江苏省徐州市2021届高考数学三调试卷(含答案解析)

江苏省徐州市2021届高考数学三调试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合4={%|因＜3},集合8={%|刀-220},则41）0：/?8）等于（）

A.（-8,3]B.（一叫3）C.[2,3）D.（-3,2]

2.从1,2.....9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）

541110

A.—B.—C.—D.—

992121

3.设Z=二碉一次为侬产患刎一年为实数时,实数a的值是（）

：»ii4a--S

A.3B.-5C.3或一5D.-3或5

COS(3TFX)上,、_COS(3TTX)COS(5TTX)

y/3八735

rr

A.1J；一一.二B.1一/一一・*

A/

l/x/■

rr

C.A..rD.7.,x

uryXTT

5.有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍，已知最上面一层点了3盏，则共

点了（）盏灯.

A.192B.381C.189D.63

6.下列四个命题中，真命题的个数为（）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

（2）两条直线可以确定一个平面；

（3）若Vma,Afe/?,ac/=j,贝!IA7F八

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内.

A.1B.2C.3D.4

7.以直线x=1为准线的抛物线的标准方程是（）

A.y2—2%B.x2-4yC.y2——4xD.y2=—4x

8.在区间［0,2］上任取两个实数a,b,则函数f（x）=/一b在区间上有且只有•一个零点

的概率是（）

A.；B.；C.；D.I

8448

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.若无>0,）/>0且满足父+丫=町7,则（）

A.x+y的最小值为4

B.x+y的最小值为2

C.三+三的最小值为2+4巡

X--1y-1

•的最小值为

D.xF—iT+y—16+4A/2

10.关于（«-1）202。及其展开式，下列说法正确的有（）

A.该二项展开式中第六项为C%oX】°°7

B.该二项展开式中非常数项的系数和为-1

C.该二项展开式中不含有理项

D.92°2。除以100的余数是I

11.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠

军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为暴，托盘由边长为4的正三角形

铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（）

B.异面直线与C尸所成的角的余弦值为J

O

C.直线A。与平面OE厂所成的角为?

D.球离球托底面DEF的最小距离为bT

12.对任意两个实致a,b,定义min{a,b}=［；';j：，若/'(x)=2-%2,5(x)=x2(下列关于函

数F(x)=min{/'(x),g(x)}的说法正确的是()

A.函数F(x)是偶函数

B.方程F(x)=0有2个解

C.函数F(x)有4个单调区间

D.函数F(x)有最大值为1,无最小值

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量五，3满足|方|=2|3|，\a-b\=2＜则的取值范围为.

14.在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信

息：

时间油耗(升/100公里)可继续行驶距离(公里)

10：009.5300

11：009.6220

壮洋在加满油后已用油量汽车剩余油蚩

可继续行驶距离=

'-加满油后已行驶距离'当前油耗’

指定时间内的用油量

平均油耗=

指定时间内的行驶距离.

从以上信息可以推断在10：00-11：00这一小时内(填上所有正确判断的序号).

行驶了80公里;

行驶不足80公里;

平均油耗超过9.6升/100公里；

平均油耗恰为9.6升/100公里；

平均车速超过80公里/小时.

15.已知椭圆C；-+^=1,则其以点P(2,l)为中点的弦的直线方程是.

84

16.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方"，九宫’8

11Pl

格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形(边长为1个单位的正方形)组

成的九宫格，一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到8点，

共有底种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p点的概率为./

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在AABC中，力=(3sinB=5sinC.

(I)求tanB；

(n)AABC的面积s=竽，求△ABC的边BC的长？

18.已知数列的各项均为正数，前〃项和为%,且％=^*<n€N*.

(1)求证：数列｛aj是等差数列；

(2)设bn=2,〃=瓦+尻+…+%,求7n.

19.在如图所示的几何体中，四边形A8CD是等腰梯形，AB//CD,/.ABC=60°,48=2CB=2.在

梯形ACEF中，EF//AC,S.AC=2EF,ECABCD.

(1)求证：BCLAF.

(2)若二面角D—AF—C为45。，求CE的长.

20.某大学有甲、乙两个校区.从甲校区到乙校区有A、B两条道路.已知开车走道路A遭遇堵车

的概率为开车走道路B遭遇堵车的概率为p.现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙

校区给学生上课，张教授、王教授走道路4李教授走道路B,且他们是否遭遇堵车相互之间

没有影响.若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为|.求：(/)走道路8遭遇堵车的概率p；

(口)三人中遭遇堵车的人数X的概率分布列和数学期望.

21.E、尻是双曲线^-一匕=1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点E的距离等于9,则点

1620

p到焦点K的距离等于—

22

14与双曲线会一言=1共渐近线，且通过点〃(-5,2)的双曲线的标准方程

15函数V=以2+加+c(a＞0粒［1,桢)上单调递增的充要条件

22

16过椭圆鼻+4=1("＞力＞0)的左焦点耳作尤轴的垂线交椭圆于点尸，玛为右焦点，若

ah

邳&=600，则椭圆的离心率为

22.设函数f(x)=9%-1)靖+。％+1,其中e为自然对数的底数，aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点(04(0))处的切线与直线x-y+l=0平行，求a的值；

(2)若a=｝问函数f(x)有无极值点？若有，请求出极值点的个数，若没有，请说明理由；

(3)若Vx>0,/(%)>0,求〃的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：集合4={刈幻<3}=(-3,3),

集合B-{x\x-2>0}=[2,4-00),

CRB=(-oo,2)；

4U《RB)=(-8,3)；

故选B.

化简4={x||x|<3]=(-3,3).B={x\x-2>0}=[2,+oo),从而求CRB=(-oo,2),则力U(CRB)=

(-oo,3).

本题考查了集合的化简与运算，属于基础题.

2.答案：C

解析：

本题考查古典概型，关键是根据条件写出适合条件的基本事件，属基础题.

解：基本事件总数为蜷，设抽取3个数，和为偶数为事件A,

则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数,

或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者吸，后者蟀嘿

•••4中基本事件数为哪+熠熠

cl11

二符合要求的概率为

21

故选C.

3.答案：A

开函,一⑮二励

解析：试题分析：由题意可知e»»1..7r<..■谢=及

浏*葡遹'一任=》

考点：复数

点评：复数阑什源中当额=翘时是实数，他学期时是虚数，磔=就题总凯寸是纯虚数

4.答案：A

解析：解：当％=0时，/(0)=|,g(O)=-g,排除8、C；

/'(%)=-Tisinfjtx)+7rsm(37rx)=7r[sin(37rx)—sin(7r%)],

当％>0且接近0时，sin(37rx)>sin(7rx),则尸>)>0,f(%)单调递增，排除D

故选：A.

求解/(0)排除3、C,再由导数研究函数的单调性排除D

本题考查函数的图象与图象变换，考查函数值的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档

题.

5.答案：B

解析:解:根据题意,设每层点的灯数组成数列｛即｝,分析可得｛斯｝是公比为2的等比数列，且％=3,

式1引)=3X(l-27)

则§7=>=381；

1-q1-2

故选：B.

根据题意，设每层点的灯数组成数列｛%J,分析可得｛。工是公比为2的等比数列，月。i=3,由等比

数列的前〃项和公式计算可得答案.

本题考查等比数列的求和的应用，注意将原问题转化为等比数列求和的问题.

6.答案：B

解析：解析：略

7.答案：C

解析：解：•.・抛物线的直线方程为％=1,

・•・可设抛物线方程为：y2=-2px(p>0),

又•.•抛物线的直线方程为x=l,

1=1,即p=2,

・•・抛物线标准方程为：y2=-4%,

故选：C.

通过直线方程可设抛物线方程为y2=-2px,进而利用准线方程求出p的值，计算即得结论.

本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题.

8.答案：D

a-Z>+l=O

解析：解：由题意知本题是一个几何概型,/B

vae[0,2]，

・•・/'(%)=3x2+a>0,

・•・f(%)是增函数

若/(%)在有且仅有一个零点,

则/工0

・•・(―1—a—b)(l+a-Z?)<0,

BP(1+a+b)(l+a—h)>0^xlxl=

由线性规划内容知全部事件的面积为2x2=4,满足条件的面积4一1x1x1=(

7

p=2-=27

48

故选。

根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数/(X)=/+

ax-b在区间上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自

变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果.

本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据

集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果.

9.答案：AD

解析:

【试题解析】

本题考查了利用基本不等式求最值，注意运用的条件“一正二定三相等“，属于基础题.

由x>0,y>0且满足久+y=%y,得:+；=1,利用“乘1法”利用基本不等式可得x+y的最小

值，即判定A,B;

将Fr+M恒等变形后得到4x+2y,再利用利用“乘1法”结合基本不等式可得最小值，可判定

CD.

解：由x>0,y>0且满足％+y=xy,得：+5=l,

xy

...X+y=(X+y)(i+i)=2+2tx”4,

故A正确，B错误,

—+-^=史?二号哗3=4x+2y=(4x+2y)(-+-)=6+^-+—>6+2]空x竺=6+472,

x-1y-1(x-l)(y-l)■/',八4y,xyXy

故。正确，c错误，

故选：AD.

10.答案：BD

解析：解：(五一1)2。2。的其展开式的通项公式为.+]=CrQ20.(_ir.%中，

令r=5,可得第六项为一球020•X竽，故4错误；

•・•令r=2020,可得常数项为1,令x=l,可得（五一1）2。2。的所有项的系数和为0,故该二项展开

式中非常数项的系数和为-1,故8正确.

当r=0,2,4,…，2020时，展开式为有理项，故C错误；

9202。=（10_1）202。=120-1O2020一C%。.1O2019+…+C嬲-102-C徽-10+嗡乳

由于等号右边除了最后一项外，其余的各项都能被100整除，

它除以100的余数，即C翁翁除以100的余数，

故92。2。除以100的余数是1,故。正确，

故选：BD.

由题意利用展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题.

11.答案：BCD

解析：解：设球的半径为

R,因为球的体积为拳

所以费内=拳解得R=

1,

图③

对于A,经过三个顶点A,

B,C的球的截面圆，

即是与△Z'B'C'全等的三角形的外接圆，

其半径为厂=幺17勿60。=攻，则其面积为“2=5。%所以A错；

3334

对于B,作辅助线如图②，PD//CF,PD=CF,所以NP04为AO与CF成角，

△EQD=LCDF,M、N分别为QD、DE边中点,

所以AP=MN=2-1-sin600=娼,

所以cos4PzM=22+22-(8)2=g,所以8对；

2228

对于C,如图②，AN1平面EOF,所以OE为40在平面。EF内射影，

于是N4DE即为直线与平面DE尸所成的角，大小为会所以C对；

22

对于。，如图③，OrO=y/R-r=J|.01G=R-0］。=1一*,AN=2-sin60°=V3»

所以球离球托底面。E尸的最小距离为=4N-0iG=V3+y-l.所以。对.

故选：BCD.

A求出截面面积判断；8平移直线求成角余弦值判断；C求直线与平面成角判断；。求出最小距离判

断.

本题考查了球的体积计算问题，考查了异面直线成角和直线与平面成角计算问题，属于较难题.

12.答案：ACD

解析：解：利用定义义min{a,b}={?装:，则/。)={：一丁)’

画出函数的图象，如图所示：

根据函数的图象，函数尸(x)为偶函数，故A正确；

根据函数的图象，函数F(x)=O,有3个解，故8错误；

根据函数的图象函数的单调递增区间为(-%-1］和［0,1］,单调递减区间为［-1,0］和［1,+8),故C正

确.

根据函数的图象函数的最大值为1,函数没有最小值，故。正确.

故选：ACD.

直接利用函数的图象求出函数的单调区间函数的零点，函数的最值，从而判定A、8、C、。的结论.

本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的奇偶性，单调性，函数的零点和方程的根，函数

的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

13.答案：[一《,8]

解析：解,・•|五—6|=2，

・,•五2+至2—2万•加=4，

X|a|=2|南，

:.a2=4石、

—»——>2

五・b=5b-4，

又4-ft2-2a-K=4»

设。为向量区石的夹角，

.2-2

A5b—4bcosO=4，

又一1<cosO<1,

4—2

•--<b<4,

9

16-2

**•-----W5b—4W16,

9

o—♦

--<a-b<8,

故答案为：[—g,8].

先由|万一引=2,I五I=2访I，得5/_232cos0=4然后由三角函数的有界性TScos。Wl,得

w4然后计算即可

9

本题考查了向量的数量积及三角函数的有界性，属难度为中档题

14.答案：②③

解析：试题分析：设L为10:00前已用油量，4L为这一个小时内的用油量，s为10:00前已行驶距离，

4s为这一个小时内已行驶的距离｛:+u'得L+ZL=9.6s+9.64s,即9.5s+AL=9.6s+9.6As,

s+As

AL=0.1s+9.64s,卢=^+9.6>96所以③正确，④错误.这一小时内行驶距离小于言x100=

76.875(千米)，所以①错误，②正确.⑤错误.

考点：推理判断题.

15.答案：x+y-3=0

解析：解：・椭圆C：-+^=1,

84

设其以点P(2,l)为中点的弦与椭圆C交于点4Q1，%),B(x2(y2)>

则/+x2=4,yi+y2=2,

把4(Xi，yD，BQ：2，y2)代入椭圆方程，得：

(xf+2yl=8

\xl+2yj=8,

两式相减，得：Qi-X2)(/+x2)+2(>1-y2)(yi+yi)=0，

•1­4(%i-x2)+4(%-、2)=0，

...k=g=—l,

X1-X2

.•・以点P(2,l)为中点的弦的直线方程为：y-l=-(x-2),

整理，得：x+y-3=0.

故答案为：x+y-3=0.

设其以点P(2,l)为中点的弦与椭圆C交于点4Q1，%),B(x2,y2),利用点差法能求出以点P(2,l)为中

点的弦的直线方程.

本题考查椭圆的中点弦方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.

16.答案：I

解析：解：一个质点从4点沿单位正方形的边以最短路径运动到8点，

共有九=或=20种不同的路线，

则在这些路线中，该质点经过p点包含的基本事件有m=6x2=12种，

该质点经过。点的概率为P=：=卷=|.

故答案为：|.

共有n=*=20种不同的路线，其中该质点经过p点包含的基本事件有m=6X2=12种，由此能

求出该质点经过P点的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

17.答案：解：(I)根据题意，由/话可得8+。=拳

又由3sEB=SsinC,则3sinB=SsinC=5sin(y_B)=5sin^-cosB—5cos^-sinB,

变形可得工si九8=—cos^,

22

则tanB=5V3.

(11)设角4、B、C所对边的长分别为a、b、c,

若3sinB=SsinC,则3b=5c,

又由S=竺逅，则有匚bcsi“4=竺”，变形可得be=15,

424

又由3匕=5c,则有b=5,c=3；

由余弦定理得，Q=Vh2+c2-2bccosA-J52+32-2x5x3xcos-=A/19.

解析：(I)根据题意，分析可得B+C=竽，由三角函数的恒等变形公式分析可得3sinB=5sinC=

5sin(y-fi)=Ssin^-cosB-Scos^-sinB,变形可得=#cosB,由同角三角函数的基本关

系式分析可得答案；

(II)根据题意，由正弦定理可得3b=5c,结合三角形面积公式可得=竽，变形可得be=15,

解可得匕、c的值，由余弦定理即可得答案.

本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用以及三角函数的恒等变形，关键是掌握余弦定

理的形式.

18.答案：解：(1)证明：••・S7J=*3,neN*,

二当n=1时，的=Si=

«1=1(0舍去)；

当ri22时，由2Sn=a2+an，

9

2s71T=W-i+^n-l

相减可得2an=W+Qn-忌_1-an_19

即(即+an-l)(an_an-l_1)=0,

,:an+0n>0,:，an一an_x=l(n>2),

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；

(2)由(1)可得0n=n,

2Sn=n(n4-1),

bi11

n=^~==-------------

n(n+l)nn+1

1111

­•T=b+b+b+-+b=1--+---+■­■+---1-=].-1----=—n

nr23nn+1n+ln+1

解析：(1)运用数列的递推式：当71=1时，%=S「当ri22时,an=Sn-Sn^,结合等差数列的

定义，即可得证;

11

(2)运用等差数列的通项公式和求和公式，求得bn数列的求和方法：裂项

2Snn(n+l)

相消求和，化简即可得到所求和.

本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查等差数列的定义和通项公式的运用，数列的求和方法:

裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题.

19.答案：⑴证明：在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=3

所以近=AC2+BC2,

由勾股定理知NACB=90。所以BC1AC.

又因为EC_L平面ABCD,BCu平面ABCD

所以BC1EC.

又因为ACClEC=C,

所以BC_L平面ACEF,

又AFu平面ACEF

所以BC14F.

(2)解：因为EC_L平面ABCD,又由⑴知BC1AC,以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-

xyz.

设CE=h,则C(0,0,0),/l(V3,0,0).F(y,0,/i),D(y,--,0),

所以而=(*,一：,0),而=(一今0,无).

81

%-y=o

设平面D4尸的法向量为瓦=(%,y,z),则］一-

22

V3-X+九z=o

2

令》=百.所以元=(83,景

又平面AFC的法向量底=(0,1,0)

所以945。=兽黑=鼻解得仁渔.

Mill九2124

所以CE的长为渔.

4

解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向

量是关键.

(1)证明BC1AC,BC1EC,ACQEC=C,可得BCL平面ACEF,从而BCd.4F；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面D4尸的法向量，平面AFC的法向量，根据二面角。-4F-C为

45°,利用向量的夹角公式，即可求CE的长.

20.答案：解：(/)由题意可知：走道路A遭遇堵车的概率为:，不堵车的概率为点

开车走道路B遭遇堵车的概率为p,不堵车的概率为1-p.三人是否遭遇堵车相互之间没有影响.

•••clXiXiX(1-p)+(1)2•P=I，解得P=

(〃)由题意可得：X的可能取值为0,1,2,3.

八、-、、

P(X=0)=-4x-4x-3=1—2,PnC/tXz=1)=2-,Pn(/Xxz=2r)=-1x-1x-3+,C»x-1x4-x-1=—11

'/55425175k75542554100

P(X=3)=99；=磊.

•••X的分布列为:

X0123

122111

P

255TooToo

FX=0x—12+1X-24-2X1—1+3x1—=­.

25510010020

解析：(/)由题意可知：走道路4遭遇堵车的概率为，不堵车的概率为亲开车走道路8遭遇堵车的

概率为p,不堵车的概率为l-p.三人是否遭遇堵车相互之间没有影响.可得Cx：x(x(l-p)+

©)2•P=|,解得p.

(〃)由题意可得:X的可能取值为0,1,2,3.P(X=oW，P(X=1)=|,P(X=2)=|x

沁+0x，x*,P(X=3)=1X|X押可堵车X的分布列与数学期望.

本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

21.答案：13、17

14、-4--/---/--=1

7512

15、b^-2a

16、立

,3

解析：13、•.•双曲线《一，=1得：a=4,由双曲线的定义知||PF1|—|PF2||=2a=8,\PF1|=

9,；.|PF2|=1<（不合，舍去）或出尸2|=17,故仍尸2|=17.

故答案为17.

a22

14、设通过点〃（-5,2）的双曲线的标准方程£-1=1与双曲线2=i共渐近线，求得双曲