概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 张天德 第6章 参数估计

概率论与数理统计（慕课版）本章导学第6章

参数估计2案例导入从本章开始，我们将讨论数理统计的基本问题——统计推断基本问题参数估计假设检验点估计区间估计重点介绍两类：参数估计和假设检验，本章先介绍参数估计。推断。我们的任务就是依据样本对总体进行各种统计推断，3什么是参数估计？

当总体参数未知时，从总体抽出一个样本，用某种📚例如X~N(,2),📢注X——某品牌手机的待机时间

若未知,通过构造样本的函数,给出它们,2参数估计的类型点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.的估计值或取值范围就是参数估计的内容.点估计区间估计4预备知识置信区间矩估计概率论——求概率、数字特征枢轴量评价标准统计概念——统计量及抽样分布最大似然估计高等数学——极值问题请进入本章第1讲点估计学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第1讲矩估计法第6章

参数估计

点估计用它估计未知参数称为点估计.根据样本构造一个统计量称为的估计量;称为的估计值.7第一讲

矩估计法01矩估计法02典型例题本讲内容9

用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法称为矩估计法.理论依据——大数定律——生活经验：📚例X—某品牌手机的待机时间，欲估计其抽取📝替换原理🎯方法01

矩估计法估参数的方程,从而解出待估参数。10解方程组,得m

个统计量：——含未知参数

1,

2,,

m的方程组未知参数

1,,

m的矩估计量代入一组样本值得

m个数:未知参数

1,,

m的矩估计值设待估计的参数为设总体的

k

阶矩存在，记为样本X1,X2,…,Xn的k阶矩为令01

矩估计法01矩估计法02典型例题本讲内容12📚例1设X的分布列为其中是未知参数.利用总体X的样本值:3,1,3,的矩估计.0,3,1,2,3,求01

矩估计法13样本均值:为研究一批灯泡的寿命X,

随机抽取5个做寿命📚例202

典型例题试验,测得寿命值(单位:h)为105,150,125,280,250.求样本均值、样本方差、样本标准差及样本二阶中心距.样本方差:解1402

典型例题样本二阶中心矩:样本标准差:15设总体📚例302

典型例题是统计量.由于样本容量n为已知,解未知,所以已知,已知,为未知数,为来自总体X的样本,试问:下列各量哪些是统计量?(1)(2)(3)(4)16即令设总体X有数学期望和方差：📚例4X1,X2…,Xn是X的一组样本,求的矩估计.解02

典型例题17一般,不论总体服从什么分布,若总体期望

与方差

2解得存在,则它们的矩估计量分别为02

典型例题由于令📚例5解设总体X~U(a,b),a,b未知,求参数a,b

的矩估计量.1802

典型例题解得1902

典型例题20设某种钛金属制品的技术指标为X，其概率密度为其中未知参数，为来自总体X的简单随求得矩估计量.由于解得，所以参数得矩估计量为.令📚例6机样本，解02

典型例题不同的矩法可得到不同的矩估计，因此矩估计不唯一.21设总体X~U(0,θ

)，θ未知，X1,…,Xn是

X的样本，法1

上题的特例法2法4法3📚例7试求

θ

的矩估计量.02

典型例题03

统计量22解📚例8

设

是取自总体的一个样本.

在下列

(1)从随机变量数字特征的结论，易知0-1分两种情形下，试求总体参数的矩估计量.布的随机变量期望

，即未知参数p可表示称为总体一阶矩的函数

，用样本一阶矩替换

总体一阶矩，可得p的矩估计量为03

统计量23(2)

，即

，所以

的矩估计量为

.03

统计量24解📚例9

设总体,其中

未知,为取自该总体的一个样本.

的矩估计量;的矩估计量.试求:⑴

因为,故的矩估计量可定义为03

统计量25⑵

因所以:03

统计量26解📚例10设总体的密度函数为

其中

未知,(

)为取自该总体的一个样本，求

的矩估计量.因为所以

,

故

的矩估计量

.03

统计量27解📚例11设

为取自该总体的的一个样本，求的矩估计量.因而所以可由此解出故的矩估计量为03

统计量28解📚例12设总体

其余其中未知,求的矩估计量.由已知条件可求得所以

故

这一讲我们介绍了点估计的第一种方法—矩估计法.缺点是：29矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.信息.时,矩估计法会失效.当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的一般场合下,矩估计量不具有唯一性.当矩不存在第1讲

矩估计法学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第2讲最大似然估计法第6章

参数估计32我们先来看一个实例第2讲

最大似然估计法

上一讲介绍了矩估计，这一讲介绍点估计的另外一种方法—最大似然估计法，它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由数学家高斯在1821年提出的，费歇在1922年重新发现了这一方法，并研究了它的一些性质，从而得到广泛应用.33黑球白球9:1，不知哪种多？有放回抽三次，两次白球，哪种多？白球多！最大这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就——生活经验：📚例一次黑球.📝原理一次试验就出现的事件有较大的概率🎯方法是最大似然法的基本思想.第2讲

最大似然估计法01最大似然估计法02典型例题本讲内容35(1)构造似然函数似然函数似然函数设是来自X的样本,是其中一组样本值,若总体X属离散型,其分布律若总体X属连续型,其概率密度01

最大似然估计法36(2)求似然函数的最大值点挑选使达到最大的参数,作为的估计即称为参数的最大似然估计值称为参数的最大似然估计量一般,可由下式求得对数似然方程或01

最大似然估计法37未知参数可以不止一个,如

1,…,

k

似然方程组用上述方法求参数的最大似然估计值有时行不通，这时设X

的密度(或分布律)为则似然函数为解方程组求得的最大似然估计📢注1无驻点不可导📢注2要用最大似然原则来求.01

最大似然估计法01最大似然估计法02典型例题本讲内容似然函数的最大似然估计设总体X的概率密度为是总体X的一个简单样本，📚例1解是未知参数，的最大似然估计.求解得02

典型例题3940试求参数p与EX的最大似然估计.故似然函数为

如何求EX的最大似然估计？设是来自X的一个样本值，📚例2解X的分布律为：解得p的最大似然估计令02

典型例题41最大似然估计不变性

如何求E(X)的最大似然估计？p的最大似然估计因为，故EX的最大似然估计为若是的最大似然估计，则也是的最大似然估计试求参数p与E(X)

的最大似然估计.设是来自X的一个样本值，📚例202

典型例题42设总体X~N(

,

2),x1,x2,…,xn是

X的样本值，

似然方程组为📚例3求

,

2的最大似然估计.解02

典型例题43📚例4设某种元件使用寿命

X的概率密度为其中是未知参数.设是样本观测值，求的最大似然估计.解似然函数为取对数得因为，所以单调增加，而故的最大似然估计为02

典型例题44设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中（1）因为每件产品有两种可能：要么是一级品，要么📚例5（2）接着再抽5件产品都不是一级品的概率的最大似然估计.（1）p的最大似然估计；其中有3件为一级品，求：一级品率为p，如果从生产线上抽取了20件产品，发现其20件产品中有3件为一级品，相当于样本观测值中有3个为1，17个为0，故似然函数为不是一级品，所以总体X服从（0-1）分布，其分布律为解02

典型例题45取对数（2）因为一级品率为p，所以再抽5件产品都不是一级品既然20件产品中有3件为一级品，此时得到的p最大似然对p求导数解得p的最大似然估计为那么的最大似然估计为的概率应该为.估计为.02

典型例题46设某种电子器件的寿命X服从双参数的指数分布,📚例602

典型例题其概率密度为其中为未知参数.从一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验,设它们的寿命为对应的样本值依次为求（1）的最大似然估计;（2）的矩估计.47（1）似然函数为解02

典型例题48由02

典型例题有由知关于c单调增加.故的最大似然估计为（2）由的矩估计为得49📚例702

典型例题解设总体的密度函数为其中

未知,

是来自总体的一个样本.

求

的最大似然估计量.似然函数取对数似然函数为对数似然方程为解得故

的最大似然估计量为

.02

典型例题学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第3讲点估计的评价标准第6章

参数估计53在前两讲中我们介绍了两种点估计法，发现了点估应该选用哪一种估计量?这一讲我们介绍常用标准无偏性有效性一致性到的估计量可能不同，于是提出问题:计的不唯一性，用何标准来评价一个估计量的好坏?即对于同一个未知参数，不同的方法得第3讲

点估计的评价标准01无偏性02有效性03一致性（相合性）本讲内容55估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估则称为的无偏估计.设是未知参数的估计量，若.真值期望值等于未知参数的真值.这就引出无偏性这个标准.而它的我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，计值.01

无偏性56是总体X的样本，证明:不论

X服从什么分布（但期望存在），由于特别地是总体期望E(X)

的样本均值无偏估计量无偏估计量设总体X

的

k

阶矩存在，的无偏估计量.是📚例1证因而样本二阶矩是总体二阶矩的01

无偏性57设总体X的期望与方差存在，X的样本为

(1)不是D(X)的无偏估计;(2)是D(X)的无偏估计.样本中心矩样本方差是D(X)的渐进无偏估计📚例201

无偏性58📚例3设总体X的概率密度为其中是未知参数，是来自总体X的简单随机01

无偏性样本，若是的无偏估计，则常数c=____.5901

无偏性所以因为令可得事实上，是的无偏估计本讲内容01无偏性02有效性03一致性（相合性）61无偏估计以方差小者为好，这就引进了有效性的概念由于一个参数往往有不止一个无偏估计，若都是参数的大小来决定谁更优.我们可以比较和的无偏估计量，02

有效性62则称为的最小方差无偏估计.是的任一无偏估计.若设和都是参数

的则称较有效.无偏估计量，若有D()<D()02

有效性63都是

的无偏估计量最有效X~N(

,

2

),样本是推广📚例4是

的无偏估计量当时最有效中02

有效性64问哪一个最优？📚例5设某种产品的寿命X服从指数分布，其概率密度为设有的估计量其中为未知参数，是来自总体的样本02

有效性65解因为X服从指数分布，所以又故和为的无偏估计则较为有效.由于02

有效性本讲内容01无偏性02有效性03一致性（相合性）即，一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.若n

时，依概率收敛于

，

则称是参数

的一致(或相合)估计量.设

是总体参数

的估计量.📝定义03

一致性（相合性）67若样本

k阶矩是总体

k

阶矩的一致估计量

由大数定律可证明矩法得到的估计量一般为一致估计量为方便鉴别有效性，引进定理：关于一致性的常用结论🎯定理则是的一个相合估计量.设是未知参数的估计量，03

一致性（相合性）6869📚例6由大数定律可知，当时设是总体X

的样本均值，则当作为总体期望E(X)的估计量时，是E(X)的相合估计量.所以是E(X)的相合估计量.证03

一致性（相合性）70设总体，其中未知参数，是X的样本.证明是的相合估计量.📚例7解是的相合估计量.03

一致性（相合性）71

📚例8

其中

(1)

(2)03

一致性（相合性）03

统计量72解

所以(1)

03

统计量73(2)

即学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第4讲区间估计第6章

参数估计76计的这个缺陷.区间估计正好弥补了点估差范围，使用起来把握不大.未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误但是，点估计值仅仅是的一个估计值去估计未知参数.前面，我们讨论了参数的点估计.它是用样本算得第4讲

区间估计77不同样本算得的

的估计值不同，因此除了给出

的

的无偏、有效点估计为常数随机变量已知X~N(,1),📚例使其包含参数真值的概率达到指定的要求.点估计外，还希望根据所给的样本确定一个随机区间，第4讲

区间估计01置信区间定义02求置信区间的步骤03几点说明本讲内容79满足若由样本X1,X2,…Xn则称区间是的置信水平（置信度、置信概率)为的置信区间.确定的两个统计量.设

是一个待估参数，给定，01

置信区间定义本讲内容01置信区间定义02求置信区间的步骤03几点说明81选的点估计为设

X1,X2…Xn

是取自

的样本，求参数的置信水平为的置信区间.明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计寻找一个待估参数估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.已知，📚例1取解02

求置信区间的步骤82对给定的置信水平

，查正态分布表得，使为什么这样取？定一个区间，使得

U取值于该区间的概率为置信水平.对于给定的置信水平(大概率)，根据U的分布，确02

求置信区间的步骤83也可简记为于是所求的置信区间为从中解得从例题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:02

求置信区间的步骤84则就是的置信度为的置信区间.求置信区间的步骤

构造一个仅包含待估未知参数的样本函数

U

，📝1.

对给定置信度，构造📝2.将作等价变形成📝3.并且

U的分布已知（称这样的函数

U为枢轴变量）；02

求置信区间的步骤本讲内容01置信区间定义02求置信区间的步骤03几点说明86长度

尽可能短.要尽可能大.即要求估计尽量可靠.要求以很大的可能被包含在内，📝1.

估计的精度要尽可能的高.如要求区间📝2.03

几点说明置信度与精度是一对矛盾，当样本容量固定时，置信度越高，则精度越差.87处理“可靠性与精度关系”的原则:11.保证可靠性22.提高精度03

几点说明88需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也区间的长度为——达到最短特别说明对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.不是唯一的.为什么这样取？为何要取？03

几点说明89即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习在保证足够可靠的前提下，尽量使区间的长度短一些.特别说明惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.03

几点说明学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第5讲单个正态总体参数置信区间第6章

参数估计01正态总体参数的置信区间02典型例题本讲内容93(1)方差

2

已知，

的置信区间(2)方差

2

未知，

的置信区间一个正态总体X~N(

2)

的情形01

正态总体参数的置信区间94选取枢轴量📝推导01

正态总体参数的置信区间95选取得

2的置信区间为

(3）当

未知时,方差

2的置信区间01

正态总体参数的置信区间01正态总体参数的置信区间02典型例题本讲内容97某工厂生产一批滚珠,其直径

X服从正态分布

(1)若

2=0.06，求

的置信区间N(

2)，现从某天的产品中随机抽取6件，测得直径为15.1，14.8，15.2，14.9，14.6，15.1

(1)由给定数据算得由公式得

的置信区间为置信度均为0.95📚例1

(3)求方差

2的置信区间.(2)若

2未知，求

的置信区间解02

典型例题98查表

(2)若

2未知,求

的置信区间由公式得

的置信区间为02

典型例题99由公式得

2的置信区间为查表得

(3)求方差

2的置信区间.02

典型例题100因为

2已知，所以

的置信度为1-

的置信区间为某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直📚例2解径X(mm)服从正态分布，现从某天的产品中的置信度为0.95的置信区间。随机抽取40件,测得直径的样本均值为5.426(mm)，求m

由题意，，查表得将上述数据代入公式，则的置信度为0.95的置信区间为02

典型例题101为估计某种汉堡的脂肪含量，随机抽取了10个这种汉堡，📚例3肪含量

的置信度为0.95的置信区间。假设该种汉堡的脂肪含量(%)服从正态分布，求平均脂25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，测得脂肪含量(%)如下：19.5.02

典型例题102因为

2未知，所以

的置信区间为解由题意n=10，α=0.05，查表得上述数据代入公式，则

得置信度为0.95得置信区间为经过计算，样本均值为，样本标准差为s=4.134.02

典型例题103由于

未知，则

2的置信度为1-

的置信区间为进而得到

的置信度为1-

的置信区间为📚例4已知某种铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任意抽取了10根，测得折断力数据如下：（单位：kg）求σ2和σ的置信度为0.9的置信区间.578，572，570，568，572，570，570，596，584，572解02

典型例题104经过计算，样本方差s2=75.73，由n=10，α=0.1，查表得代入公式即得

2的置信度为0.9的置信区间为进而得到

的置信度为0.9的置信区间为02

典型例题105📚例5已知某种材料的抗压强度现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据:（1）求平均抗压强度μ的点估计值;482,493,457,471,510,446,435,418,394,469解02

典型例题（2）求平均抗压强度μ的置信水平为95%的置信区间;（3）若已知

=30,求μ的置信水平为95%的置信区间.（1）所求平均抗压强度μ的点估计值为106于是所求置信区间为02

典型例题由题意

2

未知,（2）10702

典型例题（3）若已知

=30,

则所求的置信水平为分位点与本书不一致，应为108📚例6设总体解02

典型例题取多大时方能保证μ的置信水平为95%的置信区间的长度设样本容量为n,则μ的置信水平为95%的置信区间为如果

2已知,问样本容量n不大于L？区间长度为由解得分位点与本书不一致，应为109📚例7设随机地取某种炮弹9发做试验,炮口速度的样本解02

典型例题标准差s=11m/s,已知炮口速度服从正态分布,求这种炮弹依题意样本容量n=9,样本标准差s=11,α=0.05.又的炮口速度的标准差

的置信水平为0.95的置信区间.于是所求置信区间为11002

典型例题111📚例8解02

典型例题某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为未知，方差长期以来稳定在0.4.现随机抽取五天的利润率得到数据为：-0.2,0.1,0.8,-0.6,0.9,求

的双侧置信水平为0.95的双侧置信区间.

由题意知,计算并查表得故期望的双侧0.95置信区间为

分位点与本书不一致，应为112📚例9解02

典型例题为了解灯泡使用时数的均值

及标准差

，测量10个灯泡，得

小时，

小时，如果灯泡的使用时数服从正态分布，求

的双侧95%的置信区间.

是

的无偏估计，又

未知，故有

的

双侧置信区间为分位点与本书不一致，应为11302

典型例题由样本观测值及查附录得：故

的双侧0.95置信区间的观测值为114这一讲，我们主要讨论了总体分布为正态的情形.定理，也可以近似求得参数的区间估计.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限第五讲

单个正态总体参数的置信区间学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第6讲两个正态总体参数置信区间第6章

参数估计01两个正态总体的情形02两个正态总体参数的置信区间03*6.2.3单侧置信区间本讲内容118设有两个独立的正态总体:它们的样本均值和方差为估什么？每个总体抽取一组样本:和01

两个正态总体的情形01两个正态总体的情形02两个正态总体参数的置信区间03*6.2.3单侧置信区间本讲内容120(1)已知，

的置信区间02

两个正态总体参数的置信区间121(2）

未知，的置信区间02

两个正态总体参数的置信区间12202

两个正态总体参数的置信区间123(3)方差比

的置信区间(

1,

2

未知)02

两个正态总体参数的置信区间

某厂利用两条自动化流水线罐装辣椒酱.现分别从与已知假设两条流水线上罐装的辣椒酱的重量都服从正态分布，(1)求它们的方差比的置信度为

0.95的置信区间；(2)若它们的方差相同，，求均值差的置信度为

0.95的置信区间；📚例1两条流水线上抽取了容量分别为13与17的相互独立的样本其均值分别为

1与

2.02

两个正态总体参数的置信区间124由公式得方差比的置信区间为解(1)02

两个正态总体参数的置信区间125由公式的置信区间为(2)查表得02

两个正态总体参数的置信区间12601两个正态总体的情形02两个正态总体参数的置信区间03*6.2.3单侧置信区间本讲内容128的置信区间双侧置信区间但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，置信区间的概念.这就引出了单侧们关心的是甲醛含量均值的“上限”.又如，在购买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我平均寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限”；03*6.2.3单侧置信区间129单侧置信区间定义设是一个待估参数，给定，满足若存在统计量则称是

的置信度为

的单侧置信区间.称为单侧置信下限.03*6.2.3单侧置信区间130设是一个待估参数，给定，则称是

的置信度为

的单侧置信区间.满足若存在统计量称为单侧置信上限.03*6.2.3单侧置信区间131求单侧置信区间的方法求参数

的置信度为的单侧置信下限.设X1,X2…Xn是取自

的样本，已知，📚例2解取03*6.2.3单侧置信区间132其中的换成，就可以得到单侧置信上限或下限.

在前面的讨论中，我们已经给出了正态总体参数的双侧置信区间公式，实际上，只要取相应的上侧或下侧，将03*6.2.3单侧置信区间方差

2未知，

的双侧置信区间133求剪力强度平均值的置信度为0.95的单侧置信下限.经过变换，可得单侧置信下限为已知某种建筑材料的剪力强度

X服从正态分布，对该种材料做了46次剪力测试，测得📚例3解03*6.2.3单侧置信区间03

统计量134

📚例403

统计量135解按实际情况，可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的.

又因由假设两总体的方差相等,但数值未知.由于即故所求的𝜇1−𝜇2的一个置信水平为0.95的置信区间为1−𝛼=0.95,𝛼/2=0.025,𝑛1=10,𝑛2=20,𝑛1+𝑛2−2=28𝑡0.025(28)=2.0484.𝑠𝜔^2=(9×(1.10)^2+19×(1.20)^2)/28𝑠𝜔=1.168803

统计量136📚例5

𝜇1𝜇2的置信水平为0.95的置信区间.03

统计量137解现在所以置信区间为即03

统计量138📚例6

03

统计量139解即现在𝑛1=18,𝑠12=0.34，𝑛2=13，𝑠22=0.29，𝛼=0.10𝐹(𝛼/2)(𝑛1−1,𝑛2−1)=𝐹0.05(17,12)=2.59,𝐹(1−𝛼/2)(17,12)=F0.95(17,12)=1/(𝐹0.05(12,17))=于是得𝜎12/𝜎22的置信水平为0.90的置信区间为140这一讲，我们主要讨论了总体分布为正态的情形.若样可以近似求得参数的区间估计.本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，也第六讲

两个正态总体参数的置信区间学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）本章小结第6章

参数估计01知识点归纳02教学要求和学习建议本讲内容144参数估计点估计最大似然估计矩估计单个正态总体下的区间估计两个正态总体下的区间估计区间估计点估计的评价标准有效性无偏性相合性01

知识点归纳01知识点归纳02教学要求和学习建议本讲内容146掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.📝2.了解估计量的无偏性、有效性和相合性(一致性)📝3.理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值📝4.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.📝1.的概念，并会验证估计量的无偏性.比的置信区间.和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差02

教学要求和学习建议147参数估计点估计最大似然估计矩估计单个正态总体下的区间估计两个正态总体下的区间估计区间估计点估计的评价标准有效性无偏性相合性考研重点会求参数的点估计、区间估计会判断估计量的无偏性记忆为主02

教学要求和学习建议学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）习题课第6章

参数估计📚例1150解

设总体X的分布律为X123

其中

为未知参数未知，

是取自X的样本，

1，2，1是对应的样本值，求参数

的矩估计值和最大似然估计值.，

（1）151令

，即

，解方程可得

的矩估计量代入样本值得

，所以

的矩估计值为

，（2）对于样本值（1，2，1），似然函数为：，152🎯方法归纳对数似然函数：.对数似然方程：

，解得

的最大似然估计值为.本题是离散型总体矩估计和最大似然估计的常见题型，其特点是分布律列表给出，在进行最大似然估计时，然函数是样本取得该组样本观测值的概率.似📚例2153解

设总体分布律为其中

为未知参数.对应的样本值，求p的矩估计量和最大似然估计量.是取自总体X的一个样本，是

易知总体均值,令

，可得矩估计量（1）154（2）似然函数为对数似然函数：，，对数似然方程：解得

，因此p的最大似然估计量为.155🎯方法归纳本题是离散型总体矩估计和最大似然估计的常见题型，其特点是分布律用通项公式给出，在进行最大似然估计时，似然函数为分布律的连乘积.📚例3156解设总体为样本

，

则

的矩估计量.，由于一阶矩不含未知参数

，因此，进一步考虑二阶矩.因此157🎯方法归纳令，有，其中本题为矩估计问题，虽然仅有一个未知参数，但总体的一阶矩不含未知参数，因此需要用到二阶矩.📚例4158解设某原件的使用寿命T的分布函数为

其中

为未知参数且大于零.任取n个这种原件做寿命试验，测得她们的寿命分别为，若m已知，求

的最大似然估计值.T的概率密度为159似然函数为对数似然函数，对数似然方程，因此

的最大似然估计值为，160🎯方法归纳本题是连续型总体求解最大似然估计的典型题目，但题目没有直接给出总体的概率密度函数的形式，需要根据分布函数和概率密度函数的关系，概率密度函数.首先求出总体的161解📚例5

观测值,似然函数总体X的概率密度为162🎯方法归纳

要大于所有的本题的特点是总体概率密度函数的定义区间也含有未知参数，因此不能通过对参数求导的方式求出未知参数的值应尽可能小.另一方面，由于

即

最大似然估计，需要通过分析似然函数的性质进行求解.📚例6163解设总体是取自总体X的样本，已知参数

的最大似然估计量为，求的最大似然估计量.由定理6.1，🎯方法归纳若本题用到最大似然估计的不变性.为参数的最大似然估计，最大似然估计.为参数的函数，则是的📚例7164解

设总体X的分布含有未知参数，为来自X的样本，已知为的无偏估计，求k.由题意，165🎯方法归纳无偏性是点估计的重要内容，本题首先需要用期望的运算性质，和个体与总体同分布的性质，进而利用无偏性的条件确定未知参数.📚例8是来自总体X的样本，设总体X的概率密度为166解（1）验证了θ的最大似然估计量是（2）证明是的