高一数学知识点归纳上教补充排版

上海高一数学学问点归纳

第一章集合及命题

集合及元素

(1)集合的概念

常把可以准确指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合.

(2)集合中的元素

集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

(3)集合及元素间的关系

对象。及集合”的关系是aeM,或者。史M,两者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然语言法：用文字表达的形式来描绘集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描绘法：｛xx具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

(5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.

②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

(6)常用数集及其记法

N表示自然数集，N*或N.表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，/?表

示实数集.

集合及集合

名

记号意义性质不意图

称

(l)AcA

A^B⑵0qA

子(或A中的任一元素都⑶假设AqB且BqC,那么

或

集属于BA^C

B")

(4)假设AqB且,那么

A=B

(D0uA(A为非空子集)

AczB*

真AcB,且B中至

(2)假设AuB且BuC，那么

子(或少有一元素不属于**

集

BnA)A

*AuC

*

集

A中的任一元素都

合(l)AcB

A=B属于B,B中的任一

相(2)BaA

元素都属于A

等

重要结论：集合A有〃21)个元素，那么它有2"个子集，它有2"-1个真子集，它2”-1

个非空子集，它有2"-2非空真子集.

交集、并集、补集

名

记号意义性质示意图

称

(1)AfM=A

交(2)AQ0=0

{x\xe4,且工£B}GD

集(3)AQBGA

(1)AUA=4

并(2)AU0=A

A\JB{x\xeA,或尤wB}

集(3)AU8"

补q(Ac8)=(c“A)5GB)

C.A且x史A}

集C〃(4u8)=(C"A)c(G/)%(7)

(1)命题

用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句假设〃，那么夕〃形式的命

题中的p称为命题的条件，“称为命题的结论.

(2)逆命题

对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这

两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。假设原命

题为“假设P，那么q",它的逆命题为“假设q,那么p".

(3)否命题

“假设P，那么q",那么它的否命题为''假设那么「9”.

(4)逆否命题

对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的

否认，那么这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的

逆否命题。假设原命题为“假设p,那么4”,那么它的否命题为“假设「q’那么。

充分条件、必要条件、充要条件

假如Pn。，那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

假如PoQ,那么P是Q的充要条件。也就是说，命题P及命题Q是等价命题。

命题的非运算

命题的且运算

命题的或运算

第二章不等式

不等式的根本性质

1.假如a>b,b>c;那么。>c.

2.假如。>。,那么。+。>。+。.

3.假如a>b,c>0,那么ac>be:如果。>b,c<0,那么ac<be.

4.假如a>byc>d,那么a+c>b+d.

5.假如a>/?>0,c>d>0,那么ac>bd.

6.假如a>h>0f那么

7.假如那么a”>/（〃£%*）.

8.假如a>b>0,那么校

一元二次不等式的解法

这个学问点很重要，可依据△及0的关系来求解，留意解的区间的表示，不等式组也是

一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式。

求一元二次不等式ajc+bx+o0（或<0）（a70,△=〃-4ac>0）解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：推断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：依据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

区间的概念及表示法

设是两个实数，且a<b,满意aWxWb的实数x的集合叫做闭区间，记做

满意a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记做（。,份；满意aWx<6,或

的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,6）,{a,b\；满意

%24,%>。,“<仇》<人的实数了的集合分别记做［”,+00）,（4,+8）,（-8,/?］,（-00,。）.

留意：对于集合{x|a<x<3及区间（。,加，前者。可以大于或等于方，而后者必需

。〈人，（前者可以不成立，为空集；而后者必需成立）.

（1）分式不等式的解法

先移项通分标准化，那么

里>0=/(x>g(x)>0

g(x)

(“<或4”时同理)

----2u<

g(x)-lg(x)*O

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

(2)含肯定值不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a]

Ix|>a(a>0)x\x<-a^Lx>a}

把ax+8看成一个整体，化成|x|<a,

|ax+h|<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式来求解

两个根本不等式：。和"有/+人2当且仅当。=人。和仇有，当且仅当。=人时等

号成立。我们把分别叫做正数a、8的算术平均数和几何平均数。

(3)无理不等式的解法

方法：将无理不等式转化为有理不等式求解，

⑴"(x)>a(a〉0)=.-°2

/(x)>a

⑵历J<a(a>0)o**°2

f(x)<a-

f(x)>0

―r—(x)>0

⑶J/(x)>g(x)o,g(x)20或，

/(x)>[g(x)]2,8g(x)<0

/W>0

⑷"(x)<g(x)<=><g(x)>0

J(X)<[g(X)]2

[/U)>0

⑸"(x)>&(x)o<g(x)20

JO)>g(x)

(4)高次不等式的解法

方法：穿根法

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿〔奇穿偶切)，结合原式不等号的方向,

写出不等式的解集.

1.c^+kr^lab{a,bwH),［当且仅当。=匕时取"="号).

2.(a,beR+),(当且仅当a=。时取到等号).

用根本不等式求最值时(枳定和最小，和定积最大),要留意满意三个条件“一正、二定、

三相等”.

常用方法有：比较法(作差，作商法)、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

131

①舍去或加上一些项，如(a+二)2+±>(a+±)2;

242

②将分子或分母放大(缩小)，如

2_2_)_!_<2

2\[ky/k+s[k&\[k+y/k-\

12

---->----------,(keN*,k>D

yfky/k+〃+1

第三章.函数的根本性质

在某个改变过程中有两个变量x,y，假如对于x在某个实数集合D内的每一个确定的

值，依据某个对应法那么/,y都有唯一确定的实数值及它对应，那么y就是x的函数.

记作：y=/(x)xeDx是自变量D是定义域及x对应的)值叫做函数值

函数值的集合是值域

函数的三要素:定义域、值域和对应法那么.

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

函数的和：〃(x)=/(x)+g(x)

(1)函数的奇偶性

①定义及断定方法

函数的

定义图象断定方法

性质

假如对于函数f(x)定义(1)利用定义(要

y

域内随意一个X,都有(a,f(a))先推断定义域是否

f(—X)=—f(X),那么函「一关于原点对称〕

oax

数f(x)叫做奇剪教.(2)利用图象(图

象关于原点对称)

(~a,f(-a))

函数的

奇偶性假如对于函数f(x)定义(1)利用定义(要

yl

域内随意一个X,都有先推断定义域是否

(-a,f(-a))(a,f(a))

f(-x)=f(x),那么函数关于原点对称)

f(x)叫做假剪第上二(2)利用图象(图

-aoa'象关于y轴对称)

②假设函数/(X)为奇函数，且在x=0处有定义，那么/(0)=().

(2)函数的单调性

①定义及断定方法

函数的

定义图象断定方法

性质

假如对于属于定义域I内(1)利用定义

某个区间上的随意两个/(2)利用函数的单

自变量的值XI、X2,当个4RxJ调性

(3)利用函数图象

孕时，都有1)

(在某个区间图

那么就说f(x)在这个区

1x,x,X象上升为增)

间上是单国第

函数的(4)利用复合函数

单调性假如对于属于定义域1内(1)利用定义

某个区间上的随意两个1y=f(x)(2)利用函数的单

调性

自变量的值Xi、X2,当Xi<f(x.)

(3)利用函数图象

2时，都有？(城可侈),

(在某个区间图

那么就说f(x)在这个区

DX.X?X象下降为减)

间上是减单数.

(4)利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去

一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.

(3)函数的最值

①一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存在实数M满意:

(1)对于随意的xe/,都有

(2)存在天€/,使得/(Xo)=M.那么，我们称M是函数/(x)的最大值，记作

篇x(%)=”•

②一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存在实数机满意：

(1)对于随意的xw/,都有/(x)2加；

(2)(2)存在不€/,使得/(不)=m.那么，我们称加是函数/(x)的最小值，记

作工而(幻=加.

(4)函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数丁=/(x)(xeD),把使/(x)=0成立的实数x叫做

函数y=/W(xe。)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(幻=0实数根，亦即函数

y=/(x)的图象及x轴交点的横坐标。即：

方程/(幻=0有实数根=函数)=/(x)的图象及x轴有交点。函数y=f{x)

有零点.

3、函数零点的求法：

求函数y=/(x)的零点：

①(代数法)求方程/(x)=0的实数根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数y=/(x)的图象联络起来，

并利用函数的

第四章第函数、指数函数和对数函数

(1)幕函数的定义

一般地，函数丁=/叫做幕函数，其中x为自变量，a是常数.

（2）幕函数的图象

（3）幕函数的性质

①图象分布：基函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.暴函数是偶函

数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三

象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：全部的幕函数在（0,+8）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.

③单调性：假如。>0,那么基函数的图象过原点，并且在［0,+8）上为增函数.假

如a<0,那么基函数的图象在（0,+8）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴及y

轴.

④奇偶性：

当a为奇数时，哥函数为奇函数，当a为偶数时，哥函数为偶函数.

函数名称指数函数

定义函数y=a*（a>0且axl）叫做指数函数

a＞10＜。＜1

图象

定义域R

值域(。,+8)

过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=\.

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

函数值的

改变状况

。改变对图象的

在第一象限内，。越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低.(趋势)

影响

(1)对数的定义

①假设"=N(a>0,且。。1),那么x叫做以“为底N的对数，记作x=log〃N,其

中。叫做底数，N叫做真数.

②负数和零没有对数.

③对数式及指数式的互化：x=loguNo优=N(a>0,a#1,N>0).

(2)儿个重要的对数恒等式

log“l=0,log"=l,log“a"=b.

(3)常用对数及自然对数

常用对数：lgN,即logioN；自然对数：InN,即log«N(其中e=2.71828…).

⑷对数的运算性质假如。>0,。工1,例>0,N>0,那么

M

①加法：log“Af+log“N=log“(MN)②减法：log.M-log.Nnlog.x

③数乘：〃log“M=log“AT(〃wH)④a%"=N

@log,,M11=-log„M(b^0,n^R)⑥换底公式：log”N=座也(6>0,且"1)

"blogba

(1)反函数的概念

设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出x,得式子

x=(p(y).假如对于y在。中的任何一个值，通过式子x=e(y),x在A中都有唯一确

定的值和它对应，那么式子x=°(y)表示x是y的函数，函数x=Q(y)叫做函数

y=/(x)的反函数，记作x=/T(y),习惯上改写成y=/T(x).

(2)反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

②从原函数式y=/(x)中反解出x=/T(y)；

③将x=/-'(y)改写成y=广'(x)，并注明反函数的定义域.

反函数的性质：

①原函数y=/(x)及反函数y=f-\x)的图象关于直线y=%对称.

②函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/T(x)的值域、定义域.

③假设P(a,6)在原函数y=/(x)的图象上，那么P0M)在反函数y=/T(x)的图象

上.

④一般地，函数y=/(x)要有反函数那么它必需为单调函数.

函数

对数函数

名称

定义函数y=log,,x(a>0且。/1)叫做对数函数

a>10<a<l

X=1Jx=1

yy=iog“xy1y=log。x

图象

二f，°),

0(1,0)0

/x

定义域(0,+8)

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当x=l时，y=0.

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+00)上是减函数

函数值的

改变状况

a改变对图象的

在第一象限内，。越大图象越靠低；在第四象限内，。越大图象越靠高.

影响

指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.

3.娴熟运用函数性质，留意换元法

对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.

第五章三角比

⑴角的分类

1、正角：按逆时针方向旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

零角：不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么

称a为第几象限角.

第一象限角的集合为{。k360<。<-360+90",ZeZ}

第二象限角的集合为{a|h360+90<k-360+180,kez}

第三象限角的集合为360°+180<a<A:-360+270°,女ez}

第四象限角的集合为{ak•3600+270=<a<k-360+360°,左ez}

假如角a的终边落在坐标轴上，那么也可以称为轴线角.

终边在x轴上的角的集合为{a[a=k•180\后ez}

终边在y轴上的角的集合为{。,=-180+90°,keZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{a|a=h90MeZ}

3、及角a终边一样的角的集合为{4忸=Z•360+eZ}

12）角的弧度制

1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

2、半径为/•的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么角a的弧度数的肯定值是.

3、弧度制及角度制的换算公式：2万=360。，，.

1、三角比定义

设角是一个随意角，将角置于平面直角坐标系中，角的顶点及原点0重合，的

始边及x轴的正半轴重合，

在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），有点P到原点的间隔为：

C0t6Z=__________

seca=_______

csca=_______

2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正,

第四象限余弦为正.

3、单位圆：圆心在坐标原点，半径为1的圆(解决随意角，三角比问题的利器).

4、三角函数线：sin«=MP,cosa=OM,tana=AT.

说明：三角函数线是有向线段(向量)，既有长度，又有方向，方向的正负及对应的三

角比值保持一样.

(1)正弦线：无论a是第几象限角，过。的终边及单位圆的交点P作x轴的垂线，交x

轴于M,有向线段MP的符号及点P的纵坐标y的符号一样，长度等于|y1.所以有

MP=y=sma.我们把有向线段M>P叫做角e的正弦线，正弦线是角a的正弦值的几何

形式.

(2)余弦线：有向线段最叫做。的余弦线.

(3)正切线：过A(1,0)点作单位圆的切线(x轴的垂线)，设&的终边或其反向延长

线及这条切线交于T点，那么有向线段A?叫做角a的正切线.

(l)sin2<z+cos2a=\(sin2a=1-cos2cr,cos2a=1-sin?a)

sina\

sina=tanacosa,cosa=2-----..(3)倒数关系：tanacota=l

tan«

(1)sin(2k7r+a)=sina,cos(2k/r4-«)=cosa,tan(2左7r+a)=tana(%£Z).

(2)sin(乃+a)=-sina,cos(7r+a)=-cosa,tan(»+a)=tana.

⑶sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa，tan(-a)=Tana.

(4)sin(zr-cr)=sina,cos("-a)=-cosa，tan("-a)=­tana.

(5)sin[]-a=coscr

（6）sin=cosa，•

5.4两角和及差的余弦，正弦及正切

⑴cos(a-尸)=cosacos尸+sinasin/?；(2)cos(a+〃)=cosacos尸一sinasin0；

(3)sin(a—=sinacos—cosasin/?；⑷sin(a+/?)=sinacos〃+cosasinB；

,/tana-tan3

(5)tan(«-/?)=----------------=>(tana-tan^=tan(a-/)(l+tanatan/?))；

1+tanatan/?

⑹tan(a+/)=tana+tan/=

(tancif+tan〃=tan(a+/)(1-tanatan0)

1-tantan0

二倍角的正弦、余弦和正切公式

⑴sin2a=2sinacosa.=>l±sin2«=sin2+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa『

⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a

=>升基公式1+cosa=2cos2—,1-coscr=2sin2—

22

=＞降累公式,.

半角公式：

cos]=±.V/14^-CO^Sa；S.inQ2=±V〃一^COS^a

/1—cosasina1—cosa

tan—=±.

21+cosa1+cosasina

万能公式:

a

2tan-1-tan~

si.na=----------7---;cosa=-----------2

a、a

1+tan9—14-tan-

22

5.6正弦定理，余弦定理和解斜三角形

1、正弦定理：在AABC中，。、b、。分别为角A、B、C的对边，，那么有

=_L=_J=2K（R为AABC的外接圆的半径）

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①。=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2RsinC；

②…③a:＞：c=sinA:sinB:sinC；

3、二角形面积公式：S=—Z?csinA=—6zZ?sinC=—^zcsinB,

AMABB。C222

4、余弦定理：在AABC中，Wtz2=Z?2+c2-2/?ccosA,推论：

第六章三角函数

定义域RR{小。左乃,％ez}

值域[-M][-M]RR

当

当(ZeZ)时，

x=2k7r(kEZ)时，

>max=1；

Nmax=1；

当既无最大值也无最小既无最大值也无最小

最值

当％=2k/i+7i值值

(ZeZ)时，

(北Z)时,

Wn=-L

Xnin=T,

周期性2万2万7171

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

在