第23练 必修第二册综合训练（解析版）

第23练必修第二册综合训练

一、单选题

1.(2022•福建省长汀县第一中学高一阶段练习)已知i为虚数单位，若复数

z=l-后,则恸=()

A.&B,2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用模长公式求出复数的模长.

【详解】

|z|=J1+3=2.

故选：B

2.(2022•江苏省扬中高级中学高一阶段练习)己知平面向量

a=(l,2),b=(-2,m+^,a//b,则%+3B=()

A.(-5,-10)B.(T,一8)

C.(-3,-6)D.(-2,T)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量平行列方程，化简求得加的值，从而求得2£+3几

【详解】

依题意a=(l,2),B=(-2,m+l),a//B,

所以lx(m+l)=—2x2,wi=—5,即3=(—2,-4),

所以y+3B=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).

故选：B

3.(2021.湖南.宁乡市教育研究中心高一期末)在样本频率分布直方图中，共有5个小

长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的：，且中间一组的

频数为10,则这个样本的容量是().

A.20B.30C.40D.50

【答案】c

【解析】

【分析】

设出中间小长方形的面积，也即频率，根据已知条件列方程，求得中间小长方形的面

积，由此计算出样本容量.

【详解】

设中间小长方形的面积为X，则其它小长方形面积之和为3元，故x+3x=l,解得

112=40

所以样本容量为1

44

故选C.

【点睛】

本小题主要考查由频率分布直方图小长方形的面积关系计算频率，考查样本容量的计

算，属于基础题.

4.（2021•陕西•西安交通大学附属中学航天学校高一开学考试）a,夕是两个平面，

m,w是两条直线，有下列四个命题；

①如果mLa,ntIp,那么ar_L/.

②如果〃z_La,n!!a,那么

③如果a//£,小ua,那么相〃尸.

④如果加〃-alIp,那么相与a所成的角和”与尸所成的角相等.

其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；

对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；

对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；

对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④.

【详解】

对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，

不妨设A4'为直线m8为直线”，A3CD所在的平面为a,ABCD所在的平面为

P,显然这些直线和平面满足题目条件，但。，/不成立；

命题②正确，证明如下：设过直线77的某平面与平面a相交于直线/,贝!]"/"，由

加J_a知〃z_L/,从而机_!_〃，结论正确；

由平面与平面平行的定义知命题如果夕//?，那么w//p.③正确；

由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果加〃*«///?,那么，〃与a所成的角和

〃与尸所成的角相等，④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判

定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题.

5.（2022•全国•高一专题练习）已知向量。=（2,1）,二.力=10，,+4=5及，则%等于

A.75B.V10C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】

rr、2rrrr

由(za+B)=a2+2a-b+b2,结合向量模运算即可求解.

【详解】

Va=(2,1),/.a2=5.

又,+囚=50,(a+B)=a+2a-b+b=50,

•••5+2x10+32=50，g2=25'H=5'

故选：C

6.（2021.湖南•宁乡市教育研究中心高一期末）《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长

篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两

种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共

1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯

的概率为

12-13

A.-B.-C.一D.-

3344

【答案】B

【解析】

【分析】

设大灯下缀2个小灯为X个，大灯下缀4个小灯有y个，根据题意求得

x=120,y=240,再由古典概型及其概率的公式，即可求解.

【详解】

设大灯下缀2个小灯为无个，大灯下缀4个小灯有y个，

y=360

根据题意可得c\解得x=120,y=240,

[2尤+4y=1200

则灯球的总数为x+y=360个，

故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为2畿40=2故选B.

3603

【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两

种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7.（2021•重庆市万州第二高级中学高二开学考试）四面体A3CD的四个顶点都在球。

上且AB=AC=3C=3D=CD=4,AD=2指,则球。的表面积为（）

,70兀-80兀一”

A.-----B.-----C.30兀D.40兀

33

【答案】B

【解析】

【分析】

作出图形，根据题中的数据证明平面ABC,平面BCD,并找出球心的位置，列出等式

求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.

【详解】

A

取BC的中点M,连接AM、DM,设AABC和△BCD的外心分别为RE,分别过点

尸、E作平面ABC和平面BCD的垂线交于点0,则点。为外接球球心.

由题意可知，N4BC和△3C。都是边长为4的等边三角形.

为8C的中点，：.AM1BC,S.AM=DM=2粗/.AD=2娓AM2+DM2=AD2,

:.AM±DM

■.■BCoDM=M,：.AMmBCD

AMu平面ABC,，平面ABC1平面BCD

易得ME=MF=LAM=述,BE=-DM=^-,

3333

AW_L平面BCD,0E_L平面BCD0E〃AM

同理可得O尸〃OM,则四边形O£MF为菱形，

-.■AM±DM,菱形OEMF为正方形，

•」OE_L平面BCD,比匚平面吕⑺,位上班

所以外接圆半径为02=^OE2+BE2=冬叵，

3

QH

因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4TXOB2

故选：B

【点睛】

这个题目考查了外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算外接球的半径是解答的

关键，考查推理能力与计算能力.

8.(2021.全国•高一课时练习)某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三

个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年

某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的

概率依次为概率依次为小，己知三个社团他都能进入的概率为《，至少进入

3

一个社团的概率为一，且加＞〃.贝!Jm+〃=()

5

D.

cI12

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题中条件求出Mx”的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出m+n.

【详解】

由题知三个社团都能进入的概率为，7，

24

111

LnInJmx—xn=——nmxn=一,

3248

3

又因为至少进入一个社团的概率为1，

4

31

即一个社团都没能进入的概率为1-：=

44

213

BP（l-m）x—x（l-n）=—=>l-m-n+mxn=—,

3

整理得加+〃=一.

4

故选：C.

【点睛】

本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.

二、多选题

9.（2021.湖南•宁乡市教育研究中心高一期末）如图所示，四边形ABCD为梯形，其中

AB//CD,AB=2CD,M,N分别为AB,8的中点，则下列结论正确的是

()

A.AC=AD+-ABB.MC=-AC+-BC

222

C.MN=AD+-ABD.BC=AD--AB

42

【答案】ABD

【解析】

根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.

【详解】

AC=AD+DC=AD+-AB,A正确；

2

MC=MA+AC=-BA+AC=-(BC-AC)+AC=-AC+-BC,B正确；

22V722

MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-AB=AD--AB,C错误；

244

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=AD--AB,。正确.

22

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

10.(2022•江苏省南菁高级中学高一阶段练习)设有下面四个命题，其中真命题为

()

A.若复数z满足z2eR，则zeR；

B.若复数z满足zeR,则dwR;

C.若复数Z”Z2满足Z「Zz=。，则4=。或Z2=。；

D.若复数z满足|z「=z2,贝lUeR

【答案】BCD

【解析】

【分析】

A选项，举出反例；B选项，可以直接作出判断；C选项，设出z=a+历(a,6eR),

Z2=c+tfi(c,deR),利用z『Z2=0得到，平方后相加得到〃+/=。或

\ad+bc=\)

/+屋=0，判断出c选项；D选项，设出z=M+〃i("i,〃eR),推导出"=O,"zeR,

从而zeR.

【详解】

当2=乙则z2=-leR,而2=1色1<,故A错误；

当zeR时，z2eR,故B正确；

复数Zi，Z2满足％,Z2=0,不妨设％=a+6i(a,Z?eR),z2=c+cfi(c,JeR),贝！］

/、(ac-bd=0

Zj-z2=ac-bd+{ad+Z?c)i=0,贝”qd+bc—o，两式平方后相加得：

a2c2+b2d2+a2d2+Z?2c2=(<?2+Z?2)(c2+(72)=0,故/+"=o或°2+屋=o,即4=0

或Z2=0,C正确；

设z=m+〃i(m,〃eR),则|z『=〃/+〃2/2=/-“2+？〃而，则

m2+n1=m2—n2+2mm,整理得：n2=mm,故”=0,根^尺，所以zeR,D正确.

故选：BCD

11.（2021•广东茂名•高一期末）某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政

策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步

增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人

均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计

图，现给出如下信息，其中正确的信息为（）

人均月收入统计图

增

长月收入阮）

率叶一［十

%

89101112

图(-)图（二）

A.10月份人均月收入增长率为2%

B.11月份人均月收入约为1570元

C.12月份人均月收入有所下降

D.从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高

【答案】AC

【解析】

【分析】

由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断

求解.

【详解】

由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知:

对于A,根据图（一），10月份人均月收入增长率为2%,故A正确；

对于B,11月份人均月收入约为1428x（l+l%）=1442元，故B错误；

对于C,由图（一）、图（二）均可得出收入下降，故c正确；

对于D,从图中易知该地人均收入8、9月一样，故D错误；

故选：AC

12.（2021.山东青岛•高一期末）某人打靶时连续射击两次，设事件A="只有一次中

靶"，3="两次都中靶”，则下列结论正确的是（）

A.AcBB.4口8=0

C.=“至少一次中靶”D.A与8互为对立事件

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据事件的相互关系确定正确选项.

【详解】

事件A="只有一次中靶"，8="两次都中靶“，所以A3是互斥但不是对立事件，所以

AD选项错误，B选项正确.

="至少一次中靶”，C选项正确.

故选：BC

三、填空题

13.（2021.江苏省石庄高级中学高一阶段练习）如图，AA'E。是AABC的直观图（斜

二测画法），其中H与。'重合，C'在V’轴上，且8C//1轴,A'C'=2,B'C'=3,

则AABC的最长边长为.

【答案】5

【解析】

【详解】

由斜二测试画法可知AABC是直角三角形，5.AC=2A'C'=4,JBC=B'C'=3,则最长

边（斜边）AB=5,故答案为5.

14.(2021・湖南•宁乡市教育研究中心高一期末)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加

31

奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是1,乙夺得冠军的概率是了,那么中

国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.

10

【答案】诋

【解析】

【分析】

根据互斥事件的概率加法公式即可求解.

【详解】

设“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件3,则P(A)=3J,P(B)=1-.VA,B是

74

3119

互斥事件，P(AUB)=F(A)+P(B)+-=—.

742o

15.(2021.广东•翠园中学高一期中)如图，在平行四边形A3CD中，E,尸分别是

BC,8的中点.已知AE=JLAF=1,贝U瑟•.布=.

【解析】

【分析】

可设而=方,通=心然后可得出通=4+/,通=京+6,然后即可得出

2______

a+b=-(AF+AE),a-b=2(AF-AE),从而|艮据而•丽=0+5)-0-5)即可求出

UUIUUUU

AC.2。的值.

【详解】

解：^AD=a,AB=b,贝I］通=4+：反屈=；万+5,

两式相加、相减得：a+b=-(AF+AE),a-b=2(AF-AE),

因为*=通+通=6+5,BD=Al5-AB=a-b-AE=y/3,AF=1

AC-BD=(a+b)-(a-b)=^(AF+AE)-(AF-AE)

=|(AF2-AE2)=|X(I^(V3)2)=-|.

Q

故答案为：-%

16.(2021・湖南・雅礼中学高二开学考试)对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样

本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的85%分位数为

h.

频率

【解析】

【分析】

由频率分布直方图求得频率0.85对应的值即得.

【详解】

3

由频率分布直方图，寿命在区间［500,600］的概率(频率)为嬴xl00=0.15,因此寿

命在区间［100,500］上的概率为Q85,从而这一批电子元件中寿命的85%分位数为

500.

故答案为：500.

四、解答题

17.(2021・浙江绍兴.高一期末)已知向量£=(租-1,1),5=(1,3).

(I)若根=0,求75；

(II)若口+.=5,求实数机的值.

【答案】(I)2；(II)±3.

【解析】

【分析】

(I)当机=。时，求得£=(-1,1),根据数量积的坐标运算公式，即可求解；

(II)由£+5=(m,4),根据模的坐标表示，得到疗+16=25,即可求解.

【详解】

(I)当机=0时，向量所以75=_lxl+lx3=2.

(II)因为a+5=(m,4),所以|万+可=JM?+16=5,即加+16=25,

解得〃/=9,所以〃z=±3.

18.(2021•福建省长汀县第二中学高一期中)复数z=(l-i)2-3a+2+i(eeR).

(1)若z为纯虚数，求实数。的值；

(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数。的取值范围.

22

【答案】(1)«=—;(2)(―,+℃).

【解析】

【分析】

⑴由题意可得z=(2-3。)-i,结合纯虚数的概念可得2-3a=0,计算即可；

⑵结合点在第三象限的特征可得2-3a<0,解不等式即可.

【详解】

z=(1-i>—3a+2+i=(2—3a)-i

2

(1)若z为纯虚数，贝1]2-3。=0,解得：a=3,

2

所以z为纯虚数时实数a=§；

(2)若z在复平面内对应的点位于三象限，其对应的点的坐标为(2-3a,-1),

F2—3a<02

则,八，解得

I—1<Uj

2

所以Z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数。的取值范围：(4,+8).

19.(2020•江苏・金沙中学高一阶段练习)已知cosa=3,sin(a-B)=Y2,a/e(0,g)

5'，22

⑴求cos(2a-；]的值：

⑵求sin(a+0)的值.

【答案】(1)必旦

50

至

50

【解析】

【分析】

（1）先由cosa,求出sin。，再利用二倍角公式可求出cos24sin2。，然后利用两角

差的余弦公式化简计算，

（2）由sin（a—£）,可求出cos（c—夕），而2+尸=2仪一（。—尸），利用两面三刀角和的

正弦公式化简计算

⑴

3

因为cosa=—,6ZG

一4324

所以sinla=2sincrcoscr=2x—x—=——

5525

cos2a=1-2sin2cc—1—2x—=-----,

2525

所以cos12cr--I=cos2crcos—+sin2asin—

724A/217血

——x---------1--------X--------=--------------

25225250

⑵

因为a,/?”,1｝所以a—匹7171

因为sin(a-=,

所以cos(a_0)=Jl-sin?夕)=,

所以sin(cr+尸)=sin[2a—(a—4)]

=sin2acos(a—£)—cos2asin(a—/3)

24A/2f7103172

——x-------------x------=--------

252125)250

20.（2018•黑龙江・牡丹江一中期末）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中

学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩

情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据

尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题:

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5〜70.50.16

70.5〜80.510

80.5〜90.5160.32

90.5〜100.5

合计50

(I)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；

(II)补全频数条形图；

(III)若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人?

【答案】略

【解析】

【详解】

解：⑴

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5〜70.580.16

70.5-80.5100.20

80.5〜90.5160.32

90.5〜100.5120.24

合计501.00

(2)频率分布直方图如右上所示：

⑶成绩在75.5-80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的［,因为成绩在70.5~80.5分的

学生频率为0.2,所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1,

成绩在80.5-85.5分的学生占80.5-90.5分的学生的工，因为成绩在80.5-90.5分的学

10

生频率为0.32,所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16

所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26,

由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为

0.26'900=234(人)

21.(2021・湖南•宁乡市教育研究中心高一期末)设甲、乙、丙三位老人是否需要照顾

相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需

要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.

(1)甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是多少？

(2)求这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率.

【答案】(1)0.2,0.25,0.5.(2)0.7

【解析】

(1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的问题，根据甲、乙都需要照顾的概

率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125,列出

方程，解方程得到结果.

(2)这个小时内至少有一台需要照顾的对立事件是这个小时内没有有一台需要照顾，

即都不需要照顾，根据对立事件的概率公式，列出算式，得到结果.

【详解】

(1)记事件A="甲在这一小时内需要照顾“，事件3="乙在这一小时内需要照顾”.

事件C="丙在这一小时内需要照顾”.由题意，知事件AB,C两两相互独立.

P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（A