2024-2025学年高一升高二数学开学分班选拔考试卷新人教A版必修第二册

高一上升二开学分班选拔考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）留意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：必修其次册5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图所示，在直角坐标系中，已知，对于随意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】是的中位线，．故选：B．2．若复数满意，则下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．的共轭复数为C．对应的点在其次象限 D．【答案】C【解析】对于A，复数的虚部为，故A不正确；对于B，复数的共轭复数为，故B不正确；对于C，复数对应的点为，所以复数对应的点在其次象限，故C正确；对于D，，故D不正确．故选：C．3．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人依据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方差为2；可以推断肯定没有出现6点的描述共有（

）A．1人 B．2人 C．3人 D．4人【答案】B【解析】②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为{1，m，3，n，4}、{2，m，3，n，5}、{3，3，3，m，6}，故可能出现6；③中位数为1，平均数为2，则数据从小到大为{1，1，1，m，n}，即，故可能出现6；④平均数为3，方差为2，则满意要求且含6的数据从小到大为{a，b，c，d，6}，故且、，明显不能同时满意，故肯定没有6．综上，①④肯定没有6．故选：B4．笼子中有1只鸡和2只兔子，从中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出．假如将2只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是其次只被取出的动物的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】则从笼中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出，共有如下6种不同的取法：（a，H，h），（a，h，H），（H，a，h），（H，h，a），（h，a，H），（h，H，a），其中“长耳朵”H恰好是其次只被取出的动物包含2种不同的取法．则“长耳朵”恰好是其次只被取出的动物的概率．故选：A．5．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，，，则C．若，，，则 D．若，，，，则【答案】B【解析】对于B，若，，，，依据面面垂直的性质定理可知，故B正确；对于C，若，，，则m，n可能平行也可能异面，故C错误；对于D，若，，，，由于不能确定m，n是否相交，故不能确定，故D错误，故选：B6．在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，依据余弦定理得，得或，所以或，故选：C．7．在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】在中，由正弦定理得：所以，所以．故当，即时，取得最大值.故选：D8．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（

）A．该八面体的体积为B．该八面体的外接球的表面积为C．到平面的距离为D．与所成角为【答案】D【解析】对于A，连接交于点，连接，易得过点，且平面，又，则，则该八面体的体积为，A错误；对于B，因为，则点即为该八面体的外接球的球心，则外接球半径，则外接球的表面积为，B错误；对于C，取中点，连接，易得，，，，平面，则平面，过作交延长线于，平面，则，又，平面，故平面，，则，即到平面的距离为，C错误；对于D，易得，则或其补角即为与所成角，又，则与所成角为，D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某学校为了了解学生一周内在生活方面的支出状况，从全校学生中随机抽取n名学生进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（

）A．样本中数据的中位数小于41B．样本中支出不少于40元的人数为132C．全校学生支出的众数约为45元D．若该校有2000名学生，则约有600人的支出在[50，60]内【答案】BCD【解析】在B中，样本中支出在内的频率为，样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；在C中，由频率分布直方图得样本中学生支出的众数约为（元），所以全校学生支出的众数约为45元，故C正确；在D中，若该校有2000名学生，则约有2000×0．3=600人的支出在内，故D正确．故选：BCD．10．在下列关于概率的命题中，正确的有（

）A．若事务A，B满意，则A，B为对立事务B．若事务A与B是互斥事务，则A与也是互斥事务C．若事务A与B是相互独立事务，则A与也是相互独立事务D．若事务A，B满意，，，则A，B相互独立【答案】CD【解析】对于B：由互斥事务的定义可知，事务A、B互斥，但是A与也是互斥事务不成立．故B错误；对于C：由相互独立事务的性质可知：若事务A与B是相互独立事务，则A与也是相互独立事务．故C正确；对于D：因为事务A，B满意，，，所以，所以A，B相互独立．故选：CD11．已知向量则下列结论正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为 D．若的夹角为锐角，则【答案】BC【解析】对于B：若，则，解得，B正确．对于C：因为所以所以，故C正确．对于D：若的夹角为锐角，则解得故D不正确．故选：BC12．已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（

）A．平面B．与EH所成的角的大小为45°C．平面D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为【答案】ABD【解析】对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确；对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，依据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：．所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确．故选：ABD．第ⅠⅠ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，若不是实数，则实数满意_________．【答案】【解析】因为不是实数，所以，得，故答案为：14．水平放置的平行四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示．此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形的面积为___________．【答案】【解析】平行四边形，，所以原平行四边形的面积为．故答案为：15．“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，实行三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌事先打探到齐王第一场竞赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，实行了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________．【答案】【解析】全部竞赛的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共种．若齐王第一场竞赛派上等马，则第一场竞赛田忌必输，此时他应先派下等马参与．就会出现两种竞赛方式：、、和、、，其中田忌能获胜的为、、，故此时田忌获胜的概率最大为．故答案为：．16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．【答案】【解析】所以，又因为：，所以，由正弦定理有：，而，又因为为钝角三角形，不妨设，则，则，所以，所以外接圆的半径．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．17．（10分）2024年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午实行，为普及航天学问，某校开展了“航天学问竞赛”活动，现从参与该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成果（满分100分），其中成果不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）若该中学参与这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；（2）估计参与这次竞赛的学生成果的80%分位数；（3）若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成果不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成果在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？【解析】（1）由频率分布直方图可知，成果在[80，100]内的频率为0．020×10+0．010×10=0．3，则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为2000×0．3=600人．（2）由频率分布直方图可知，成果在[40，50）内的频率为0．005×10=0．05，成果在[50，60）内的频率为0．015×10=0．15，成果在[60，70）内的频率为0．020×10=0．2，成果在[70，80）内的频率为0．030×10=0．3，成果在[80，90）内的频率为0．020×10=0．2，所以成果在80分以下的学生所占的比例为70%，成果在90分以下的学生所占的比例为90%，所以成果的80%分位数肯定在[80，90）内，而，因此估计参与这次竞赛的学生成果的80%分位数约为85．（3）因为，，，所以从成果在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人．18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）求的面积．【解析】（1）∵，∴．又，∴．

（2），又（1）知，，∴．19．（12分）已知是不共线的两个向量，且．（1）若且三点共线，求的值；（2）若①求证：．②是否存在不等于0的实数和，使得向量，且？假如存在，试确定和的关系；假如不存在，请说明理由．【解析】（1）因为是不共线的两个向量，又，三点共线，所以，且，所以，即的值为；（2）①∵，∴，又，∴，，；②因为向量，且，∴，又，∴，存在不等于0的实数和，使得，此时．20．（12分）如图，四棱锥－中，为正方形，为中点，平面⊥平面，，．（1）证明：//平面；（2）证明：；（3）求三棱锥－的体积．【解析】（1）连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又为的中点，所以//，又因为平面，平面，所以//平面．（2）（2）因为四边形为正方形，所以⊥，

又因为平面⊥平面，平面平面=，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥．（3）取中点，连接，因为，所以⊥，又因为平面⊥平面，平面平面=，平面，所以⊥平面，由得，记点到平面的距离为，因为为的中点，所以，所以21．（12分）十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡颈项”技术，该企业运用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表：性能指标值k等级ABCDE为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，若以组距为5画频率分布直方图时，发觉Y（设“”）满意：，，．（1）试确定n的全部取值，并求a；（2）从样本性能指标值不小于85的产品中采纳分层随机抽样的方法抽取5件产品，求样本中A等级产品与B等级产品的件数．然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率．【解析】（1）依据题意，，按组距为5可分成6个区间，分别是，，，，，，因为，且，，所以n的取值集合为．每个小区间对应的频率值为．所以，解得．（2）A等级产品的频率为．B等级产品的频率为，所以A等级产品和B等级产品的频率之比为，所以从样本性能指标值不小于85的产品中采纳分层随机抽样的方法抽取5件产品，A等级产品的件数为4，分别记为，，，，B等级产品的件数为1，记为b．从这5件产品中随意抽取2件产品，全部的可能状况有，，，，，，，，，，共10种．事务“抽取的2件产品都是A等级”包含的可能状况有，，，，，，共6种，故所求概率为．22．（12分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的