抽象函数练习1 高中数学 高考

1,若函数/(2x+l)的定义域为1-则函数/(log2*)的定义域为(

)

2.若/(〃+1)=/(〃)+1(〃€”)，且£(1)=2,则£(100)的值是()

A.102B.99C.101D.100

3.定义R上的函数/3)满足：/(xy)=/(x)+/(y)，W!®)=8,/(6)=()

A.V2B.2C.4D.6

4.定义在区间(-1,1)上的减函数/(x)满足：f(-x)=-f(x)^f(l-a)+f(l-a2)<Q

恒成立，则实数a的取值范围是.

5.已知函数/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，对正实数x,y,都有：/(孙)=/(x)+/(y)

成立.则不等式/(log2x)<0的解集是.

6.已知函数/(x)是定义在(-8,3］上的减函数,已知/(/—sinx)〈/(a+l+cos2x)对

XG/?恒成立，求实数。的取值范围。

7.已知/(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a/wR,都满足:

f(a»b)=af(b)+bf(a).

⑴求/(0)J⑴的值；

(2)判断/(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(3)若/(2)=2,un=/出)(〃€N*)，求数列｛g｝的前/项和sn.

n

8.定义在R上的函数y=f(x),f(0)#0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a、beR,有

f(a+b)=f(a)f(b),

(1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意的x£R,恒有f(x)>0；

(3)证明：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)•f(2x-x2)>l,求x的取值范围。

9.已知函数/(x)的定义域为R,对任意实数〃都有加+〃)=/(M+/(〃)+g,且

/(J)=0,当x〉；时^,/(x)>0.

⑴求了⑴；

(2)求和/⑴+/⑵+/(3)+...+/(〃)(〃GN*);

(3)判断函数/(x)的单调性，并证明.

10.函数/(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xwR,有/(x)>0;②对任意

(1)求/(O)的值；

(2)求证：/(x)在R上是单调减函数;

(3)若a>b>c>ORb2=ac,求证:/(。)+/(c)>2f(h).

II.已知函数/(X)的定义域为R,对任意实数九〃都有/(〃2+")=/(〃?)・/(〃)，且当

工>0时,0</*)<1.

⑴证明:/(0)=1,口耳①(x)>l;

⑵证明:/(x)在R上单调递减；

(3)设A={(x,y)\f(x2)»f(y2)>/(I)},B={(x,y)|/(ax-y+2)=1,aeR},若

，试确定a的取值范围.

12.已知函数/(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.

⑴求/(0)的值；

(2)证明：函数/(x)是周期函数；

(3)若/(x)=x(0<xW1),求当xeR时，函数/(x)的解析式，并画出满足条件的函

数/")至少一个周期的图象.

13.函数/(x)对于x>0有意义，且满足条件/(2(孙)=/。)+/("/*)是减函

数。

(1)证明：/(1)=0；

(2)若/(x)+/(x—3)22成立，求x的取值范围。

14.设函数/(x)在(-0。,+8)上满足f(2—x)=/(2+x),/(7-x)=/(7+x),且在闭

区间［0,7］上,只有/⑴"(3)=0.

(1)试判断函数y=/(x)的奇偶性；

(2)试求方程/(x)=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论

1.B

2.A

3.A

4.0<4<后,解:由/(1一。)+/(1-/)<0得,

-l<l-a<1[0<a<2

/(1-。)</(42一1),得1一1<“2一1<1n<—后<a<VI且awO=>0<a<V2

1-a>a2-1-2<a<1

5.{x|l<x<2}；解：令x=y=l，贝ijf(l)=2f(l)=/(l)=O,则

/(log2x)</(l)nlog2x<1=>log2x<log22=>x<2......①

:函数f(x)是定义在(0,+8)上的增函数

Iog2x>0nx>1,.....................................②

由①②得，不等式的解集为｛x[l<x<2｝。

-金。“喑;解:

6.于(a2一sinx)</(a+1+cos2x)等价于

-sinx<3a2一34sinxa2-3<-l

〃+1+cos2x<3=>Va-2<-cos2x=><a-2«0

、1

a2-si•nx>6z+l+cos2xa2-a-l>cos2x+sinx2八5

a-a-l>—

4

—\/24a45/2,—

<a<2=>-y/2<a<-~~

/-布-^l+VlO一

a<-------或a>------

I22

7.(I)解：令a=8=0,则/(0)=0

令a=b=l,则/(l)=2/(l)=>/(l)=0

(2)证明：令a=b=—l,则/(I)=2/(-1),；/(I)=0,..•/(—I)=0

令a=x,b=-l,则f(-x)=-f(x)=-f(x)

A/(x)是奇函数。

(3)当abwO时，^=+令g(x)=^^,则g(a・3=g(a)+g(6)

abbax

故g(a")=〃如)，所以/(a")=a"・g(a")=mz"g(a)=〃a"T/(a)

••・T期吗

•••/⑵=2J⑴=/(2・；)=2/出+g42)=0

，吗1-"⑵=T故"HOMN*

8.(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2・.・f(0)woAf(0)=1

(2)令a二x,b二一x则f(O)=f(x)f(-x)f(-x)=—!—

fM

由已知x>0时,f(x)>l>0,当x<0时，-x>0,f(-x)>0

・・・/(%)=—^>0又x=0时,f(0)=l>0

f(-X)

，对任意x£R,f(x)>0

⑶任取X2>X1,则f(X2)>0,f(X])>0,X2-Xi>0

/区)

.-.f(x2)>f(xi)・・・f(x)在R上是增函数

(4)f(x)•f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-X2+3X)Xl=f(0),

f(x)在R上递增

・••由f(3x—x2)>f(0)得：3X-X2>00<x<3

9.8.(1)解：令〃?=〃=；,则/(；+；)=2/(；)+；=/(l)=；

⑵•；/⑴=；,/(〃+1)=/⑴+/(〃)+；=；+/(〃)+；=/(〃)+1

.♦./(n+l)-/(〃)=1

二数列｛/(〃)｝是以1为首项，1为公差的等差数列,故

”1)+/⑵+〃3)+…+/(〃号+^^=(

(3)任取x[9x2eR,且X]v则

/(x2)-/(x1)=/[(x2-x1)+x1]-/(x1)=/(x2-x1)+/(x1)+^-/(x1)=/(x2-xl)+^

=/(尤2_%+5)>o

.­,/(X,)</(X2)

•••函数/(%)是R上的单调增函数.

10.9.(1)解：•.•对任意xeR,有/(x)>0,...令x=0,y=2得，/(0)=[/(0)Fn/(0)=l

⑵任取任取,x,eR,且药<x2，则令玉=；P],超=gP2，故Pi<Pi

..•函数/(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xeR,有/(x)>0;②对任意

》,蚱/?,有/(盯)="(刈’>1

•••/(*)-")=/(。)-/(；P2)="(}]"-"(；)产〉0

；・函数/(x)是R上的单调减函数.

⑶由(1)(2)知，/(5)>/(0)=1,Af(b)>1

•••/⑷=/S•/=[f(b)fJ(c)=U•">[f(b)f

：./(a)+/(c)=[f(b)f+[f(b)^>2&f(b产,而a+c〉2-Jac=2后=2b

Ia+cI2b

•••2/f(b)]~>2yJ[f(b)]T=2/3)

：.f(a)+f(c)>2f(b)

11.(1)证明:令m=0,〃=l,则/(0+l)=/(0)・/(l)

•..当x〉O时,0</(x)<l,故/(O)=l,：当x>0时,0</(x)<l

...当x<0时，一x>0,则+

f(-x)f(-x)

⑵证明:任取%,weR,且%]<x2，则

/(々)-/(/)=/©2-X|)+X1-/(』)=/(》2-X|)•/(X])-/(X1)

=[/(x2-x1)-l]/(x1)

x2->0,/.0<0<f(x2-X])<1,故/(4-X1)-1<0,又f(x])>0,

A[/(x2-x,)-l]/(x1)>0,故/(x,)>/(无2)

.♦.函数/(x)是R上的单调减函数.

⑶A={(x,)，)/。2)・/(/)>/(I)}=>{(x,y)\f(x2+/)>/(I)}

由(2)知，/(x)是R上的减函数，,/+y2Vl

VB={(x,y)|/(al-y+2)=l,awR}={(x,y)|〃x—y+2=0,QW/?}

又,・・4^3=0,

方程组《)无解，即直线ax-y+2=0与单位圆f+y2<i的内部无公共

ax-y+2=0

点

2

/.-JI->1=>a2<3=>-V3<a<V3,故。的取值范围是-Wa4

yja2+1

12.(1)解:：/(x)为R上的奇函数，对任意xeR,都有/(一x)=—/(x),令x=0,则

/(-0)=-7(0)

•••/(0)=0

(2)证明：•••/(X)为R上的奇函数，,对任意xeR,都有/(—x)=—/(x),

•//(X)的图象关于直线X=1对称，对任意X€R,都有/(I+X)=/(1-X),

用1+X代X得，/(2+x)=/fl-(1+x)]=/(-x)=-f(x)

•••f[2+(2+x)]=-/(%+2)=一[一〃刈=,即〃4+x)=/(x)

.••/(x)是周期函数,4是其周期.

r、,fx(-l<X<1)

⑶当xe—1,3)时，/(x)=4

L)[-x+2(l<x<3)

当4k—1KXK4Z+1时，以x)=x_4k,ksZ

当4女+I<xv4攵+3时，/(x)=-x+2-4Z,keZ

除一4k(4UW4k+l)

•*-fM=\,zeR

[-x+2-4攵(4k+1vx<4攵+3)

图象如下：

▲

y

\_小、小I

^\p7012^/456\x

13.(1)证明：令尤=y=l,则/(lxl)=/(l)+/(l),故/(1)=0

(2)V/(2)=l,令x=y=2,则/(2x2)=/⑵+/⑵=2,/./(4)=2

/(x)+/(x-3)>2=>

f[x(x-3)]2/(4)nf(x2-3x)>/(4)=^x2-3x<4=>-l<x<4

/./(x)+/(x-3)>2成立的x的取值范围是-14x43