高考数一轮复习 第八章 第七节 抛物线突破热点题型 文

第七节抛物线考点一抛物线的定义及应用[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为eq\r(5).(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【互动探究】若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(42＋22)＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5).即|PB|＋|PF|的最小值为2eq\r(5).【方法规律】抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(·天津模拟)已知动圆过定点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，且与直线x＝－eq\f(p,2)相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离与到直线x＝－eq\f(p,2)的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.答案：y2＝2px2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．显然，当AB垂直于x轴时，|AF|≠3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线y2＝4x联立，消去y得k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).又|AF|＝3＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1，所以x1＝2，代入k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得k2＝8，所以x1＋x2＝eq\f(5,2)，x2＝eq\f(1,2)，故|BF|＝x2＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)考点二抛物线的标准方程及性质[例2](1)(·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)(2)(·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.[自主解答](1)由抛物线y2＝4x，有2p＝4，p＝2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.不妨取其中一条eq\r(3)x－y＝0.由点到直线的距离公式有d＝eq\f(|\r(3)×1－0|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2).(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，eq\f(AB,2)＝eq\f(\r(3),3)p，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)p，－\f(p,2))).又因为点B在双曲线上，故eq\f(\f(p2,3),3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6.答案：(1)B(2)6【方法规律】1．求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4D．2eq\r(5)解析：选B依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋eq\f(p,2)＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2eq\r(2))，|OM|＝eq\r(22＋8)＝2eq\r(3).2．(·湖州模拟)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)yB．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：选D双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由于eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\f(\f(p,2),2)＝2，则p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.高频考点考点三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度：(1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程；(2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值；(4)求定值．[例3](·杭州模拟)已知直线y＝2x－2与抛物线x2＝2py(p＞0)交于M1，M2两点，且|M1M2|＝8eq\r(15).(1)求p的值；(2)设A是直线y＝eq\f(p,2)上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y＝eq\f(p,2)于点B，求·的值．[自主解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,x2＝2py，))整理得x2－4px＋4p＝0，设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16p2－16p＞0，,x1＋x2＝4p，,x1·x2＝4p，))∵|M1M2|＝8eq\r(15)，∴eq\r([x1＋x22－4x1x2]1＋22)＝8eq\r(15)，即eq\r(16p2－16p×5)＝8eq\r(15).∴p2－p－12＝0，解得p＝4或p＝－3(舍去)，且p＝4满足Δ＞0，∴p＝4.(2)由(1)知抛物线方程为x2＝8y，且x1＋x2＝16，x1x2＝16，M1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),8)))，M2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),8)))，设M3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3，\f(x\o\al(2,3),8)))，A(t,2)，B(a,2)，由A，M2，M3三点共线得kM2M3＝kAM2，∴eq\f(x2＋x3,8)＝eq\f(\f(x\o\al(2,2),8)－2,x2－t)，即xeq\o\al(2,2)＋x2x3－t(x2＋x3)＝xeq\o\al(2,2)－16，整理得x2x3－t(x2＋x3)＝－16，①由B，M3，M1三点共线，同理可得x1x3－a(x1＋x3)＝－16，②②式两边同乘x2得x1x2x3－a(x1x2＋x2x3)＝－16x2，即16x3－a(16＋x2x3)＝－16x2，③由①得x2x3＝t(x2＋x3)－16，代入③得16x3－16a－at(x2＋x3)＋16a＝－16x2即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)，∴at＝16.∴·＝at＋4＝20.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程．先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可．(2)证明直线过定点．可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点．(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离．(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到．(·潍坊模拟)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是eq\f(1,2)时，＝4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是eq\f(1,2)时，l的方程为y＝eq\f(1,2)(x＋4)，即x＝2y－4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,x＝2y－4，))消去x，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝eq\f(8＋p,2)，y1y2＝4，由已知＝4，∴y2＝4y1，由韦达定理及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，∴抛物线G的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋4，))得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0，∴x0＝eq\f(xB＋xC,2)＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－eq\f(1,k)(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.故b的取值范围为(2，＋∞)．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝eq\f(2p,sin2α)(α为AB所在直线的倾