高考数一轮复习 第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积突破热点题型 文

第二节空间几何体的表面积和体积考点一空间几何体的表面积[例1](1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5)B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5)D．60＋12eq\r(5)(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[自主解答](1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，据正、俯视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，据侧视图知，BC＝4.综上所述，可知BC⊥平面PAB，PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝5，PC＝eq\r(BC2＋PB2)＝eq\r(16＋25)＝eq\r(41)，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(41)，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝2eq\r(5).∵PC＝AC＝eq\r(41)，∴△PAC的边PA上的高为h＝eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2)＝6.∴S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PD＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝10，S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝10，S△APC＝eq\f(1,2)PA·h＝6eq\r(5).故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6eq\r(5).(2)该几何体的直观图如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.[答案](1)B(2)38【方法规律】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是()A．372B．360C．292解析：选B由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.高频考点考点二空间几何体的体积1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积．[例2](1)(·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4(2)(·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3(3)(·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A­BB1D1D的体积为________cm3[自主解答](1)由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝eq\f(1,3)π×(12＋22＋1×2)×1＝eq\f(7,3)π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝eq\f(1,3)×(22＋2×4＋42)×1＝eq\f(28,3)，比较大小可知答案选C.(2)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的体积V＝6×6×3－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×3＝100cm3.(3)由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，从而VA­BB1D1D＝eq\f(1,3)×OA×S长方形BB1D1D＝6.[答案](1)C(2)B(3)6空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B.eq\f(14,3)C.eq\f(16,3)D．6解析：选B由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π解析：选A这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为eq\f(6,2)＝3，母线长为2，故V＝10×4×5＋eq\f(1,2)π×32×2＝200＋9π.考点三与球有关的组合体[例3](·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球OA.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)[自主解答]如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).[答案]C【互动探究】侧棱和底面边长都是3eq\r(2)的正四棱锥的外接球半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高为eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))2)＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.【方法规律】与球有关的组合体的类型及解法(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析：选A设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2种方法——割补法与等积法(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积