河南省信阳市2024-2025学年高一数学上学期期末教学质量检测试题含解析

河南省信阳市2024-2025学年高一数学上学期期末教学质量检测试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解集合A，B再求并集即可．【详解】由已知得，所以，又因，所以．故选：D.2.已知点在幂函数的图象上，则的表达式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设幂函数为，把点代入幂函数求出即可.【详解】设幂函数为，把点代入解析式得，解得所以幂函数为.故选C【点睛】本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题.3.方程的解是（）A.32 B.16 C.8 D.4【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，利用对数函数的性质求解作答.【详解】因为，则，所以，即，经检验符合题意，所以方程的解是16.故选：B4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对的圆心角的弧度数为A B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】如图所示，△ABC是半径为r的⊙O的内接正三角形，可得BC＝2CD＝2rsinr，设圆弧所对圆心角的弧度数为α，可得rα，即可得出．【详解】如图所示，△ABC是半径为r的⊙O的内接正三角形，则BC＝2CD＝2rsinr，设圆弧所对圆心角的弧度数为α，则rαr，解得α．故选A．【点睛】本题考查了圆的内接正三角形的性质、弧长公式、直角三角形的边角关系，属于基础题．5.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据偶次根式下不小于0，分式的分母不为0列出不等式组，解出即可.【详解】要使函数有意义，需满意，解得且，即函数的定义域为，故选：A.6.已知定义域为的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据奇偶性将不等式化为，探讨的范围再利用的单调性可求.【详解】因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，且，所以，且在也单调递减，，则由，可得，当时，，解得，即，当时，，解得，此时无解，当时，，解得，此时无解，综上，不等式的解集为.故选：A.7.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可得答案.【详解】因为，由诱导公式可得.故选：A.8.定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用基本不等式得到，比较与的大小即可求出h的最大值【详解】∵a，b均为正实数∴，当且仅当，即时，等号成立∵当即时，，故，当时，综上所述，的最大值为故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”的否定是“，或”C.设x，，则“且”是“”的必要不充分条件D.命题“，”的否定是真命题【答案】ABD【解析】【分析】依据充分、必要性定义推断A、C；写出含量词命题的否定并确定真假推断B、D.【详解】A：由，而不肯定有，即“”是“”的充分不必要条件，正确；B：“，”的否定是“，或”，正确；C：由且，则，而存在，满意要求，即“且”是“”的充分不必要条件，错误；D：“，”的否定是“，”，为真命题，正确；故选：ABD10.已知实数，则下列结论肯定正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用举实例推断A选项，利用不等式的基本性质推断B选项，利用作差法比较大小推断C，D选项．【详解】解：因为，所以选项A，当，，时，则，故A错误；选项B，由于，所以，则，故B正确；选项C，因为，所以，则，则，故C正确；选项D，，，，，故D正确.故选：BCD．11.（多选）定义：角与都是随意角，若满意，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用诱导公式可得，即可得到，再结合定义及诱导公式一一推断即可；【详解】解：∵，∴，．若，则．对于A，可能成立，角可能与角“广义互余”，故A符合条件；对于B，，故B不符合条件；对于C，，即，又，故，即C符合条件；对于D，，∴，故D符合条件．故选：ACD．12.若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（）A.为偶函数 B.C. D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】依据题意可得关于与对称，再依据对称性满意的等式化简，逐个选项推断即可【详解】对A，因为函数为偶函数，故，故关于对称.又为奇函数，关于原点对称，故关于对称.综上，关于与对称.关于对称有，关于对称有，，故，即，所以为偶函数，故A正确；对B，由A，因为，，故B错误；对C，由A，，故C正确；对D，当时，，故，故D正确；故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，，若，则实数______．【答案】1【解析】【分析】由题得，解出值检验即可.【详解】由题知,若,则或,当时,方程无解;当时,,解得:,此时,,符合题意,所以.故答案为：1.14.函数的单调递增区间为_______.【答案】【解析】【分析】先由，求得函数的定义域，然后令，由复合函数的单调性求解.【详解】由，解得或，所以函数定义域为或，因为在上递减，在递减，所以函数的单调递增区间为.故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y＝f[g(x)]，先求定义域，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．15.已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：116.函数最大值为_____.【答案】3【解析】【分析】利用同角平方和关系得，结合的范围和二次函数的最值即可得到答案.【详解】，，所以当时，的最大值为3.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求值：（1）（2）已知，求的值【答案】（1）0；（2）【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质及对数的运算性质可求解；（2）由诱导公式即同角三角函数关系可求解.【详解】（1）原式；（2）原式.18.设全集，集合.（1）求；（2）设为实数，集合.若“”是“”的充分条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合中元素范围，进而依据补集和交集的概念计算即可；（2）依据充分性可得集合间的包含关系，依据包含关系可得的取值范围.【小问1详解】由题意，则，；【小问2详解】由“”是“”的充分条件，可知，即则，实数的取值范围是.19.已知且．（1）求的最大值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用基本不等式求的最大值；（2）首先构造，再利用基本不等式求最值.【详解】（1）当且仅当时，等号成立．的最大值是（2）当且仅当即时，等号成立．的最大值是【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方20.2024年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2024年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热忱，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售状况进行调查发觉：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满意（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：x10202530110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．（1）求k的值；（2）给出两种函数模型：①，②，请你依据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．【答案】（1）（2）选择②，，（，）（3）121元【解析】【分析】（1）依据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的改变可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；（3）探讨去掉肯定值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.【小问1详解】因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；【小问2详解】由表中数据可得，当时间改变时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:代入数据可得：，解得，，所以，（，）【小问3详解】由（2）可得，，所以，，所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有最小值，且为121；当，时，为单调递减函数，所以当时，有最小值，且为124，综上，当时，有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．21.已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）推断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对随意的x[1,2]，不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）a=1；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）依据求出a的值，再验证即得解；（2）利用定义证明函数单调递增；（3）先利用函数的性质得到，再利用对勾函数的性质分析求解.【详解】（1）因为函数的定义域为R,所以.经检验当a=1时，有,所以.（2），函数在定义域内单调递增，证明如下：设，所以，因为，所以，所以函数在R上单调递增.（3）若对随意的x[1,2]，成立，所以，所以，所以.所以当且仅当时取等.所以.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的证明，考查对勾函数，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.22.已知函数（m∈R）．（1）若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；（2）对随意，都有，求m的取值范围．【答案】（1）m＝4，；（2）.【解析】【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令