高中数学：4-5-3 函数模型的应用（分层作业）

4.5.3函数模型的应用（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•全国•高一课时练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千

帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（）

【答案】D

【分析】设反比例函数，再代入A（1.5,64）求解即可.

【详解】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设P=［（%中（）），由题图可知，点A（1.5,64）

在函数图像上，所以64=六，解得女=96,故夕=5

故选：D.

2.（2022•全国•高一课时练习）据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足

y=alog3（x+2）.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（）

A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只

【答案】C

【分析】将x=l代入表达式得a=3000,再将x=7代入计算即可.

【详解】解：由题意，得3000=alog3（l+2）,得。=3000,

所以当x=7时，y=3000xlog,（7+2）=6000.

故选：C

3.（2022•全国•高一课时练习）下列函数中，当x很大时，V随x的增大而增大速度最快的是（）

A.y=e*B.y=100lnxC.y=100xD.y=100-2t

100

【答案】A

【分析】根据各函数的增长快慢逐个判断即可.

【详解】由题意，当x很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数

函数的增长速度，又e>2,所以当x很大时，'随x的增大而增大速度最快的是），=±e'.

100

故选：A

4.（2022・全国•高一课时练习）若三个变量必，乃，为随着变量x的变化情况如下表.

X1357911

525456585105

%529245218919685177149

%56.106.616.957.27.6

x

则关于x分别呈函数模型：y=m\ogax+n,y=pa+q,y=变化的变量依次是（）A.y,,y2,

y3B.丫3，为，x

c.%,%，为D.X，）1，为

【答案】B

【分析】根据幕，指，对函数型的性质即可得其变化特征，即可求解.

【详解】由题表可知，随着X的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；X随着X的增大而增大，但是

变化缓慢，是对数型函数的变化；）1相对于力的变化要慢一些，是幕函数型的变化.

故选:B.

5.（2022.全国•高一）某超市宣传在“双H^一,'期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：

①如一次性购物不超过200元不予以折扣；

②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；

③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该

超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）

A.608元B.591.1元C.582.6元D.456.8元

【答案】B

【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.

【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为441’?=490元，

如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5（X）创）.9+166（）.85=591.1元.

故选：B.

6.（2022・湖南・新邵县教研室高一期末）有一组实验数据如下表所示：

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

At,

则最能体现这组数据关系的函数模型是（）A.y=2-lB.y=/C.y=21og2x

D.y=x2-\

【答案】D

【分析】将各点（x,y）分别代入各函数，即可求出.

【详解】将各点（x,y）分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y=d-i.

故选：D.

7.（2022・山西・太原市同心外国语中学校高一阶段练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,

据市场分析每辆客车营运的总利润V（单位：10万元）与营运年数x（xeN"）为二次函数关系（如图所示），

则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润上最大.

X

D.6

【答案】C

【分析】先根据题意求出总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xeN.)为二次函数关系式，从而可得号,

化简后利用基本不等式可求得其最大值.

【详解】根据二次函数的图象设二次函数为y="(x-6)2+ll,

因为图象过(4,7),

所以7=。(4-6尸+11,解得a=—l,

所以y=-(x-6y+ll=f2+12x-25(xeN*),

rrI、Iy—厂+12》—2525.

所以上=------------=-%——+12

XXX

=一卜+卦12

<-2.L—+12=2,当且仅当》=生，即x=5时取等号，

VxX

所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润上最大，

X

故选：C.

8.(2022•全国•高一课时练习)在一次数学实验中，采集到如下一组数据:

X-2-10123

y0.240.5112.023.988.02

则x,y的函数关系与下列各类函数最接近的是(其中。，b为待定系数)()A.y=a+bxB.y=bx

-b

C.y=ax2+bD.y=—

x

【答案】B

【分析】根据表中数据作出散点图，结合一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数图象特征作出判断.

【详解】解：根据题表中的数据描点如图所示.

y

o

・・•对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，・・・A不成立；

♦・・C是偶函数，・・・x=±l的函数值应该相等，・・・C不成立；

,.,了=0时，2无意义，，D不成立；

x

对于B,当x=0时，y=l,当x=l时，y=b=2.02,经验证它与各数据比较接近.

故选：B.

9.（2022•浙江省杭州第九中学高一期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：。=4+（4-4"一”，

a为时间，单位分钟，％为环境温度，伍为物体初始温度，。为冷却后温度），假设一杯开水温度a=ioo℃,

环境温度4=2（）℃,常数4=0.2,大约经过多少分钟水温降为40℃（结果保留整数，参考数据：皿2。0.7）

（）

A.9B.8C.7D.5

【答案】C

【分析】根据冷却模型公式可以将数据代入直接就算即可

【详解】由题意可知40=20+（100-20）e«"

所以-02=In，

4

所以1=101n2a7

故选：C

10.（2022.全国.高一课时练习）火箭在发射时会产生巨大的噪音，假设所有声音的声强级d"）（单位：dB）

与声强X（单位：w/mD满足d（x）=101g温，若火箭发射时的声强级约为140dB,人交谈时的声强级

约为50dB,则火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（）

A.10*910B.10'0C.10"D.1012

【答案】A

【分析】由已知计算可得x=10甯T2,计算出火箭发射时的声强与人交谈时的声强，相除可得结果.

【详解】d（x）=101g京,得x=io笔

因为火箭发射时的声强级约为140dB,人交谈时的声强级约为50dB,

14050

所以火箭发射时的声强约为10而*=]02（w/m2）,人交谈时的声强约为io/2=i0_7（w/m2），

in2

所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为转=IO,.

故选：A.

二、多选题

II.（2022•江西•于都县新长征中学高一阶段练习）如图，建立平面直角坐标系xQy，x轴在地平面上，轴

垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，己知炮弹发射后的轨迹在方程

y="-卷（1+公）1（&>0）表示的曲线上，其中％与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在

第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，它的横坐标为“.则下列结论正确的是（）

八W千米

...

o\

A.炮的最大射程为10千米

B.炮的最大射程为20千米

C.当飞行物的横坐标。超过6时，炮弹可以击中飞行物

D.当飞行物的横坐标〃不超过6时，炮弹可以击中飞行物

【答案】AD

【分析】由产0,用我表示x并求出最大值判断A,B；由直线y=3.2与炮弹轨迹有无公共点判断C,D作

答.

【详解】在丫=履-g（1+%2卜2（4>0）中，令产0,可得履-*（1+%2卜2=0,显然x>0«>0,

20k20/20s

因此1+%2小一.广，当且仅当左=；，即女=1时等号成立，

ZV7k

即炮的最大射程为10千米，A正确，B错误;

依题意，炮弹击中飞行物，即直线y=3.2与炮弹轨迹有公共点，而a>0,k>0,

于是得关于上的方程履-£（1+忆2"2=3.2,即a2k2-20ak+〃+64=0有正根，

^A=400«2-4a2（«2+64）>0,即时，方程//一20〃%+4+64=0两根之和为正，两根之积为正,

因此当0<“46时，关于笈的方程有正根，

即当。不超过6千米时，炮弹可以击中目标，C错误，D正确.

故选：AD

12.（2022・全国•高一课时练习）（多选）三个变量M，必，随变量x变化的数据如下表：

X051015202530

51305051130200531304505

%5901620291605248809447840170061120

%5305580105130155

则下列说法合理的是（）A.y关于x呈指数增长B.丫2关于x呈指数增长

C.丫3关于x呈直线上升D.%的增长速度最快

【答案】BCD

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，再由表格中单调性的特点，可得答案.

【详解】M随x增大而增大，增加量依次是125,375,625,875,…，增长的速度越来越慢，呈对数增长，

故A错误；为随*增大而增大，增加量依次是85,1530,27540,495720,....增长的速度越来越快，呈

指数增长，且增长速度最快，故B,D正确；丫3随x增大而增大，增加量依次是25,25,25,呈均匀

增加状态，呈直线上升，故C正确.

故选：BCD.

13.（2022•全国•高一课时练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离

与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）

的关系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0。彳30时，y与x的关系式为

【答案】BD

【分析】根据图表逐项判断即可

【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,A错误；

由题中图象知，B正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从

公园到乙同学家的速度慢，C错误；

当0W烂30时，设y=Ax（#0）,贝ij2=30k,解得k=D正确.

故选：BD

三、填空题

14.（2022•江西•南城县第二中学高一阶段练习）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6

元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元.小明在该快

递公司寄一件4千克的物品，需要付费元.

【答案】28

【分析】用10加上超过1千克的部分的费用，即可求解.

【详解】根据题意得，需要付费10+6x（47）=28元

故答案为：28

15.（2022•黑龙江・哈尔滨三中高一阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流

水线生产的摩托车数量x（单位：百辆）与净利润y（单位：十万元）之间关系如图（图象为抛物线的一部

分），为使每百辆摩托车获得净利润）最大，应生产摩托车百辆.

【分析】设出二次函数的顶点式，代入（4,7）,求出解析式，并求出定义域，再利用基本不等式求出9的最

大值，及相应的生产摩托车辆数.

【详解】设y=a（x-6『+ll,将（4,7）代入，4a+ll=7,解得：a=-l,

,故y=-(x-6)~+ll,令y=0得：jq,x,=6+>/11,

所以y=-(%-6)2+11=-x2+12x-25,xe+.

?=也史T=i2(+至］,

XX\X)

因为xe［6-而,6+而］,

所以x+"22、/?=10,当且仅当乂="，即户5时，等号成立,

i^^=12-|x+—1<12-10=2,x=5时,等号成立,

X\X)

故要想使每百辆摩托车获得净利润£最大，应生产摩托车5百辆.

X

故答案为：5

16.（2022•全国•高一单元测试）牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/

毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温

放置于空气中，经过分钟就不宜再饮用.（参考数据：1g220.301,1g3«0.477）

【答案】188

【分析】根据题意列出不等式计算即可.

【详解】设经过x个周期后细菌含量超标,

2000

即3000x2*>2000000,即2">

3

〜,2000lg2000-lg3lg2+3-lg3…

所以x>log2~^~=&।,上=工|仁以"9.4,

而20x9.4=188,因此经过188分钟就不宜再饮用.

故答案为：188.

17.（2022•全国•高一课时练习）某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励

方案：在利润达到5万元后，奖金y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不

超过3万元，同时奖金不超过利润的20%,现有三个奖励模型：①y=0.2x,（2）j=log5x,③y=1.02,,则

该符合该商场要求的模型为（填序号）.

【答案】②

【分析】数形结合，根据三个函数图象是否在直线，=3和y=0.2x的下方判断即可.

【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02-'的图象如图所示.观察图象可知，

在区间［5,100］内，函数y=0.2x,y=1.02'的图象都有一部分在直线y=3的上方，只有函数y=logsx的图

象始终在直线y=3和y=0.2x的下方，所以按模型y=logs》进行奖励符合商场的要求.

18.（2022.全国•高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕.研讨

会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创

新.香农公式。=卬1。820+5）是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中,

最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，

其中当叫作信噪比.若不改变信道带宽W,而将信噪比三从11提升至499,则最大信息传递速率C大约

会提升到原来的倍（结果保留1位小数）.（参考数据：崛23々1.58,log,5«2.32）

【答案】2.5

【分析】设提升前最大信息传递速率为G，提升后最大信息传递速率为C?,根据题意求出今，再利用指数、

C1

对数的运算性质化简计算即可

【详解】设提升前最大信息传递速率为C-提升后最大信息传递速率为C2,则由题意可知,

G=lVlog2(l+ll)=Wlog212,C2=Wlog2(1+499)=IVlog250(),

Wlog?500_bg,(22x5,_logp+iog^s_2+3陶5~2+3x2.32_826~25

，J122

-IVlog,12-Iog2(2x3)-log,2+log23_2+log,3~2+1.58-358''

所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍.

故答案为：2.5

四、解答题

19.(2022.山东.淄博职业学院高一阶段练习)某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月

用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.

(1)若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？

(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？

【答案】⑴56

(2)125

【分析】⑴设用电量为X度，对应电费为y元，求出y关于X的分段函数，将x=120代入，求解出该月

电费；

(2)先判断出该户用电量超过了100度，进而解方程，求出其用电量.

(1)

设用电量为x度，对应电费为y元，

由题意得：当X4100时，y=0.4%；

当x>100时，y=100x0.4+(x-100)x0.8=0.8x-40,

[0.4x,x<100

即y=\，

[0.8x-40,x>100

当x=120时，y=0.8x!20-40=56,

所以该月电费为56元；

(2)

因为E00时，y=0.4x<0.4xl00=40<60,

所以该户用电量超过了100度，

令0.8x—40=60,解得：x=125,

故其用电量为125度.

20.（2022•上海市中国中学高一阶段练习）已知某型号汽车从刹车到停车所滑行的距离$（米）与车速U（千

米/时）的平方成正比，设该型号汽车以车速60千米/时行驶时，刹车到停车滑行了20米，如果该车在行驶

时，与前面的车辆距离为15米（假设该车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁一秒），为了保证前

面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车，则该车的最大速度不能超过多少千米/时？（精确到0.1）

【答案】该车的最大速度不能超过32.7千米/小时.

【分析】根据题意可设s=h2,进而可得5=」匚，然后根据题中条件，列出不等式八侬+」二415,进

1803600180

而即得.

【详解】由题意,可设S=

则20=3600%,即k=

1o（）

2

因此s=L,

180

因为该车司机从发现前面车辆停车到自己刹乍需耽搁一秒，为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞

车，

只需h+/一W15,即v2+50v-2700<0,

3600180

因为uNO,

所以丫457^5-25=32.7,

即该车的最大速度不能超过32.7千米/小时.

21.（2022.贵州贵阳.高一阶段练习）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查,

杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若提价后定价为x（单位：元），销售总收入y（单

位：万元）

（1）提价后如何定价才能使销售总收入最大？销售总收入最大值是多少？（精确到0.1）

（2）如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

【答案】（1）定价为每本3.3元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为21.1万元

（2）每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元

【分析】(1)若提价后定价为x元,则可售出(8-土r-就2三5'0.2)万件，总收入与售价函数关系为二次函数,利用二

次函数求最值.

(2)由销售总收入不低于20万元列出不等式，解二次不等式.

(1)

由题意可得

y=(8-X0.2卜=-2f+13x,(x22.5)

当x=；=3.3(元)时，为^二萼5s21.1(万元).

4o

即定价为每本3.3元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为21.1万元.

(2)

由题意可得

-2x2+13X>20=>2X2-13X+20<0

=2.54x44

所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.

22.(2022・宁夏六盘山高级中学高一阶段练习)某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件(xeN*)与货

价p元/件之间的关系为p=160-2万，生产x件所需成本为C=5OO+3OX元.

(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？

(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.

【答案】(1)1600；

⑵当日产量在20到45件之间(含20件和45件)时，日获利不少于1300元.

【分析】(D由题可得单价与总成本，进而即得；

(2)根据条件求出该厂日获利函数，列出不等式，进而即得.

(1)

当x=30时，p=160-2x30=100,C=5(X)+30x30=1400,

所以该厂当日的获利是100x30-1400=1600(元)：

(2)

设该厂日获利为V,则由题意得

y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,

由>21300,得一2必+130*-50021300,

所以x?-65x+90040,BP（-^—20）（%—45）<0,

解得20MXW45,

所以当日产量在20到45件之间（含20件和45件）时，日获利不少于1300元.

23.（2022・湖南・长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千

米.该路段限速60WXW100（单位:千米/时）.充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电10+

千瓦时，轮胎磨损费为W元/千米，道路通行费为02元/千米.

ovO

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【答案】⑴y=§+与+48（60<x<100）

（2）行车速度为x=40/千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（606+48）元.

【分析】（1）根据题意，计算出电动车行驶的时间和路程，然后列出相应的方程即可.

（2）利用基本不等式的性质即可求出最值，注意等号成立的条件即可.

（1）

36009x3x36003x

y-1.5+240--+0.2x240+—+—+48=----+—+48(60<%<100).

800x--2010x--4'7

(2)

h位“，”,八八36003x、、,36003x,八后

因为60Wx4l(X),----+—^2J-------=60V3.

所以？,606+48,所以行车费最低为(60百+48)元.

当言£=手，即/=480(),x=40®e[60,100]时取得.

答：行车速度为x=40G千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（606+48）元.

24.（2022.浙江大学附属中学高一期中）某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新

型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成

本为C（x）万元.在年产量不足80个时，C（x）=\^+2x（万元）；在年产量不小于80个时，

C（x）=^1Qx3+子4?5-135（万元），每个工业机器人售价为6万元，通过市场分析，生产的机器人当年可以

全部售完.

（1）写出年利润“X）（万元）关于年产量X（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入一固定成本一流

动成本）

（2）年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？

4A:---100,0<x<80

【答案】（l）〃x）hx425Xi；

--------+35,x>80

17x

（2）年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大为25万元.

【分析】（1）根据题意写出0480、xN80的解析式，然后应用分段函数形式表示；

（2）利用二次函数、基本不等式分别求出04x<80、X280上的最大值，比较大小即可得结果.

（1）

丫2Y425

当0080时'=6x—100—C（x）=4x--^―100；当xN80时，L（x）=6x-100—C（x）=-----F35；

rx2

4x----100,0<x<80

所以£*）=3?

----—+35,x>80

I17x

（2）

0W80时，〃%）=-*—60>+20,故最大值为〃60）=20万元；

xN80时，L（x）=35-（—+丝<35-2.1—=25，当且仅当上=,即x=85时等号成立，

17xV17x17x

所以最大值为"85）=25万元；

综上，年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大为25万元.

25.（2022•上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空

地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩

形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻

的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为x（m）,三块种植植物的矩形区域的总面积

为V（n?）.

（l）写出y与X之间的关系式y=f（x）,并写出X的取值范围：

（2）若要求矩形区域总面积不少于656m2,求室内长x的取值范围.

【答案】⑴/。）=-2》_7詈700+916,xe（8,450）；

⑵［40,90］（单位m）.

【分析】（1）根据题意得到温室的室内长和宽，进而求出三块种植植物的矩形区域的总面积以及自变量的

取值范围；

7200

(2)i/(x)=-2x一一皆+9162656,解之即得.

(1)

根据题意，温室的室内长为Mm),则宽为二H(m),

x

所以三块种植植物的矩形区域的总面积为：

…"900[八//900八。7200”

j(x)=(x-3-3-1-----]-lj=(x-8)[-----2J=-2工------F916,

x-8>0

S-900_,可得xe(8,450)；

.x

(2)

7200

由〃x)=-2x-----+916>656,

nJWx2-130x+3600<0.

解得404x490,

即室内长x的取值范围为［40,90］（单位m）.

26.（2022・全国•高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动

阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇

宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：v=被称为

齐奥尔科夫斯基公式，其中。为喷流相对火箭的速度，人和多分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进

剂用完）时的质量，」被称为火箭的质量比.

叫

（1）某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求

该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；

（2）根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火

箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.

（参考数据：In2,0.69）

【答案】⑴2.8千米/秒

（2）不能，理由见解析

【分析】（1）根据题意可得。=2,%=160,%=40,再代入公式计算即可；

（2）代入数据可得v=oln%V21nlO,再分析可得e〉">128,从而得到21n10<7.9即可.

砥

（1）

由题意，。=2,⑦=160,mk=40,

v=coIn—=2xln=21n4=41n2®2.8,

mk40

...该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒.

（2）

•.•也410,0=2,，v=oln四421nl0.

mk

,/e7-9>27'9>27=128,A7.9=Ine7-9>lnl28>lnl00=21nl0,

即嗑混=21nl0<7.9.

.该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒.

27.（2022・全国•高一专题练习）某企业生产A,8两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润V（万

元）与投资额x（万元）成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y（万元）与投资额x（万元）的

算术平方根成正比，其关系如图（2）所示.

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A,8两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能

使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元(精确到1万元)？

【答案】⑴/(入)=?出..0),g(x)=^-\[x(x..O)；

44

(2)当A产品投入3.75万元，8产品投入6.25万元，企业获得最大利润为或万元，即4.0625万元.

【分析】(1)由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；

(2)设A产品投入x万元，则5产品投入(10-x)万元，设企业的利润为J万元，则有

y=/(x)+^(10-x)(O-10),再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解.

(1)

设投资额为x万元，A产品的利润为/(x)万元，8产品的利润为g(x)万元，

由题设f(x)=&|X,g(x)=k2G，

由图可知f(1)=；,所以勺=；,又g(4)==，所以幺=3，

4424

所以/(幻=!工("0),g(x)=1Vx(x.O)；

44

(2)

设A产品投入x万元，则8产品投入(1。-%)万元，设企业的利润为y万元，

y=/-(x)+P(10-x)=-x+-V10-x,(喷Oc10),

44

令JlO-x=t，则yJO「+!=+线,(倒VfO),

444216

所以当r时，y皿考，此时》=10-。)2=号=3.75,

2lo24

所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元，企业获得最大利润为g万元，即4.0625万元.

28.(2022•福建漳州•高一期末)2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五'’科技成就展强调,

坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电

子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.

为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：

奖金y(单位：万元)随收益X(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收

益的20%,预计收益xe[36,900].

(1)分别判断以下三个函数模型：y=l.()()6,,y=31n_r+4,y=«,能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；

(参考数据：1.OO6750«88.81,1.006760«94.29,ln36®3.58,ln900~6.80)

(2)已知函数模型y=a4-10符合公司奖励方案的要求，求实数。的取值范围.

【答案】(1)函数模型)，=4能符合公司奖励方案的要求，理由见解析

⑵卜114a

【分析】(1)结合题中的两个标准对每一种模型分别验证即可；

(2)根据题中的标准建立不等式组，解不等式组即可.

(1)

函数模型y=1.0061,满足奖金了随收益x增加而增加，

0><11.006760-94.29,

所以当x=760时，y>90,即奖金超过90万，不满足要求；

函数模型y=31nx+4,当》=36时，31n36+4^3.58*3+4=14.74>36*20%=7.2,此时奖金超过收益的20%,

不满足要求；

函数模型y=满足奖金)'随收益x增加而增加，

当XG[36,900]时，^900=30,满足奖金不超过90万元，

又xe[36,900]时，石一=<o,&.,满足奖金不超过收益的20%,函数模型)，=«能符合

公司的要求.

(2)

函数模型y="6-10,

因为奖金y随收益》增加而增加，所以“>（）,

当x=36时，a136—10..0,解得»

当x=900时，«>/900-10„90,解得6,

当xe［36.900］时，“4—10,,1恒成立，

日口y/x10

即④『式’

又也+半2a,当且仅当犬=50时等号成立，

所以％2女，

综上所述，实数。的取值范围是其额2应］.

'【能力提升】

一、单选题

1.（2022•浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当

基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染

数低于1时，疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基

本传染数为此，1个感染者平均会接触到N个新人（M.扁），这N人中有V个人接种过疫苗（（称为接种

率），那么1个感染者可传染的新感染人数为鲁（N-V）.已知某病毒在某地的基本传染数6=log?（4夜），

为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为（）

A.60%B.70%C.80%D.90%

【答案】A

【分析】由题意，列出不等式鲁利用对数的运算性质求出凡，代入不等式中求解，，即可得

到答案.

【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1,只需与（N-V）,,l,

所以《•铝”1,即

5

因为凡=log?（40）=1（^22=2.5，

所以2.51解得£.0.6=60%,

则地疫苗的接种率至少为60%.

故选：A.

2.（2022•浙江大学附属中学高一期中）声强级ZX单位:dB）为声强/（单位：3/mD之间的关系是：以=1。怆：，

70

其中/。指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为ko/m,对应的声强级

为120dB,称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为［70,80］（单位：dB）,下列选项中错误的是（）

A.闻阈的声强级为OdB

B.此歌唱家唱歌时的声强范围口0工1（）7］（单位：3^）

C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍

D.声强级增加1OdB,则声强变为原来的10倍

【答案】C

【分析】根据题设可得以=101g（10'2/）=120+10Ig/,令/=10*8/m?求声强级判断A；将分=70、1=80代

入求声强范围判断B；对乙,2人对应声强级作商、",。+10对应声强作商判断C、D.

【详解】由题意1。怆；=120,则/。=10-12s/m"故"=101g（10b）=120+101g/,

当/=lOT2o）/m2时，£/=OdB,A正确；

若H=70dB,B［J101g/=-50,则/=10-53/m2；若〃=80dB,即101g/=Y0,则/=10口3/11?,故歌唱家

唱歌时的声强范围［103（单位：3/n?）,B正确；

将人,2人对应的声强级作商为**2,C错误；

“+10-120

inio

将“+10对应声强作商为=10,D正确.

1Q-

故选：C

3.（2022•甘肃天水市第一中学高一开学考试）一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100

件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降

价（）

A.3.6元B.5元C.10元D.12元

【答案】B

【分析】设每件工艺品的标价为x元，求出每天获得的利润）'关于x的函数关系式，利用二次函数的基本性

质即可得解.

【详解】设每天的销售量为机件，每件工艺品的标价为X元，则用关于X的函数为一次函数，设机=以+6,

135Q+〃=100。=-4

由题意可得，解得则6=-4工+640，

134〃+b=104〃二640

故每天获得的利润为y=（Tx+640）（x—100）=7犬+1040x—64000,

故当》=一等=130元时，每天获得的利润最大，

-O

因此，要使每天获得的利润最大，则每件需降价135-130=5元.

故选：B.

4.（2022•全国•高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，

中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一

张厚度约为01毫米的纸对折”次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数〃是（参考

数据：lg2=0.3,1g3.8«0.6）（）

A.40B.41C.42D.43

【答案】C

【分析】设对折〃次时，纸的厚度为y（单位：毫米），则由题意可得y=01x2",然后解不等式

y=0.1x2"238x104x1（）6可求得结果

【详解】设对折〃次时，纸的厚度为y（单位：毫米），

由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折〃次，则y=0.1x2”.

^y=0.1x2n>38xl04xl06,即2"23.8x10%

所以lg2"21g3.8+12,B[Jn>—=42,

所以至少对折的次数〃是42.

故选：C.

5.（2022♦全国•高一专题练习）一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m,小刚跑了1450m.小明、小刚

此后所跑的总路程y（单位：m）与时间「（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中6的值是（）

A.3050B.2250C.2050D.2890

【答案】C

【分析】设小明从