高考数一轮复习 第七章 第三节 空间、线、面之间的位置关系演练知能检测 文

第三节空间点、线、面之间的位置关系[全盘巩固]1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交或异面都有可能解析：选D当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．2．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2解析：选B①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确；②中，若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E有可能不共面，故②错误；③中，如图所示正方体的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c异面，故③错误；④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误，故选B.3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选BA选项，l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面；B选项正确；C选项，l1∥l2∥l3，则l1、l2、l3既可能共面，也可能异面；D选项，如长方体共顶点的三条棱为l1、l2、l3，但这三条直线不共面．4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1A．3B．4C．5D．6解析：选C由条件知，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．5．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α、β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．6．(·杭州模拟)如图，平面α与平面β交于直线l，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是()A．若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交B．若AB，CD是异面直线，则直线MN可能与l平行C．若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交解析：选DA错误，若AB与CD相交，则AB，CD共面，当AC∥l时，则AC∥平面β，经过AC的平面ABCD与平面β的交线为BD，则AC∥BD，又AC∥l，故BD∥l；B错误，采用反证法，假定直线MN∥l，连接AD，取AD的中点G，连接MG，NG，由于MG∥BD，又MN∥l，由面面平行的推论可证得平面MGN∥平面β，故l∥平面β，易推理AC∥平面β，因为直线AC与l共面且平行同一平面MGN，故AC∥l，又MN∥l，故AC∥MN，此时易证A，B，C，D四点共面，与AB与CD异面不符合，故MN与直线l不可能平行；C错误，存在，如经过点N的直线可与AB与CD相交，此时AB，CD可以为异面直线；D正确，若M，N两点重合，即AC与BD交于一点且相互平分，故四边形ABCD为平行四边形，即AC∥BD，易证得直线AC∥平面β，又直线l⊂β，故AC与直线l必无公共点，即两直线不可能相交，故选D.7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有________．解析：易知①中的三条直线一定共面；三棱柱三侧棱两两平行，但不共面，故②错；三棱锥三侧棱交于一点，但不共面，故③错；④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④8．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)．解析：只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案：①②④9．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R证明：(1)如图所示．因为E，F分别为D1C1，C1B1所以EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1∥BD所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1A与CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β因为Q∈A1C1，所以Q∈α又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．11．已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，BC＝3，AA′＝5，求异面直线D′B与AC所成角的余弦值．解：法一：(平移法)如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，连接BD交AC于点E，取DD′的中点F，连接EF，AF，则EF∥eq\f(1,2)D′B，EF=eq\f(1,2)D′B,∴∠FEA是D′B与AC所成的角，∵AE＝eq\f(\r(42＋32),2)＝eq\f(5,2)，EF＝eq\f(\r(25＋25),2)＝eq\f(5\r(2),2)，AF＝eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(\r(61),2)，∴在△FEA中，cos∠FEA＝eq\f(EF2＋AE2－AF2,2EF·AE)＝eq\f(7\r(2),50).法二：(补形法)如图，在长方体的一旁补一个全等的长方体，则BE∥AC,BE=AC.∴∠D′BE(或其补角)是D′B与AC所成的角，∵D′B＝5eq\r(2)，BE＝5，D′E＝eq\r(89)，∴在△D′BE中，cos∠D′BE＝－eq\f(7\r(2),50)，∴D′B与AC所成角的余弦值为eq\f(7\r(2),50).12.如图所示，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求证：AC⊥平面ABF；(2)求异面直线BE与AF所成的角；(3)求该几何体的表面积．解：(1)证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，且交线为AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，所以AC⊥平面ABF.(2)因为ADEF为正方形，所以DE∥AF，所以DE与BE所成的角即为异面直线BE与AF所成的角．连接BD，由(1)易知DE⊥BD.在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝2eq\r(3)，所以tan∠BED＝eq\f(BD,DE)＝eq\r(3)，所以∠BED＝60°，即异面直线BE与AF所成的角为60°.(3)由(1)知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，所以AB＝BC·cos60°＝2，所以△ABF的面积S1＝eq\f(1,2)|AF|·|AB|＝2.同理△CDE的面积S2＝2.等腰梯形BCEF的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2eq\r(2)，则它的高为eq\r(7)，所以其面积S3＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(7)＝3eq\r(7).等腰梯形ABCD的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2，则它的高为eq\r(3)，所以其面积S4＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3).故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S4＋4＝3eq\r(3)＋3eq\r(7)＋8.[冲击名校]1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是()A．(0,eq\r(2))B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r(2))D．(1,eq\r(3))解析：选A如图所示，AB＝eq\r(2)，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(\r(2),2)，同理EC＝eq\f(\r(2),2).由构成三角形的条件知0<a<ED＋EC＝eq\r(2)，所以0<a<eq\r(2).2．(·江西高考)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8B．9C．10解析：选A如图所示，∵CE⊂平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1∴EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8.[高频滚动]1．如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥