新教材人教A版必修第二册9.2.3总体集中趋势的估量

9.2.3总体集中趋势的估量

教材分析

本节?一般高中课程标准数学教科书必修二〔人教A版）第九章?923总体集中趋势的估

量?，本节课通过对反映样本数据集中趋势量；平均数、众数、中位数的回忆，进一步学习在

频率分布直方图中对三个量的算法，同时加深对它们的理解和应用。进一步体会用样本估量

总体的思想与方法。从而开展同学的直观想象、规律推理、数学建模的核心素养。

款学目杼马被心素恭

课程目标学科素养

A.结合实例，能用样本估量总体的集中趋1.数学建模：在详细情境中运用众数、中位数、平均数

势参数（众数、中位数、平均数）.2.规律推理：运用众数、中位数、平均数进行推断

B.会求样本数据的众数、中位数、平均数.3.数学运算：计算众数、中位数、平均数

C.理解集中趋势参数的统计含义.4.数据分析：众数、中位数、平均数的含义

敢学1维息

1.教学重点：会求样本数据的众数、中位数、平均数.

2.教学难点：理解集中趋势参数的统计含义.

多媒体

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1、定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这

组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100p）%的

数据大于或等于这个值.

2、计算一组〃个数据的第。百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=”xp%.

第3步，假设7・不是整数，而大于，的比邻整数为，那么第P百分位

数为第/项数据；假设i是整数，那么第P百分位数为

第i项与第（i+1）项数据的平均数.

3、依据频率分布直方图〔频率分布表）计算样本数据的百分位数：

首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算,其次估量百分位由回忆学问动

数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得.身，提出问题，让同

学感受到对反映样

本数字集中趋势量；

平均数、众数、中位

众数：在一组数据中，消失次数最多的数据.数学习的重要性。开

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据展同学数学抽象、直

〔或最中间两个数据的平均数）.观想象和规律推理

的核心素养。

1.推断以下说法是否正确.（正确的打“『，错误的打）

⑴转变一组数据中的一个数，那么这些数据的平均数肯定会转

变.（）

（2）转变一组数据中的一个数，那么其中位数也肯定会转变.（）

（3）在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标.（）

7N；x

2、求以下各组数据的众数

m、1,2,3,3,3,5,5,8,8,8,9,9众数是：3和8

[2）、1,2,3,3,3,5,5,8,8,9,9众数是：3

3、求以下各组数据的中位数

〔1）、1,2,3,3,3,4,6,8,8,8,9,9中位数是：5

[2）1,2,3,3,3,4,8,8,8,9,9中位数是：4

4.在一次中同学田径运动会上，参与男子跳高的17名运发动的成果

如下表所示：

成果（米）1.501.601.651.701.751.801.851.90

人数23234111

分别求这些运发动成果的众数，中位数与平均数。

解：在17个数据中，消失了4次，消失的次数最多，即这组数据的

众数是.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的挨次排列的，

其中第9个数据是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是；

答：17名运发动成果的众数、中位数、平均数依次是（米）、[米）、

〔米）。这组数据的平均数是

—1

x=py（L50x2+1.60x3+…+1.90x1）669（米）

二、探究新知

为了了解总体的状况，前面我们争论了如何通过样本的分布规律

估量总体的分布规律，但有时候，我们可能不太关怀总体的分布规律，

而更关注总体取值在某一方面的特征，例如，对于某县今年小麦的收

成状况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产

量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高状况，我们可能会

更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等.通过详细问题，

在学校的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是让同学感受反映样

刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势。本数字集中趋势量；

下面我们通过详细实例进一步了解这些量的意义，探究它们之平均数、众数、中位

间的联系与区分，并依据样本的集中趋势估量总体的集中趋势.数学习解决实际问

例1.利用下表中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算题中的运用，开展同

样本数据的平均数和中位数，并据此估量全市居民用户月均用水量的学数学抽象、规律推

平均数和中位数.理的核心素养。

2.28.613.8

3.67.18.825.63.218.35.

5.56.016.02.49.53.717.03.8

4.1

7.128.010.213.817.910.1

解：尸二F1+8+…+)'1'二8.79,

100

即1闾户居民的月均用水看的平均数为8.79，.

将样本敷据按从小到大排序.将第50个数和第51个歙夕

6.4,6.8,由中位粒的定义,可用6-=6.6,

即100户居民的月均用水量的中位敏为6.M

8.7^000=17580^

所以估量全市居民用户的月均用水量约为，其中位数约为6.6t.

跟踪练习1.小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中

位数，但在录入数据不当心把一个数据录成了77.请计算录入数据的

平均数和中位数.

100

思索:并与真实的样本平均数和中位数作比拟。哪个量的值变化更

大？你能解释其中的缘由吗？

平均数由原来的变为9.483t,中位数没有变化.这是由于样本平均数

与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的转变会引起平均数

的转变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未

利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的转变都会引起中位数的

转变，因此，与中位数较，平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本

中的极端值更加敏感.

平均数、中位数平均数、中位数

图1图3

平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分

布的形态有关.在以下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中通过实例分析，让

位数的大小存在什么关系？同学把握反映样本

数字集中趋势量；平

均数、众数、中位数

的计算方法，并熟识

的应用，提升推理论

例2.某学校要定制高一班级的校服，同学依据厂家供应的参考身高选证力量，提高同学的

择校服规格，据统计，高一班级女生需要不同规格校服的频数如下表数学抽象、数学建模

所示,及规律推理的核心

素养。

155160165170175

频数39641679026386

假如用一个量来代表该校高一班级女生所需校服的规格，那么在中位

数、平均数和数中，哪个量比拟适宜？试争论用上表中的数据估量全

国高一班级女生校服规格的合理性.

分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的类

别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比拟适宜.

解：为了更直观地观看数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据

（以下图）可以发觉，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所

以用众数165作为该校高一班级女生校服的规格比拟适宜.

由于全国各地的高一班级女生的身高存在肯定的差异,所以用一个学

校的数据估量全国高一班级女生的校服规格不合理.

众数、中位数和平均数的比拟

名称优点缺点

与中位数相比，平

任何一个数据的转变

均数反映出样本数

平均都会引起平均数的转

据中更多的信息，

数变.数据越“离群〃，

对样本中的极端值

对平均数的影响越大

更加敏感

不受少数几个极端

中位

数据（即排序靠前或对极端值不敏感

数

靠后的数据）的影响

众数只能传递数据中

表达了样本数据的

众数的信息的很少一局

最大集中点

部，对极端值不敏感

探究:样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中

位数和众数的估量，但在某些状况下我们无法获知原始的样本数据，

例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计

图，这时该如何估量样本的平均数、中位数和众数？

在频率分布直方图中，损失了大量的原始数据，只知道分组和每组的

频率，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设

它们在组内匀称分布，这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数

的近似估量，进而估量总体的平均数、中位数和众数.

你能以以下图居民用水的频率分布直方图供应的信息，估量出样本

的平均数、中位数和众数吗？

由于样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率

分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小

矩形的面积的乘积之和近似代替.如下图，可以测出图中每个小矩形

的高度，于是平均数的近似值为

■8.96

依据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位

数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中,

中位数左边和右边的直方图的面积应当相等

这个结果与依据原始数据求得的中位数相差不大.

由于0.077x3=0.231,(0.077+0.107)x3=0.552.

因此中位数落在区间［42,7.2)内.

设中位数为x,由得到xu6.71.

因此，中位数约为6.71,如下图.

.5

.2+2.5=6.7

在频率分布直方图中，月均用水量在区间［4.2,7.2）内的居民最多，可

以将这个区间的中点作为众数的估量值，如下图，众数常用在描述分

类型数据中，在这个实际问题中，众数“5.7〃让我们知道月均用水量

在区间［42,7.2）内的居民用户最多，这个信息具有实际意义。

在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的,

此时，通常假设它们在组内匀称分布，这样就可以获得样本的平均数、

中位数和众数的近似估量，进而估量总体的平均数、中位数和众数.

跟踪训练

解：(1)«=0.1-(0.005+0.01+0.02+0.025+0.01)

=0.030

5=0.05x45+0.1x55+0.2x65+0.3x75+0.25x85

♦0.1x95=74

(2)众数为75.设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为，第四个矩

形面积为十,因此中位数位于第四个矩形内，得0.3+0.03。一，所以

x=75.

2.某校从参与高二班级学业水平测试的同学中抽出80名同学，其数

学成果(均为整数)的频率分布直方图如下图.

(1)求这次测试数学成果的众数；

(2)求这次测试数学成果的中位数

(3)求这次测试数学成果的平均数.

SO30

6O25

SO20

SO15

(2)设中位数为x,由图知前三个矩形面积之和为,

第四个矩形面积为

十,因此中位数位于第四个矩形内

得:0.4+0.03。一，所以小73.3.

解:由题干图知这次数学成果的平均数为：丝产X0.005X10+”包

X0.015X10

,60+70,70+80_80+90,90+100

卜一—X0.02X10+——X0.03X10+—5—x0.025xl04~2~~

x0.005xl0=72.

〔4〕假设例3条件不变，求80分以下的同学人数.

o30

o25

o20

o15

QO5

[40,80)分的频率为：+++0.030)x10=,

所以80分以下的同学人数为=56.

三、达标检测

1.某市2019年全年空气质量等级如下表所示通过练习稳固本

空气质地等级(空气质址指数(AQD)频数频率节所学学问，通过同

优(AQK50)8322.8%学解决问题，开展同

良(51XAQK100)12133.2%

学的数学抽象、规律

轻度污柒(10(XAQI<150)6818.6%

推理、数学运算、数

中度污染(150<AQ1<201»1913.1/

正度污染(200<AQI<300)308.2/：学建模的核心素养。

产币:污染(AQI>3l)0))13.8%

合计365

依据表中的数据，估量该市2019年全年空气质量指数的平均数、中

位数和第80百分位(注：该市属于“严峻污染〃等级的空气质量指数

不超过400)

平均数的估计值为

-(-2--5--X----8-3--+--7--5--X----1-2-1--+---1-2-5---X---6-8--+--1-7--5---X---4-9--+---2-5--0--X---3--0--+--3-5--0--X----1--4-)I〜”

365

因为赛V°5且.津3112n>0.5,所以该组数据的中位数

)36)「83

U.3------

在50〜100之间，中位数的估计值为50+50X—~e叱,x91

X3+121_X3

365

因为⑻+m+68)=0.745<0.8,且⑻+中飞8+49)

365365

=0.879>0.8,所以该组数据的第80百分位数在150〜200之

间，第80百分位数的估计值为150+50X比171.

某工厂人员及工资构成如下:

人经理管理人高级技工人学徒合计

员员工

日2200250220200100

工

资

人16510123

数

合22001500110020001006900

计

[1)指出这个问题中日工资的众数、中位数、平均数

12)这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？

为什么？

分析:众数为200,中位数为220,平均数为300。

因平均数为300,由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以

上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工

厂的工资水平。

利用样本数字特征进行决策时的两个关注点

(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极

端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端

值的影响;众数只能表达数据的最大集中点，无法客观反映总体特征.

(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在很多较大的极端值.

3.某校从参与高二班级学业水平测试的同学中抽出80名同学，其数

学成果(均为整数)的频率分布直方图如下图.

,频率/组距

0.030

0.025

0.020——

0.015—

0.005

1、

0405060708090