高考数一轮复习 9.8 离散型随机变量的均值与方差限时集训 理

限时集训(六十二)离散型随机变量的均值与方差(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.62．(·衡水模拟)若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．3·2－2 B．3·2－10C．2－4 D．2－83．(·东营模拟)若P为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,2)－PPeq\f(1,2)则E(ξ)的最大值为()A．1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．24．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于 ()A.eq\f(3,5) B.eq\f(8,15)C.eq\f(14,15) D．15．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)，且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，则a为()A．1 B．2C．3 D．46．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)＝()A.eq\f(8,9) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,3)7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A.eq\f(1,48) B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)＝________.10．同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)＝________.11．(·上海高考)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.12．(·沈阳模拟)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2).用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.13．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为eq\f(1,3)，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E(ξ)＝________.14．现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为eq\f(2,3)，现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面个数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．年男足世界杯将在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，规则如下：任两支队伍进行比赛，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为eq\f(1,5)，甲队获得第一名的概率为eq\f(1,6)，乙队获得第一名的概率为eq\f(1,15).(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1和P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．16．(·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为eq\f(9,10)或eq\f(1,3).(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．17．(·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．答案[限时集训(六十二)]1．B2.B3.B4.A5.B6.A7.B8.C9．1510.eq\f(5,2)11.212.eq\f(4,7)13.eq\f(5,3)14.eq\f(5,3)15．解：(1)根据题意知，若甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，故甲队获第一名的概率为P1×P2＝eq\f(1,6)；①若乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，故乙队获第一名的概率为(1－P1)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，②解②得P1＝eq\f(2,3)，代入①得P2＝eq\f(1,4).故甲队胜乙队的概率为eq\f(2,3)，甲队胜丙队的概率为eq\f(1,4).(2)由题意知ξ可能的取值为0,3,6，ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)；ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(ξ＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(7,12)；ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P(ξ＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,6).故ξ的分布列为ξ036Peq\f(1,4)eq\f(7,12)eq\f(1,6)故E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋3×eq\f(7,12)＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(11,4).16．解：(1)法一：设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,10)))，故E(X)＝2×eq\f(9,10)＝eq\f(9,5)，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×eq\f(9,5)＝3.6.设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y，则Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，故E(Y)＝3×eq\f(1,3)＝1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1＝3.∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A区投篮．(2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分为事件C3，则C＝C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件．则：P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(18,100)×eq\f(8,27)＋eq\f(81,100)×eq\f(8,27)＋eq\f(81,100)×eq\f(4,9)＝eq\f(49,75)，故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为eq\f(49,75).17．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概