专题06 二次函数的图象与性质-九年级数学上册（解析版）

专题06二次函数的图象与性质考点1：二次函数的图象；考点2：二次函数的增减性；考点3：二次函数的相关结论。题型01二次函数的图象题型01二次函数的图象1．函数y=1A．B．C．D．解：由函数y=1x2可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y答案：A．2．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x=−b故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x=−b故C选项符合题意，答案：C．3．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线不经过点（C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线不经过点（D、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线不经过点（答案：A．4．（易错题）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．解：y=ax2+bxy=ax+b解得故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（−ba，0）或点（1，a+在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，−ba＜0，a+b在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；答案：D．5．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是﹣3＜x＜1．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．答案：﹣3＜x＜1．6．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是﹣2＜x＜1．解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，答案：﹣2＜x＜1．7．小明为了通过描点法作出函数y＝x2﹣x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x7﹣x6＝d，再分别算出对应的y值，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7m1＝y2﹣y1，m2＝y3﹣y2，m3＝y4﹣y3，m4＝y5﹣y4，…；s1＝m2﹣m1，s2＝m3﹣m2，s3＝m4﹣m3，…（1）判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；（2）若将函数“y＝x2﹣x+1”改为“y＝ax2+bx+c（a≠0）”，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7yy1y2y3y4y5y6y7其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；（3）小明为了通过描点法作出函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出表：xx1x2x3x4x5x6x7y1050110190290412550由于小明的粗心，表中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．解：（1）s1＝s2＝s3．m1＝y2﹣y1＝3﹣1＝2，同理m2＝4，m3＝6，m4＝8．∴s1＝m2﹣m1＝4﹣2＝2，同理s2＝2，s3＝2．∴s1＝s2＝s3．（2）s1＝s2＝s3．m1＝y2﹣y1＝ax22+bx2+c﹣（ax12+bx1+c）＝d[a（x2+x1）+b]．m2＝y3﹣y2＝ax32+bx3+c﹣（ax22+bx2+c）＝d[a（x3+x2）+b]．同理m3＝d[a（x4+x3）+b]．m4＝d[a（x5+x4）+b]．s1＝m2﹣m1＝d[a（x3+x2）+b]﹣d[a（x2+x1）+b]＝2ad2．同理s2＝2ad2．s3＝2ad2．∴s1＝s2＝s3．（3）412．题型02二次函数的增减性题型02二次函数的增减性8．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；答案：D．9．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，答案：B．10．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，答案：D．11．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，答案：D．12．（易错题）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．答案：A．13．（易错题）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；答案：C．14．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而增大．（填“增大”或“减小”）解：∵函数y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．答案：增大．15．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而增大．解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，答案：x＜﹣1．16．函数y＝x2+mx﹣4，当x＜2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≤﹣4．解：∵x＜2时，y随x的增大而减小，∴−m∴m≤﹣4．答案：m≤﹣4．题型03二次函数的相关结论题型03二次函数的相关结论17．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．点A的坐标为（﹣4，0） C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x＝﹣2解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，∴a＞0，故A错误，∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），∴A点的坐标为（﹣3，0），故B错误，D正确，由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，答案：D．18．对于二次函数y=−14x2+A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点解：∵二次函数y=−14x2+x﹣4可化为y=−又∵a=−1∴当x＝2时，二次函数y=−14x2+答案：B．19．已知二次函数y＝ax2﹣2x+12（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随A．①② B．②③ C．② D．③④解：∵a＞0时，抛物线开口向上对称轴为x=22a=1a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x答案：B．20．已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x=−4a∴①正确；当x＝0时，y＝3，则点点（0，3）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；∴③错误；当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，∴④错误；故正确的有2个，答案：B．21．（易错题）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1．上述结论正确的是②③（填写所有正确结论的序号）．解：①当x＞2时，抛物线y1＝﹣x2+4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＞2时，M＝y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1＝﹣x2+4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＜0时，M＝y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M＝y1＝2时，有﹣x2+4x＝2，解得：x1＝2−2（舍去），x2＝2+当M＝y2＝2时，有2x＝2，解得：x＝1．∴若M＝2，则x＝1或2+2，结论④综上所述：正确的结论有②③．答案：②③．22．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中所有正确的结论是①③④．（填写正确结论的序号）解：令y＝0，则ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，解得x1＝1，x2=a−1所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（a−1a，0），故①④当a＜0时，a−1a所以，函数在x＞1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；∵x=−b2a=−y=4ac−∴y=12x即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=12x−1综上所述，正确的结论是①③④．答案：①③④．23．（易错题）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是①②③解：由特征数的