高考数一轮复习 第七章 第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图突破热点题型 文

第一节空间几何体的结构特征及其三视图和直观图考点一空间几何体的结构特征[例1]下列结论中正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线[自主解答]A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．图1图2C错误．若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形．但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．故选D.[答案]D【方法规律】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．解析：选A反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故③中不能组成正六棱锥；④显然错误，故选A.高频考点考点二空间几何体的三视图1．空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属中档题．2．高考对三视图的考查常有以下几个命题角度：(1)由几何体的直观图求三视图；(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图；(3)由几何体的三视图还原出几何体的形状．[例2](1)(·四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq\r(2)的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\r(2)(3)(·新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()[自主解答](1)由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.(2)由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为eq\r(2)，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为eq\r(2).(3)设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.[答案](1)D(2)D(3)A三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3)D．4解析：选A当正视图的面积达到最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2eq\r(3).2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析：选DA图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.3．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A．2＋eq\r(3)B．1＋eq\r(3)C．2＋2eq\r(3)D．4＋eq\r(3)解析：选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).考点三空间几何体的直观图[例3]如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以OC′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.【互动探究】若本例改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”．应如何求？解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，故其面积S△A′B′C′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.【方法规律】平面图形的直观图与原图形面积的两个关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq\r(2)S直观图．记住上述关系，解题时能起到事半功倍的作用．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．解析：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1. 由此可还原原图形如图②.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积为S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).答案：2＋eq\f(\r(2),2)———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个特征——三视图的长度特征“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．2个概念——正棱柱、正棱锥的概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面