高中数学人教课标A版必修5-第04讲 数列复习练习5

第04讲数列

【考点归纳】

考点一：通项公式的问题

1.（2022•江西赣州,二模（理））已知数列｛｝满足q=1,当"为奇数时，当〃为偶数时4用=%+2",则〃N2

时,a2n-l=()

4’用一44"*2—4门4"-1c4"+1-1

A.

3333

2.（2022•新疆石河子一中模拟预测（理））正项数列｛4｝的前〃项和为5"，S„=|L„+—L则（+（+…+-—

（）其中㈤表示不超过X的最大整数.

A.18B.17C.19D.20

•河南郑州•二模(文))已知数列｛%｝满足/=模

3.(2022%,=%,T+2"(“eN”),«2„+i=«2„+(-1)"(neN,)>

则数列｛叫第2022项为()

A.2'0,2-2B.2|0|2-3C.2,0"-2D.21(,1,-1

考点二：递推数列问题

4.（2022・浙江绍兴•模拟预测）已知数列｛%｝满足%=；，*=m-4+1/=”出…可，则X（）

「11]「11][11]r11-

A.尹三B.尹,声C,尹姿D,浮5

5.（2022・浙江•慈溪中学模拟预测）已知数列｛q｝满足：4=弓，且4,”=ln（a“+l）-sin4,则下列关于数列｛q｝的

叙述正确的是（）

11a22

A-”，，>%+1B---^an<--C.D-

6.（2022.浙江.模拟预测）已知数列满足：4=-；,且。川=ln（4+l）-sinq,,则下列关于数列｛叫的叙述正

确的是（）

।।a?2

A.an>an+tB.C.«„+1£----D.

24an+24-

考点三：等差数列问题

7.（2022•河南・宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知S“为等差数列｛4｝的前“项和，且满足1>0,$9<。，

7；+•••+%~,若对任意的正整数〃，恒有7；2”，则正整数%的值是（）

A.1B.4C.7D.10

8.（2022.湖南师大附中二模）设数列｛a,,｝满足q+24=3,点勺（〃，可）对任意的〃eN”,都有*'=（1,2）则数列｛%｝

的前〃项和5,为（）

9.（2022•浙江•模拟预测）已知等差数列｛q｝（〃=1,2,3,…状次wN,）满足Va向43%吗=1,若%+%+—+%=5,

则上的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

考点四：等比数列问题

10.（2022•江苏・沐阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征,

其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段（；，|）,记为第一次操作；再将剩下的两个区

0,1,1,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的

基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩

下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于],则需要操作的次数〃的最小值为（）

参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771

A.6B.7C.8D.9

11.（2022•浙江省义乌中学模拟预测）已知数列｛。,,｝、也｝、匕｝满足

q=4=q=l,cn^an+]-a„,c„+2=^--c„（neH）,S„=—+—+■■■■

么b2b3b”%-3a-an-n

,则下列有可能成立的是（）

A.若｛%｝为等比数列，则Wg>为mB.若｛%｝为递增的等差数列，贝I$2022<^2022

C.若｛%｝为等比数列，则嗫2<%”.若｛%｝为递增的等差数列，则$2022>^2022

12.（2022•安徽黄山•二模（理））己知数列｛《,｝满足4=1,（2+。“）（1-。的）=2,设的前〃项和为5,,,则

%。22@2022+2022）的值为（）

A.22022-2B.22022-!C.2D.I

考点五：数列求和问题

13.（2022•天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）等差数列｛5｝的前〃项和为5“，数列也,｝是等比数列，满足q=3,

々=1,4+$2=10,6一24=%.（I）求数列｛4｝和也｝的通项公式；（II）若数列｛c,｝满足％T=a“％=（-l）Z2,

求数列｛4｝的前2〃项和Q.（III）求£以）"（64+5）。

人=14%+1

14.（2022・广东汕头•一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，3a“=2S,+2〃（〃eN）⑴证明：数列｛q+1｝为等比数

列，并求数列｛《,｝的前”项和为S“；（2）设2=log3（a”i+l）,证明：…+'<L

15.（2022•天津・耀华中学模拟预测）设｛叫是等比数列，公比大于0,他,｝是等差数列，（〃eN）已知勾=1,%=%+2,

1,3为<〃<3卬

4=2+々，为=打+24.（I）求｛为｝和｛〃,｝的通项公式；（II）设数列｛%｝满足q=0=1,c“=

ak,n=3*

3"

其中丘⑴求数列｛）｝的通项公式;）若，叫

N•%&T5•("€N")的前〃项和7；,求T}n+(〃€N)

i=\

【高考达标】

一、单选题

16.（2022•宁夏・银川一中二模（理））设S,,为等差数列｛4｝的前w项和，若3s3=$2+$4，4=2,则％=

A.-12B.-10C.10D.12

17.（2022•全国•高三课时练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石

板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的

最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

18.（2022•重庆市育才中学模拟预测）在等差数列｛q｝中，4=-9,%=-1.记7；=q的“q（〃=1,2,…），则数列｛用

().

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

19.（2022•天津经济技术开发区第一中学一模）已知数列｛《,｝是等比数列，数列｛，｝是等差数列，若4•4•4。=,

则.署T的值是

4+仇+如=7%，

C*

A.1RD.-----D.-V3

2

20.（2022•黑龙江大庆•三模（理））《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺.蒲生

日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前

一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等，则所需时间为

（结果精确到0.1.参考数据：^2=0.3010,忠3=0.4771.）

A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天

2WeN

21.（2022・广东•华南师大附中模拟预测）设S”是数列｛4｝的前〃项和，若q,+5“=2",艺"=«,1+2-«n+l（*）-

则数列的前99项和为

“97c98c99c100

A.—B.—C.-----D.-----

9899100101

22.（2022•陕西西安中学二模（理））己知数列｛叫满足句,-%“T=3"-1,=3"+5（〃eN）则数列｛%｝

的前40项和S,o=（）

A.32B.31c.9J98D.92。+98

22

23.（2022・陕西・宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,若是等差数列，且九=0,

4^6=2S3+18,则q=（）

A.1B.-9C.10D.-10

24.（2022.四川.成都七中二模（理））我们把工=2*+1（〃=0,1,2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设

%=1小2（工-1），〃=1，2,s,表示数列｛七｝的前〃项之和，则使不等式2+/丁+…+联一〈意成立

的最小正整”数的值是

A.8B.9C.10D.11

25.（2022・四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列｛《,｝,也｝的前〃项和分别是S“，T„,若^=5篙，则

26.（2022・广东肇庆•模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,

3,5,....其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即4+2="向+%（〃eN"），后来人们把这样的一列数

组成的数列｛%｝称为“斐波那契数列”.记%3=，，则4+%+%+…+%必=（）

A.f2B.t-1C.fD.f+1

27.（2022•吉林・东北师大附中模拟预测（理））已知数列｛%｝的首项是6=1,前〃项和为S“，且

S向=2S.+3〃+1（〃GN*）,设c,,=log2（q+3）,若存在常数%,使不等式161c（"*"）恒成立,则女的取

值范围为（）

A-[?+0°]B.[如8）C.七+8）口.怎收）

三、填空题

36.（2022•宁夏•银川一中二模（文））等比数列｛%｝的各项均为正数，且4a$=4,则

log,4+log2a2+log,a3+log,a4+log2a5=.

37.（2022.宁夏石嘴山.一模（理））已知数列｛4｝满足4,”+（-1）"4=2〃-1,则数列｛《,｝的前32项之和为.

38.（2022,全国•高三专题练习）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，

即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.…在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊

等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列｛«„）

满足：4=%=1,=。"+1+。"（"eN'）,则1+6+%+。7+。9+…+”2021是斐波那契数列｛“"｝中的第项.

39.（2022.全国•高三专题练习）公比为q的等比数列｛a.｝满足：a,=lna10＞0,记102a3...4,则当q最小

时，使4*1成立的最小"值是

40.（2022•宁夏・石嘴山市第三中学一模（理））己知正项等比数列｛q｝满足2%+4=%,若存在两项a“，a„,使得

8疯I=4,则2+'的最小值为.

mn

41.（2022.山西.怀仁市第一中学校一模（理））若数列｛%｝满足.=（-DZ,+2"M（“eN"）,令

T

S=。］+%+%+,•■+。［9,7=。，+&+。6+••,+凡0，则—=__________.

S

四、解答题

+

42.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛风｝满足4=1,«„+,=f"（1）记"=%”，写出4，打,并

［a“+2,〃为偶数.

求数列也｝的通项公式；（2）求｛叫的前20项和.

43.（2022•浙江•高三专题练习）已知数列｛4｝的前〃项和为5“，4=-、，且4s向=3Sn-9.（1）求数列｛4｝的通

项；⑵设数列也｝满足她+（〃-4）a.=0（〃eN"）,记他｝的前〃项和为7；,若（4独，对任意〃eN*恒成立，求实

数九的取值范围.

44.（2022・全国•模拟预测）已知数列㈤｝的前〃项和为S,,,S“s=4a”,〃eN*,且4=4.

（1）证明：｛。向-2%｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

（2）在①么=。的②"=log,%；③2=上工这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.

已知数列｛〃｝满足，求｛2｝的前〃项和人注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

45.（2022.浙江.高三）已知数列｛。,,｝的前”项和为5“，且满足《=1,5„+l=2S„+l,n&N*.

⑴证明：数列｛S“+l｝为等比数列；（2）设2=含-，数列｛〃｝的前〃项和为证明：Tn＜\.

—+1

46.（2022•全国•高三）已知等差数列也｝的前〃项和为%=12,S4=16.⑴求｛叫的通项公式；

（2）数列也｝满足2=/了北为数列出｝的前”项和，是否存在正整数机，％（1＜帆＜%）,使得9=37；，？若存在,

求出〃?，上的值；若不存在，请说明理由.

47.（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）已知数列｛4｝满足的2…%=2-2a“，neN\

（1）证明：数列［匕）是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

12

⑵记。〃eN：S”=北2+疫+…12.证明：当时，＞an+\-

48.（2022•全国・模拟预测）已知数列｛q｝中，4=2,〃（4川—%）=a.+l.（1）求证：数列是常数数列;

（2）令"=（T）a，S“为数列出｝的前〃项和，求使得S.W-99的”的最小值.

49.(2022・湖南・雅礼中学一模)数列｛q｝中，%=7且2S,,=%,+4〃(〃eN"),其中S“为｛《,｝的前”项和.

..111111/g

(1)求｛q｝的通项公式；(2)证明：/+/+/+…+混■<§-而与("G')•

50.(2022•重庆市育才中学模拟预测)已知数列｛q｝满足4+2%+3%+…+5-Da,-+na„="(〃+,4〃1)

(1)求％；(2)求数列(一1—1的前〃项和1；

Uq+J

(3)已知｛〃｝是公比q大于1的等比数列，且々=4,4=%，设-她”，若9“｝是递减数列，求实数4

的取值范围

参考答案：

1.C

【解析】【分析】

分析知:当％wN*时旬=出1，%3=%«+4",两式相减得/、-々*-1=4",则“N2时,利用累加法即可求出答

案.

【详解】

由〃为奇数时％=4,当"为偶数时。向=4+2”,可得当标如*时知=。21，七7=旬+平,两式相减得

._1-4"4W-1

。2*+1-a2k-\=4，所以〃22时a_=4+(%-4)+(%一/)■*--1"(°2〃一1一。2〃-3)=1+4+4-+・・•+4"।=-——=---.

2nx1—43

故选：C.

2.A

【解析】【分析】

讨论〃=1、n>2,根据总关系可得S：-S；T=1且S：=l,应用等差数列通项公式求得5'=4，利用放缩法有

2(而F-V^V(VN^-AA口)，注意不等式右侧〃22,进而根据国的定义求目标式的值.

【详解】

当〃=1时，％=S[=5(4+=)，整理得“：=1,又&“>0,故q=S1=l,

ifi、

当心2时，S„=-5„-S„_,+—,可得5”S,，=1,而S：=l,

所以｛0｝是首项、公差均为1的等差数列，则S；=”,又5“>o,故S.=册，

由，"+1-«=—■=<—^==-^—t即二>2(J〃+1一册),同理可得J<2(册-A/^T)且〃22,

Vn+1+Vn2Vn2S.SnS„

-L+-L+...+J_>2x(>/2-1+^-5^+...+VwT-Vio())=2(Vioi-1)>出，

E52^100

J_+J_+...+J_<2x(72-1+73-72+...+^/i00-^/99)+1=19,综上，—+—+...+—=18.故选：A

，S|00|_S]S2Sl00_

【点睛】

关键点点睛：首先利用a.，S“关系及构造法求5“通项公式，再由放缩法及函数新定义求目标式的值.

3.A

【解析】【分析】

先通过条件得到。2“=%"-2+2"+(-l)"T,再利用累加法即可求解.

【详解】

由%向=4.+(T)"得%-=*2+(T)”’(〃eW,n22),又出“=«2„_,+2",可得%,=生一+2"+㈠严，

所以=电+2~+(—1),牝=%+2,+(—1)>4=+24+(—1),…22=%020+2">"+(—1)，将上式相加得

，210,023,,1

a2022=a2+(-l)+(-l)+...(-l)+2+2+...+2°=2+4)1/丝=2*2.故选:A.

1—2

4.B

【解析】【分析】

根据递推式易得;4%-1,以及-吭)，根据累加法得出一；<高，进而写<最，类似可得

进而可得结论.

8〃

[详解]________

显然出>。，由%=击；一4,+1=>吮-1=a”(a：-1),故-1与-1同号，

3a]

由a：T=*<°得",<1，故1一片+产"(1-«")<!-«"=>«„+1所以万4«„<。向<1，

又4，=吗=，所以<=。分/=鼻一=：(1一始)；由

7

an-1%-13'

]=""(]-"；)=1-«„+1=।+""a“(1~a„)<a(1-a),所以—-->—---r=-H-----

"""")"+l1+*八八"«„(!-«„)«„1-，

111,11,1,,1

故■；------；---->—>1,累力口得------；---->n-\^-------->n+l=>l-an<--,

1-/+11-q明1-凡l-«i1-凡"+1

24428

所以1-4；=(1+/)(1-4)<2(1-?)<^7P所以<=卅2-q=3(1-点)

所以心<3<!=3,另一方面，由J。3=《,(1一4：)>。：(1一。；)>0(〃22),所以

jxZZo2

111111118118

—

1""+1"JIa”)a“1a“1—an+l1—anana251ci„+l1—々5

]1R2Q«7c

故"j—/+-x(/t-2)=—(3H-1)<—,即1一。；+1>—,

1一。〃+11一。251558〃

4,\451I11

所以4,=鼻(1-成)>力丁>记=9；综合得</<故选：B.

JJoXZXJ"ZZZ

5.D

【解析】【分析】

构造函数〃x)=ln(x+l)-sinx(-g〈x<0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明-g4/<0,然后

构造函数g(x)=/(x)-x=ln(x+l)—sinx—x(-1<x<0),利用导数证明g(x)>0,得/(x)>x,利用此不等式可

直接判断A,对选项B,由数列｛«,｝的单调性与有界性知其极限存在，设;吧q=A，对数列的递推关系求极值可得

A=0,从而判断B,对选项C,引入函数设p(x)=ln(x+l)——-(-1<%<0),由导数证明pa)v0,得

x+2

9r

ln(x+l)<--(-l<x<0),从而利用不等式性质得出数列｛〃.｝的不等关系，判断C,利用判断选项C所得正确不等

x+2

式变形，并换元引入新数列2=-,，得｛〃｝前后项关系(求对数再变化)，类比等比数列的通项公式的方法得出结

论后判断D.

【详解】

首先我们证明：-g4a“<0,利用数学归纳法.事实上，当〃=1时，-；4q<0；

假设当〃=%时，-g«4<0,则当〃=k+1时，ak+i=In(ai+1)-sinak.

设函数f(x)=ln(x+l)-sinx(-^<x<0),则/[x)=ApCosx>0,则f(x)在-g,。]上单调递增，

从而_：4111；+$布1=/(_；]<4+]=/(4)</(0)=0.

当一g<xvO时，设g(x)=/(x)-x=ln(x+l)-sinx-x(—^<x<0),

贝Ug'(6=~——cosx-1,设〃(x)=g'(x)=-^——cosx-1,

x+1x+1

"("=一油]+而》<0,则g'(x)在彳,0)上单调递减，又g'(一£]>o，g'⑼<0,

所以存在玉,w(-g,O),使得g'(x(,)=0,-g<x<Xo时，g'(x)>0,x(><x<0时，g'(x)<0,

故g(x)在-；,0)上先增后减，从而g(x)>min{g(O),g,g)}=0,从而/(x)>x.

对于A选项：由于a„+1=ln(a„+l)-sina„>a„,故数列｛a,,｝单调递增，选项A错误.

对于B选项，由于｛%｝单调递增且-；4为<0,从而!吧%=A存在，由4向=111(%+1)-加4,>%可得

A=ln(A+l)-sinA,故A=0,从而!吧％=°.故选项B错误.

对于C选项，由于TVXVO时，

?r14

设p(x)=In(x+1)-捻(T<x<0),P'(x)=->0,

(x+l)(x+2)2

0V

所以p(x)是增函数，〃(x)vp(O)=。，所以ln(x+l)<不受(-1<X<O),

Ovxvl时，x>sinx,因此有sinx>x(1<x<0),

从而/(x)=ln(x+l)-sinx<Z-—x=工，故/.=ln(q,+1)-sina"〈二,故选项C错误.

x+2x+2+2

2i12|

对于D选项,由于“言<0,即°>痴>一二不令…&，则-2"2%即

%<应-2<2千-"+"=2(2-£|其中24%<b向,故In6向<In2+2In(4-；)<In2+2In2，

从而

2।2

ln%+ln2<2(l叫+ln2),即ln〃,+ln2<2"T(ln4+ln2),2h„<42"'',即-<4*',故勺<一『.从而选项D

正确.故选：D.

［点睛］

难谓点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二

是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，

属于困难题.

6.D

【解析】【分析】

2

判定出数列｛4｝的单调性判断选项A；求得知的取值范围判断选项B；判定出a„+l与-念方的大小关系判断选项C；

判定出与--1r的大小关系判断选项D.

4-

【详解】

首先我们证明：(利用数学归纳法)当〃=1时，"1<^,<0；假设当〃=%时，

则当〃=2+1时，4+1=ln(4+1)-sin%.设函数/(x)=ln(x+l)-sinxj-4(x<o],则/X(x)=—^-cosx>0,

JX+1

从而一；en；+sin；=«,=/(«*，)</(0)=o.综上可得一〈4见<0.

则/(X)在上单调递增,+,

乙乙乙、，乙)乙

故选项B错误；

当_，4x<0时，^(x)=/(x)-x=ln(x+1)-sinx-A|<x<0|,则g，(x)=-^-----cosx-1,令

2<2)x+1

m(x)=———cosx-1,则加(%)=-•；~y+sinx<0,则&'(x)在一上单调递减,

x+1(x+lf2)

又g'(-；)g'(0)<0,故g(x)在-别上先增后减，从而g(x)>mink(0),gf｝=0,从而/(x)>x.

对于A选项：由于-l<%<O,4M=ln(%+l)-sin%>q,,故数列｛a,,｝单调递增，选项A错误；

2xov-_y~

对于C选项，由于当一IvxvO时，有ln(x+l)<—:—,sinx>x,从而f(x)=ln(x+l)—sinx<--------x=------

x+2x+2x+2

2

一可

故=ln(a“+l)-sin%<,故选项C错误;

4+2

2]]2|

对于D选项，由于4+|<二：<0,即。>——>-------2>令么=---，则

an+2a„+i«„a“a„

即"a<2b；—<2片一g=2—,其中故In%<In2+21n,-j<ln2+21nd，

2।2

从而In%+ln2<2（lnb“+ln2）,即In"+ln2<，一（lg+ln2）,2b„<4r",即一一<4"，故a“〈-『.从而选项

D正确.故选：D

7.A

【解析】【分析】

先判断出4>0,%<0,从而d<0,继而判断出<…，比较刀与原工的大小关系，可得答案.

【详解】

由*=^^=4（%+%）>0，59=9（4+4）=9%<0,所以4+%>0，«5<0,所以q>0,as<0,

所以也,｝的公差d<0,所以当时，4,>0；当〃“时，an<0,

所以4a2>0,a2a3>0,a,a4>0,a4as<0,a5ab>0,...,所以7；<（<7；>7；<7；<…，

X7；=ata2+a2a3+a,a4+a4a5=ata2+a2a7+a4(a,+a5)=ata2+a2a｝+2a｝>T2>7；,故工为｛北｝的最小值,

故女=1,故选：A.

8.A

【解析】【分析】

由嗝=西一砾=（1，4用一。“）=（1，2），得到4用-4,=2,结合等差数列的求和公式，即可求解・

【详解】

因为西=西一西=（〃+1，%）-（〃，％）=（1，%-%）=（1，2）,可得刃一%=2,所以｛%｝是公差为2的等差数

列，由q+2%=3,得《=-；,所以S“=-彳+："（"-1）*2=〃，-：].故选：A.

9.B

【解析】【分析】

_97

设等差数列｛4｝公差为"，由题意可得4之丁匚2-4，从而建立关于左的不等式，求解不等式即可得答案.

2k—13

【详解】

解：设等差数列｛%｝公差为d,由川43q，且《=1,

1f(2〃+l)dN—2

得二[1+5—l)d]W1+W3[1+5—=1,2,3,…次一1,即」,n=1,2,•••,A:—1,

3[(2n-3)d>-2

2-2-2-2-22

当〃时，-产V2,当〃=2,TT时，^―>—^得此百’所以江正广3

所以5=4+空=24之人+空心•:^当，即/一10左+540,解得&49,所以后的最大值是9.故选：B.

222k—\

10.B

【解析】【分析】根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为的数列，结合题意和等比数列

前〃项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式即可.

【详解】

104

第一次操作去掉：，设为《；第二次操作去掉设为公；第三次操作去掉玲，设为。3，

lx1-

1lt喈整理，得PS，时步啥"2Tg3)-

=­X——

34

心嗡詈器旨”—S故〃的最小值为7.故选：B.

11.B

【解析】【分析】

若｛为｝为等比数列，可得a,,=2"T,c"=2"T,进而可得〃=4"-'=d可判断AC；若｛1｝为递增的等差数列，利用累

乘法可得心尸51d,再利用裂项相消法可得E,=*1‘-」-，利用累加法可得4="+(”")(〃-l)d,进

c

2dgcn+lJ2

而可得(N—'=可判断BD.

【详解】

因为q=4=CI=Lcn=an+l-a„,：.c]=a2-at,即/=q+q=2,若｛4｝为等比数列，则｛《,｝的公比为4=a=2,

a\

媪,c,可得如=S11=---

nn

a,=2"T,j=an+l-an=2"-2-'=2-',由c„+2=4,.••a=4"T=d，故AC错误;

若｛%｝为递增的等差数列，q=l,公差d＞0,由%+2=导＜,则导=乎

.AA..…媪=幺.2.M.....s±2..如=%+£，+2a1+rfI1

---=-------

c,+£〃

C"=l+(〃-l)d，C"=4+1=(""_”,1)+(41_《,-2)+•.,+(/一4)+4>•-4“=”+也包上2/,又

2

心*—＞。，则△£+U+•••+六二全+二当〃23时,不等式S“S恒成立,

故故B正确，D错误.故选：B.

12.C

【解析】【分析】由条件求得的通项公式后求解

【详解】

(2+a.)(l-a向)=2,贝!|4e=一夫，即」一=2+1,得」—+1=2(上+1),故J-+1是以2为首项，2为公比的

4+2«,1+|anan+la„[4

220222023

等比数列，,+1=2",%=不二，S,02,+2022=2+2+.••+2=2-2,«2022(52022+2022)=2.故选：C

an2T

13.(I)a“=2〃+l,4=2"T；(II)£,="+2〃_,_誓x(_2严；(山)

9183(2〃+3)

【解析】

【分析】

(I)利用等差等比数列的通项公式用公差和公比表示已知条件，可求得公差和公比，进而得到通项公式；(II)

利用分组求和法，转化为应=(%+%+…+%)+/(-4)'+，物+…+(-1)%也涕一部分利用等差数列求和公式求和,

第二部分，利用错位相减求和法求得；(ni)可裂项为?“2：二(二1严",然后相加相消求和.

(2九+1)(2〃+3)

【详解】

(I)设数歹加｝的公差为/数列他｝的公比为…=叫=］及仁2屋的得H+4/2q=3+2〃

(d=2

解得'所以氏=3+2(〃-1)=2"+1也=2"，

匕=2,

(】1)&,=(。1+，3+…+。2”-1)+(。2+04+••・+。2")=(4+%+…+%)+4(-印)'+见优+…+(-iy«A

设｛4｝前项〃和为A,A=(3+2*〃=“2+2n设｛(-i)，，a也卜|1(2〃+1)(-2)［前项〃和为8

B=—x3x(—2)'+5x5x(-2)-+...+—x(2〃—1)x(—2)"1+—x(2n+1)x(—2)"

-2B=-X3X(-2)2+-X5X(-2)3+...ix(2n-1)x(-2)"+-x(2«+1)x(-2),,+l

2222

n+ln+l

38=-3+(-2尸+(—2)3……+(-2)"--x(2n+l)x(-2)3B=-3+(二2)“*：-lx(2n+l)x(-2)

21+22

B=[一x(—2严综上可知(“=A+3="+2〃一,-x(一2严

9lo91o

(T)"(6〃+5)2_(-l)"(6〃+5)2"T_(-1严2"

〃,4+](2〃+1)(2〃+3)(2/?+1)(2〃+3)

1

人Pf-21」28\(-1严p1(-1严2"

"(35)(57JI79)I(2〃+l)(2〃+3))"3(2/7+3)

【点睛】

本题考查等差数列等比数列的通项和求和，分组求和方法，错位相减法求和和裂项相消求和法，关键是第二问中的

分组求和和第三问中的裂项技巧.

14.⑴证明见解析；5,,=^^-〃(2)证明见解析.

2

【解析】【分析】

(1)先求出4,然后将3%=2S“+2〃的〃换成〃—1,与原式相减可得4=34-+2,从而可得为+1=3(41+1)即

可证明，求出｛可｝通项公式，再分组可求和.

111

(2)先求出勿="+1,可得出於<———,裂项相消法求和，可证明.

bnn〃+1

⑴当〃=1时，3^=25,+2,即《=2由3/=2S“+2”,则为e=2S,-+2(〃-1)n>2

两式相减可得3%-36T=2%+2,即％=34T+2所以为+1=