河北省邢台市某中学2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷（含答案与解析）

2022-2023学年邢台市第十九中学第一学期期末测试卷

九年级数学

（时间：90分钟满分：120分）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分）

1.二次函数产-2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（-1,-3）

2.如图是正方体一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“3”相对的面上

的数字是（）

B.4C.5D.6

3.甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将三

件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件.下列事件是必然事件的是（）

A.乙抽到一件礼物

B.乙恰好抽到自己带来的礼物

乙没有抽到自己带来的礼物

D.只有乙抽到自己带来的礼物

4.如图所示的几何体的左视图是（）

5.若将抛物线尸炉向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）

A.y=（x+2）~+3B.y=（x-2）~+3C.y=（x+2]-3D.y=—2）--3

6.如图，Q4和PB是。0的切线，点A,8是切点，AC是0。的直径，已知NP=50°，则/ACS的

大小是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

7.小明做用频率估计概率试验，绘制了如图所示的折线图，如果试验继续进行下去，根据表中的数据,

这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是（）

A.0.70B.0.55C.0.60D.0.50

8.如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率

是（）

9.如图，正六边形ABCDM内接于O。，正六边形的周长是12,则正六边形的边心距是（）

A.6B.2C.2百D.4

10.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不

可能出现的投影是（）

A.三角形B.线段C.矩形D.正方形

H.已知二次函数y=X2+（1—m）％+1,当x>i时，y随*的增大而增大，则加的取值范围是（）

A.m=-\B.m=3C.m<3D.m>—1

12.如图，在AABC中，点/为AABC的内心，点。在BC边上，且“>_LBC，若NABC=50°,NC=58°,

则的度数为（）

A.176°B.174°C.172°D.170°

13.如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体体积是（）

主视图左视图俯视图

A.18cm3B.20cm3C.（18+2-73jcm3D.36cm'

14.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如

果不考虑空气阻力，小球的飞行高度力（单位：加）与飞行时间，（单位：s）之间具有函数关系

h=2Qt-5t2.下列叙述正确的是（）

77777777/V777W77777777777777777777777777Z7777；

A.小球的飞行高度只有在3s时达到15mB.小球的飞行高度可以达到40m

C.小球从飞出到落地要用时5sD.小球飞出L2s时的飞行高度为16.8m

15.如图，从一张腰长为60cm,顶角为120。的等腰三角形铁皮0A8中剪出一个最大的扇形OCO,用此剪

下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）

A.10cmB.15cmC.106cmD.20^/2cm

16.如图，已知抛物线丁=/+法+。与直线丁=%交于。』）和（3,3）两点，现有以下结论：①ahc>（）；②

2

/-4c>0；③3b+c+6=0；④当l<x<3时，三+（人-l）x+c>0；⑤当J+bx+c>一时，x>2,

其中正确的序号是（）

A.①②⑤B.④C.③④⑤D.②③⑤

二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17~18小题各3分；19小题有2个空，每空2分）

17.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形''这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心

对称图形的概率是.

18.已知函数y=-d+（加一1）》+加+1（胆为常数），该函数图像与x轴公共点的个数是.

19.如图，在平面直角坐标系中，OA的圆心A的坐标为（-2,0）,半径为2,点P为直线>=一1》+6上

的动点，过点尸作OA的切线，切点为Q,则当AP=时，切线长PQ值最小，最小值为

三、解答题（本大题有7个小题，共68分）

20.解方程：

（1）3f+5x=T

（2）（X-2）2=2（X-2）（X-3）

2

21.已知一纸箱中放有大小均匀的x只白球和y只黄球，从箱中随机地取出一只白球的概率是

1.写出y与x的函数关系式；

2.当x=10时，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P.

22.一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点8出发,沿表面爬到CO的中点E，

请你求出这条线路的最短路径.

AD

BC

主视图左视图

—2—

俯视图

23.在一节数学活动课上，王老师将本班学生身高数据（精确到1厘米）出示给大家，要求同学们各自独立

绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图1所示，乙绘制的如图2所示，经王老师批改，甲绘制的图是正确

(1)写出乙同学在数据整理或绘图过程中的错误(写出一个即可).

(2)甲同学在整理数据后若用扇形统计图表示，则154.5〜159.5这一部分所对应的扇形圆心角的度数为

(3)假设身高在169.5~174.5范围5名同学中，有3名女同学，班主任老师想在这5名同学中选出2

名同学作为本班的正、副旗手，用列表法求恰好选中都是女生的概率.

24.“梦想书店”在销售一种畅销书进货价为20元/本时，以30元/本售出，每天能售出80本.调查表明：

这种书的售价每上涨1元/本，其销售量就将减少2本.物价局规定该商品的售价不能超过40元/本，该书店

为了获得最大的利润，应将该本书售价定为多少？最大利润是多少？

25.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。分别交线段BC,AC于点E，过点。作OE

1AC,垂足为尸，线段ED，AB的延长线相交于点G.

(1)求证：DF是。。的切线;

(2)若CF=2,OR=26，求图中阴影部分的面积.

26.综合与探究

如图，抛物线ynxMzr+c与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，OA—2,OC=6,连接AC和BC.

(2)点。在抛物线的对称轴上，当△ACZ)的周长最小时，点力的坐标为.

(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求ABCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)若点M是)，轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分）

1.二次函数）=-2（x+1）2+3图象的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（-1,-3）

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的顶点式，可直接得出其顶点坐标；

【详解】解：；二次函数的解析式为：）=-2（x+1）2+3,

其图象的顶点坐标是：（-1,3）；

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是能由顶点式得出顶点坐标.

2.如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“3”相对的面上

的数字是（）

A.1B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答.

【详解】解：•••正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，

•••在原正方体中，与数字“3”相对的面上的数字是“5”.

故选：C.

【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题.

3.甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将三

件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件.下列事件是必然事件的是（）

A.乙抽到一件礼物

B.乙恰好抽到自己带来的礼物

C.乙没有抽到自己带来的礼物

D.只有乙抽到自己带来的礼物

【答案】A

【解析】

【分析】根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解；

【详解】A.乙抽到一件礼物是必然事件；

B.乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；

C.乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；

D,只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；

故选:A.

【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.

4.如图所示的几何体的左视图是()

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合对三视图的理解找出正确的左视图即可.

【详解】题中两个圆锥体拼接，左视图应该是两个三角形上下拼接.

故选A.

【点睛】此题重点考察学生对物体三视图的理解，熟练掌握物体的三视图是解题的关键.

5.若将抛物线产/向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2『-3D.y=(x-2)2-3

【答案】B

【解析】

【分析】先确定抛物线尸2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向右平移2个单位，再向上平移3个单位后

得到的点的坐标为(2,3),然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式.

【详解】I.函数产%2的图象的顶点坐标为(0,0),将函数产小的图象向右平移2个单位，再向上平移3个

单位，

...平移后，新图象的顶点坐标是(0+2,0+3)n(2,3).

所得抛物线的表达式为y=（x—2）2+3.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后

的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出

解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

6.如图，A4和PB是0。的切线，点A,8是切点,AC是。。的直径，已知NP=50°,则的

大小是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】

【分析】连接OB,根据24、为切线可得：4P=NOBP=90°,根据四边形AOBP的内角和定

理可得/AO8=130°,进而根据圆周角定理即可求解.

【详解】连接OB，根据PA、PB为切线可得：NQ4P=/O3P=90°,根据四边形AOBP的内角和定

理可得/AOB=130°,

ZACB=-ZAOB=65°.

2

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键.

7.小明做用频率估计概率的试验，绘制了如图所示的折线图，如果试验继续进行下去，根据表中的数据,

这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是（）

频率

0.35--------------------------------------------

n"in>---1---1---'---1---1---1---1---1---------►

20406080100120140160实验次数

A.0.70B.0.55C.0.60D.0.50

【答案】B

【解析】

【分析】根据统计图可知频率随着次数的增加稳定在0.55左右，进而求得各项的概率即可求解

【详解】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.55附近

估计这个概率是0.55,

故选:B.

【点睛】本题考查了根据描述求简单概率，用频率估计概率，分别计算概率并结合统计图求解是解题的关

键.

8.如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率

【答案】C

【解析】

【分析】设方砖的边长为1，分别求出三角形的面积和整个图形的面积，再求出三角形的面积在整个图形

中所占的比值，再根据其比值即可得出结论.

【详解】解：设设方砖的边长为1,

则整个图形的面积为：4x5=20,

三角形的面积为：20--x3x3--x2x4--xlx5=9

222

9

三角形的面积占整个图形面积的一,

20

9

即蚂蚁最终停留在三角形区域上概率是一，

故选：C.

【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比.

9.如图，正六边形ABCDEV内接于O。，正六边形的周长是12,则正六边形的边心距是（）

A.GB.2C.2百D.4

【答案】A

【解析】

【分析】连接OB、OC,求出NBOC=60°,可得ABOC是等边三角形，即可求出正六边形的边长和

的半径，再解直角三角形即可求得边心距.

；六边形ABCDEF为正六边形,

NBOC=360。乂16=60°,

45OC是等边三角形，

•.•正六边形的周长是12,

BC=12x-=2,

6

/.BO=CO=BC=2,

OMA.BC,ZBOC=60°

OM=OB-sin600=OB■—=2x—=73，

22

即边心距为G，

故选：A.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、解直角三角形等边三角形的判定与性质；熟练掌握

正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键.

10.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不

可能出现的投影是（）

A.三角形B.线段C.矩形D.正方形

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】根据平行投影的性质：

将长方形硬纸板立起与阳光的投影并行放置时，形成的影子为线段；

将长方形硬纸板面对阳光的投影放置时，形成的影子可能为矩形，正方形或平行四边形；

由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，故得到的投影不可能是三角形.

故选：A.

H.已知二次函数）=£+（1—加）%+1,当％>1时，y随x的增大而增大，则机的取值范围是（）

A.m=-\B.m=3C.m<3D.m>—\

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数解析式可知，抛物线开口方向向上，在对称轴的右侧）'随x的增大而增大，利用二次函

数的对称轴不大于1列出不等式求解.

\—mm—1

【详解】解：•.•函数的对称轴为x=----------=——,

22

又a=1>0,

二次函数开口向上，

在对称轴的右侧y随x的增大而增大.

时，>随x的增大而增大，

二三1,

2

m<3.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记二次函数的性质并列出不等式

是解题的关键.

12.如图，在AABC中，点/为AABC的内心，点。在边上，且〃）_LBC，若NA3C=50°,NC=58°,

则NA/£）的度数为（）

A.176°B.174°C.172°D.170°

【答案】A

【解析】

【分析】&48c中，点/为的内心，可求出NC47的度数，根据四边形4OC的内角和即可得出

结论.

【详解】解：在“IBC中，ZABC=50°,NC=58°

•••Zfi4C=18（）°-50°-58°=72°

点/为&48C内心，

ZCAI=ZBAI——NB4C=36°

2

•••四边形AIDC的内角和180。x（4—2）=360。，且/D_LBC

ZAID^360ZC-A1DC-NC4Z=360。-58。-90°-36°=176°

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形内心的定义及多边形的内角和，牢固掌握相关概念是解题的关键.

13.如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体体积是（）

主视图左视图俯视图

A.18cm3B.20cm3C.（18+2V3jcm3D.3AAem

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图可知这个几何体是正三棱柱，根据勾股定理求得正三角形的高，进而求得底面面积，根

据主视图得出高为3cm,即可求得体积.

【详解】解：根据题意得：正三角形的高为：在二F=6cm；

这个几何体体积是」X2XgX3=3辰0?,

2

故选：D.

【点睛】考查了由三视图确定几何体和求几何体的体积等相关知识，根据三视图求得底面面积是解题的关

键.

14.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如

果不考虑空气阻力，小球的飞行高度〃（单位：加）与飞行时间/（单位：s）之间具有函数关系

〃=20/-5/.下列叙述正确的是（）

A.小球的飞行高度只有在3s时达到15mB.小球的飞行高度可以达到40m

C.小球从飞出到落地要用时5sD,小球飞出1.2s时的飞行高度为16.8m

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用〃=15以及结合配方法求出二次函数最值,根据二次函数的性质分别分析得出答案.

【详解】A、当h=15时，15=20f-5f2,

解得：%=1，=3,

故小球的飞行高度在1S或3s时能达到15m,故此选项错误；

B、h=20/-5/2=-5（?-2）2+20,

故f=2时，小球的飞行高度最大为：20m,故此选项错误；

C、•••〃=（）时，0=20”5产,

解得：4=0,G=4,

，小球从飞出到落地要用时4s,故此选项错误；

D、当，=1.2时，0=20x1.2—5x1.2z=16.8，

故小球飞出1.2s时的飞行高度为16.8m,故此选项正确；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键.

15.如图，从一张腰长为60cm,顶角为120。的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCZ）,用此剪

下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）

o

cD

B

A.10cmB.15cmC.10^/3cmD.205/2cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧以＞的长；设圆锥的底面圆的半

径为r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出接下来根据圆

锥的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高.

【详解】解：过。作OEJ_AB于E,如图所示.

OA=OB=GOcm,ZAOB=120°,

ZA=ZB=30°,

/.OE=：OA=30cm,

rm.120万x3

弧CD的长=--------=20兀,

180

设圆锥的底面圆的半径为，，则2兀,=20兀,

解得片10,

，由勾股定理可得圆锥的高为：.302-102=20底cm.

故选D.

【点睛】本题考查了勾股定理，扇形的弧长公式，圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

16.如图，已知抛物线丁=%2+区+。与直线＞=》交于（1』）和（3,3）两点，现有以下结论：①Mc＞（）；②

2

b2-4c>0；③3)+c+6=0；④当1cx<3时，x2+(/>-l)x+c>0；⑤当犬+bx+c>—时，x>2,

其中正确的序号是（）

K

M

z|c）i

A.①②⑤B.@（3）@C.③④⑤D.②③⑤

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线开口向上，与>轴交于正半轴，对称轴大于0,得出a>0,c>0,b<0,即可判断

①；由抛物线丁=必+笈+。与x轴无交点，可得从一4c<0，判断②；当x=3H寸，

y=9+38+c=3,即可判断③；当l<x<3时.，二次函数值小于一次函数值，可得Y+bx+cvx来求

解④；把（1,1）和（3,3）两点代入y=V+法+。求出抛物线解析式进行得用抛物线与双曲线的交点坐标，

分第一象限内和第三象限内来求解⑤.

【详解】解：•.•抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴大于0,得出。>Qc>0力<0,

abc<0,

故①不正确；

.抛物线y=x2+fex+c与x轴无交点，

/.Z?2-4C<0>故②不正确；

当x=3时，y=9+30+c=3,

即3b+c+6=O,故③正确；

•.•当l<x<3时，二次函数值小于一次函数值，

x1+bx+c<x<

：.x2+（Z?-l）x+c<0,故④正确；

把（1，1）和（3,3）两点代入3=幺+尿+<:得

l+Z?+c=l

9+3b+c=3

解得：\b=.-3

c-3

二抛物线的解析式为y=x2—3x+3,

,2

当x=2时，y=x2-3x+3=1,y=—=1,

x

抛物线和双曲线的交点坐标为（2,1）,

2

...当V+云+c>一时，x>2,故⑤正确.

x

综上所述，正确的有③④⑤.

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，二次函数与反比例函数图象综合，注意掌握数形结

合思想的应用，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17~18小题各3分；19小题有2个空，每空2分）

17.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形''这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心

对称图形的概率是.

4

【答案】y##0.8

【解析】

【详解】解：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图

形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，

4

所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为不，

4

故答案为：y.

【点睛】本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.

18.已知函数y=-/+（m—l）x+m+1（加为常数），该函数的图像与x轴公共点的个数是.

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，令y=o,根据一元二次方程一r+（加-1）%+机+1=0的判别式A>O,即可求解.

【详解】解：根据题意，令y=0,即一f+（加—l）x+m+l=。，

V6Z=-1,b=m—l,c=〃2+l,

/.A=b2=

=m2-2m+l+4〃z+4

=trr+2m+5

=（〃2+l）~+4>0；

即方程—Y+（m-l）x+m+1=0有2个不等实数根，

・,・该函数的图像与x轴公共点的个数是2个

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，理解题意是解题的关键.

3

19.如图，在平面直角坐标系中，OA的圆心A的坐标为（-2,0）,半径为2,点P为直线y=—1X+6上

的动点，过点尸作OA的切线，切点为。，则当AP=时，切线长PQ值最小，最小值为.

【解析】

3

【分析】作直线y=--x+6,垂足为P,作QA的切线PQ,切点为。，在RtZXAPQ中，

4

PQ=[AP?-AQ27Apj，当”最小时，切线长PQ最小，证明△APC也求得

AP=BO=6,进而勾股定理即可求解.

3

【详解】解：如图，作AP，直线丁=一二％+6,垂足为p,作。A的切线PQ,切点为。，此时切线长PQ

设直线与y轴产轴分别交于3,C,

B（0,6）,C（8,0）,

：.OB=6,AC=10,

BC=yJOB2+OC2=1（）,

AC=BC,

在与/oc中,

ZAPC=NBOC=90

<NACB=ZBCO

AC=BC,

：.AAPC之WOC,

AP-OB—6,

PQ=y]AP2-AQ2=>/62-22=472.

故答案为：6,472.

【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出AP,3c时，PQ

最小是解题的关键.

三、解答题(本大题有7个小题，共68分)

20.解方程:

(1)3X2+5X=-1

(2)(x—2)~=2(x—2)(x—3)

悟案】⑴寸?，“书

(2)百=2,X2=4

【解析】

【分析】(1)先化为一般形式，然后根据求根公式进行计算即可求解;

(2)根据因式分解法解一元二次方程即可求解.

【小问1详解】

解：312+5]=-1，

3x2+5x+1=0，

・・。=3/=5,c=1,△=/??-4ac=25-12=13，

.-b±\Jb2-4ac-5±y/l3

••x=------------------=------------,

2a6

解得：百=5e_5+拒;

66

【小问2详解】

解：(X-2)2=2(X-2)(X-3),

(X-2)2-2(X-2)(X-3)=0,

/.(x—2)(x—2—2x+6)=0,

即(%—2)(%—4)=(),

x—2=0,x—4=0,

解得：尤1=2,%=4.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

2

21.已知一纸箱中放有大小均匀的x只白球和y只黄球，从箱中随机地取出一只白球的概率是彳.

1.写出y与x的函数关系式；

2.当x=10时•，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P.

x23

【答案】21.由题意得——=-…1分即5x=2y+2xy=—x

y+x52

3

22.由(1)知当x=10时，y=—x10=15

15_15

；•取得黄球的概率产=2

W+20+15-453

【解析】

工2q

【详解】解：(1)依题意，得：------=-整理得：y=-x

x+y5z2

3315151

(2)当x・10时，7=^=±xw=15所以：P=—5-

2210+15+20453

22.一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点8出发，沿表面爬到CD的中点E，

请你求出这条线路的最短路径.

【答案】J/+9

【解析】

【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解.

【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，

:底面直径为2，

BC=—71X2=71,

2

,/AB=CD=6,

：.CE=-CD=3,

2

在RSBCE中，BE7BC、CE271tl+9,

即这条线路的最短路径为J/+9.

【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键.

23.在一节数学活动课上，王老师将本班学生身高数据(精确到I厘米)出示给大家，要求同学们各自独立

绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图1所示，乙绘制的如图2所示，经王老师批改，甲绘制的图是正确

(1)写出乙同学在数据整理或绘图过程中的错误(写出一个即可).

(2)甲同学在整理数据后若用扇形统计图表示，则154.5~159.5这一部分所对应的扇形圆心角的度数为

(3)假设身高在169.5〜174.5范围的5名同学中，有3名女同学，班主任老师想在这5名同学中选出2

名同学作为本班的正、副旗手，用列表法求恰好选中都是女生的概率.

【答案】(1)乙在整理数据时漏了一个数据，它在169.5~174.5内；(答案不唯一)

(2)90°

【解析】

【分析】(1)对比图①与图②，找出图②中与图①不相同的地方；

(2)则154.5~159.5这一部分的人数占全班人数的比乘以360°；

(3)根据列表法求概率.

【小问1详解】

解：对比甲乙的直方图可得：乙在整理数据时漏了一个数据，它在169.5〜174.5内；(答案不唯一)

【小问2详解】

解：根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数；

将甲的数据相加可得10+15+20+10+5=60；

由题意可知154.5〜159.5这一部分所对应的人数为15人，

所以这一部分所对应的扇形圆心角的度数为—x360=90°,

60

故答案为90°；

【小问3详解】

男1男2女1女2女3

男1男1男2男1女1男1女2男1女3

男2男2男1男2女1男2女2男2女3

女1女1男1女1男2女1女2女1女3

女2女2男1女2男2女2女1女2女3

女3女3男I女3男2女3女1女3女2

共有20中等可能结果，恰好选中都是女生的有6种情形，

.•.恰好选中都是女生的概率为色=—

2010

【点睛】本题考查了频数直方图，求扇形统计图圆心角的度数，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关

键.

24.“梦想书店”在销售一种畅销书进货价为20元/本时，以30元/本售出，每天能售出80本.调查表明：

这种书的售价每上涨1元/本，其销售量就将减少2本.物价局规定该商品的售价不能超过40元/本，该书店

为了获得最大的利润，应将该本书售价定为多少？最大利润是多少？

【答案】应将该本书售价定为40元，最大利润是1200元.

【解析】

【分析】设该本书售价为x元，利润为y元，根据题意列出y关于x的二次函数关系式，然后根据二次函数

的性质求解即可.

【详解】解：设该本书售价为x元，利润为y元，

由题意得：y=(%-20)[80-2(x-30)]=-2x2+180x-2800,

...当xW45时，y随x的增大而增大，

又“440，

.•.当x=40时，y取最大值，此时y=—2x402+180x40—2800=1200,

答：应将该本书售价定为40元，最大利润是1200元.

【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，列出二次函数关系式.

25.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。分别交线段8C,AC于点O,E，过点。作OE

1-AC,垂足为尸，线段FZ），A6的延长线相交于点G.

（1）求证：DF是OO切线；

（2）若CF=2,DE=26，求图中阴影部分的面积.

O

【答案】（1）见解析（2）8g——7i

3

【解析】

【分析】（1）连接A。、OD,由A3为直径可得出点。为8C的中点，由此得出。。为的中位

线，再根据中位线的性质即可得出0£＞，。尸，从而证出。尸是。。的切线；

（2）CF=2,DF=26通过解直角三角形得出CD=4、NC=60。，从而得出AABC为等边三角

形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积.

【小问1详解】

证明：连接A。、OD,如图所示.

♦.•AB为直径，

.♦./AZ）8=90°，

:.AD±BC,•.•AC=A8,

..・点。为线段3C的中点.

•••点。为A8的中点，

.•.0D为AB4c的中位线,

OD//AC,

-.-DF1AC,

：.OD1DF,

.•.£尸是。。的切线.

.•.NC=60。,

,/AC=AB，

.•.△ABC为等边三角形，

・・・点。为线段5。的中点.

AB=8.

\-OD//AC,

:.NDOG=NBAC=^,

OG=0。♦tanZDOG=473,

s阴影=s400G-s扇形080

2

=~DGOD-兀xOB

2360

=Sy/3--Tt

3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关

键是证出0。，/利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积.

26.综合与探究

如图，抛物线y=12+bx+c与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，0A=2,。。=6,连接AC和8c.

Vy

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。在抛物线的对称轴上，当△ACQ的周长最小时，点。的坐标为.

(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和8E.求aBCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)若点M是)，轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴尸/-X-6；⑵(：，-5)；(3)点E坐标为(一3，-2二1)时，ABCE面积最大，最大值

224

27