■/(只在1°°，+8)上单调递增，：.mx2>mx-\恒成立，即：

mx2-mx+l>Q恒成立，分类：①当，"=00寸/>°恒成立，机=0适合;

②当〃年0,mx2-mx+\>0恒成立｛加>03打解得:0<加<4;

综上，Ow〃zv4

说明：(1)通过研究函数的性质(单调性与奇偶性)，利用函数的性质解决不等式问题,

是函数思想的重要应用.(2)找寻使mx2>mx-\恒成立的条件实际上依然用的是函数图

像(数形结合)的函数思想.

变式:设函数/。)=%3+3心€R),若/(加sine)+〃l-M>0(0三但可恒成立,

求实数m的取值范围.

解：由f(%)=3%2+3>3>0,得A-e(-oo,+co),单调递增；

又xG(-co,+oo),-xE{-co,+oo),/(-X)=(-X]3+3[-X)=-X3-3X=-7(A:),

所以/(x)是奇函数..二/恤sin盼一用T),

：.msin6>m-l：.m[\-sin6>)<l

恒成立，即【2J恒成立.

6>=-,0<10<0<~,

①当2成立；mER;②当2

o加v--------0

l-sin/9

10.如图,曲线段OMB是函数/(x)=x2(°4xW6)的图象,BA_LX轴于点A,曲线段

OMB上一点M9")处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q

(1)若t已知,求切线PQ的方程(2)求AQAP的面积的最大值

»

解：(1)/(x)=2x,所以过点M的切线的斜率为

y)=2，

2

由点斜式得切线PQ方程为y一厂二2/(XV),

2

即y=2tx-t……①

s=_|AP||AQ|=_(6-x)y

△QAPOIII1cPQ

⑵22................②

对①令x=6得的121........③

令y=0得2........④

1t11al

。—(6—_)(12r—/)=一/一6,2+36r

③④代入②得22

SA0AP=~t2-12t+36

A0AP

4,令s=Q解得f=4或e12(舍去)

T(0,4)4(4,6)

S'+0-

S增极大值64减

所以当t=4时Q』3尸有极大值64,

所以当t=4时,AOAP的面积的最大值为64.

11.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去

一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，

容器的容积最大？最大的容积是多少？

解：设容器的高为x,容器的体积为V.

则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<x<24)

=42-276N+4320x

2

V=12x-552x+4320x

由V'=0得x=10,x=36