高考数一轮复习 第六章 第三节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题突破热点题型 文

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域[例1](·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0，,x＋y－2≥0，,y≥0))所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．[自主解答]如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线长是|OM|的最小值，故|OM|min＝eq\f(|－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2).[答案]eq\r(2)【互动探究】在本例条件下，求直线OM的斜率的最小值．解：由例题图可知，直线OM的斜率的取值范围为[0，＋∞)，故直线OM的斜率的最小值为0.【方法规律】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域被直线y＝kx＋eq\f(4,3)分为面积相等的两部分，求k的值．解：由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部．y＝kx＋eq\f(4,3)恰过Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，y＝kx＋eq\f(4,3)将区域平均分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx＋eq\f(4,3)一定过线段BC的中点D，易求C(0,4)，B(1,1)，∴线段BC的中点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).因此eq\f(5,2)＝k×eq\f(1,2)＋eq\f(4,3)，k＝eq\f(7,3).高频考点考点二线性目标函数的最值问题1．线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．2．高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度：(1)求线性目标函数的最值；(2)已知线性目标函数的最值求参数．[例2](1)(·天津高考)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,y－3≤0，))则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1(2)(·浙江高考)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－2y＋4≥0，,2x－y－4≤0.))若z的最大值为12，则实数k＝________.[自主解答](1)由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC，作出直线y＝2x，经过平移得目标函数z＝y－2x在点B(5,3)处取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.(2)画出可行域如图所示．其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)．当k＝0时，显然不符合题意；当k>0时，最大值在点C处取得，此时12＝4k＋4，即k＝2；当k<0时，最大值在点A处或C处取得，此时12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝eq\f(9,2)>0(舍)或k＝2>0(舍)．故k＝2.[答案](1)A(2)2线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．(·新课标全国卷Ⅱ)已知a>0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析：选B由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝ax－3，))得A(1，－2a)，当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝eq\f(1,2).2．已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,－1≤x≤1，,y≥1，))则z＝x＋y的最大值是________．解析：如图所示，画出约束条件表示的平面区域(四边形ABCD)，作出目标函数z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0，通过平移可知z＝x＋y在点C处取最大值，而点C的坐标为(1,4)，故zmax＝5.答案：5考点三线性规划的实际应用[例3](·湖北高考)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元[自主解答]设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900，,y－x≤7，,y＋x≤21，,x，y∈N，))画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800元．[答案]C【方法规律】求解线性规划应用题的注意点(1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(2)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析：选C根据题意，整理表格如下：A原料(千克)B原料(千克)利润(元)甲产品(桶)12300乙产品(桶)21400限制1212设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x，y∈N，))z＝300x＋400y.作出可行域如图中阴影部分内的整点．将z＝300x＋400y变形为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,400)，得到斜率为－eq\f(3,4)，在y轴上的截距为eq\f(z,400)，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,400)经过点A时，eq\f(z,400)最大，即z最大．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12，))得A点坐标为(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2800元．故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2800元．————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．1个步骤——利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2个注意点——求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的