第11讲 抛物线y=ax²+bx+c与系数之间的关系（解析版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级人教版）

第11讲抛物线y=ax²+bx+c与系数之间的关系【人教版】·模块一抛物线y=ax²+bx+c与系数之间的关系·模块二课后作业模块一模块一抛物线y=ax²+bx+c与系数之间的关系抛物线y=ax²+bx+c与各项系数之间的关系（1）a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小；（2）b的符号的判定：对称轴x=-b2a在y轴左边则ab＞0，在y轴的右侧则ab＜0，概括的说就是“左同右异（3）c决定了抛物线与y轴交点的位置：系数字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交【考点利用二次函数图象判断抛物线y=ax²+bx+c与系数之间的关系】【例1】抛物线y=ax2+bx+c（a<0，a，b，c为常数）交x轴于点-1,0，且2a+b=0①b<0；②抛物线过点3,0；③8a+c>0；④抛物线上有Ax1,y1，B其中结论正确的是______．（填写序号）．【答案】②④【分析】根据2a+b=0得出b=-2a，即可判断①；求出对称轴为直线x=-b2a=1，根据该抛物线交x轴于点-1,0，即可求出与x轴的另一个交点，即可判断②；将点-1,0，3,0代入，得出两个式子，将两式相加得出a和c之间的关系式，即可判断③；画出草图可知-1<x1【详解】解：∵2a+b=0，∴b=-2a，则-b∵a<0，∴b=-2a>0，则①不正确，不符合题意；∵该抛物线交x轴于点-1,0，对称轴为直线x=-b∴该抛物线与x轴另一个交点为3,0，故②正确，符合题意；∵该抛物线经过点-1,0，3,0，∴0=a-b+c①①+②得：∵b=-2a，∴6a+2c=0，则c=-3a，∴8a+c=8a-3a=5a<0，故③不正确，不符合题意；④∵该抛物线经过点-1,0，3,0，且y1∴由图可知：-1<x∴3<x∴y2<0，故

综上：正确的有②④，故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的各系数与图象的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．【例2】如图，二次函数y=ax2+bx+c①abc＜②2a-b=0；③3a＜④若m为任意实数，则有a-bm≤am⑤若图像经过点-3，-2，方程ax2+bx+c+2=0的两根为x【答案】②③⑤【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断a、b、c的符号及a与b的关系，进而判断①②；由图像可得x=1时，y＜0可判断③，由图像可得x=-1时y取最大值可判断④，由抛物线的对称性可得x1=1，x2【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＜∵抛物线与x轴交点在y轴上方，∴c＞∴abc＞0，∵-b∴b=2a，∴2a-b=0，②正确．由图像可得x=1时，y＜∴a+b+c＜∴3a+c＜0，∴3a＜-c，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y取最大值，∴a-b+c≥am∴a-bm≥am2+b若图像经过点-3，-2，由抛物线对称性可得图像经过∵x1∴x1=1，∴2x1-故答案为②③⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系是解题关键．【例3】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于Ax1，0，Bx2，0两点，若-2<x1<-1，则下列四个结论：①3<x

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a-b+c<0，即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值，且为a+b+c．又可求出am+1m-1-b1-m=am2+bm+c-a+b+c【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于Ax1∴3<x2<4∵二次函数y=ax2+bx+c的图象∴其对称轴为直线x=1，即-b∴b=-2a，∴3a+2b=3a-4a=-a．由图象可知该抛物线开口向上，∴a>0，∴3a+2b=-a<0，故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=由图象结合题意可知当x=-1时，y<0，∴a-b+c<0，∴a+c<b．∵a>0，∴b=-2a<0，∴a+c<0，∴b2-4ac>a+c，即b2>a+c+4ac∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a>0，∴a>c，由③可知a-b+c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b>c，∴a>b>c，故④错误；由图象可知当x=1时，y有最小值，且为a+b+c．∵am+1又∵对于任意实数m，都有ym∴am2+bm+c-∴am+1m-1≥b故选B【例4】如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④4ac-b24a>0；⑤【答案】①②③④⑤【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，可判断①②；由x=3时y>0及抛物线的对称性可判断③⑤；由函数最大值大于0可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴为直线x=-b∴b=-2a>0，即2a+b=0，②正确；∴ab<0，①正确；由图象可得x=3时，y>0，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴x=-1时，y=a-b+c=3a+c>0，③正确；由图象可得函数最大值大于0，∴4ac-b24a抛物线开口向下，x=-1时y>0，x=3时y>0，可得当-1<x<3时，y>0，⑤正确．故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．【例5】二次函数y=ax2+bx+ca≠0的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a），下列结论：①abc>0；②16a-4b+c<0；③若方程ax2+bx+c=-1有两个根x1,x2，且x1<x2，则-5<x1<x

【答案】②③④【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b=4a，c=-5a，进而判断②；由方程ax2+bx+c=-1有两个根x1和x2，且x1<x2【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，交y轴的负半轴，∴a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的顶点坐标（-2，-9a），∴-b2a=-2∴b=4a，c=-5a，∴16a-4b+c=16a-16a-5a=-5a<0，故②正确；∴抛物线的解析式为y=ax当y=0时，ax解得：x1=-5，∴抛物线y=ax2+4ax-5a交x轴于（-5，0），（1∵若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2，且∴-5<x1<∵抛物线与y轴的交点在（0，-2）与（0，-3）之间，∴-3<c<-2，∵c=-5a，∴-3<-5a<-2，解得：25<a<3综上所述：正确的结论为②③④故答案为：②③④【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b【变式1】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A1,0、点B，与y轴相交于点C0,3，下列结论：①b=-2﹔②B点坐标为-3,0，③抛物线的顶点坐标为-1,3，④直线y=h与抛物线交于点D、E，若DE<2，则h的取值范围是3<h<4﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使△QAC【答案】①②④⑤【分析】①代入点A、C的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把y=h带入后，即可表示出DE，进而求出h的取值范围；⑤连接BC交对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小，再列出方程组即可求出【详解】解：①∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A1，∴可得：-1∴b=-2c=3，故①②∵函数y=-x2-2x+3∴-x∴x1∴x=-3时，y=0，∴B点坐标为-3，0，故③抛物线的顶点坐标为-b2a,④把y=h带入后，DE=x解得：3<h<∴h的取值范围是3<h<4，故⑤连接BC交对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小，直线BCy=x+3和对称轴x=可得x=-1y=x+3解得x=-1y=2∴Q点坐标为-1，2，故综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．【变式2】如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0交x轴于A-1,0，B3,0，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc<0；②2a+b=0；③2a+c>0；④当m≠1时，a+b<am2+bm【答案】②④【分析】结合图象，根据二次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可得出结果．【详解】解：①抛物线y=ax2+bx+ca≠0开口向上，对称轴在∴a>0,b<0,c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数与x轴交于点A-1,0，B∴二次函数的对称轴为x=-1+32=1∴2a+b=0．故②正确；③∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点∴a-b+c=0,9又∵b=-2a．∴3b=-6a，∴3a+c=0，∴2a+c=-a<0．故③错误；④∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．∴x=1时，二次函数有最小值．∴m≠1时，a+b+c<am即a+b<am故④正确；⑤当a=1时，b=-2a=-2，c=-3a=-3，∴y=x∴点D坐标为(1,-4)．∴DF=4，连接AD,BD，∵A-1,0，B∴AF=BF=2，∴AD=BD=AF∵AB=4，∴AD2∴△ABD不是等腰直角三角形；故⑤错误；综上可得正确的有②④故选答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．【变式3】抛物线y=ax2-2ax+c（a，c是常数且a≠0，c>0）经过点A3,0．下列四个结论：①该抛物线一定经过B-1,0；②2a+c>0；③点P1t+2022,y1，P2t+2023,y2在抛物线上，且y1>y【答案】①②④【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到3a+c=0即可；②：由①得2a+c=-a，结合c>0判断出a的正负即可；③：特值法，取t=-2021时也符合题意，从而可得到结论；④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．【详解】解：∵抛物线经过点A3,0∴9a-6a+c=0，∴3a+c=0，当x=-1时，a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴该抛物线一定经过B-1,0②由①得：c=-3a，∵c>0，∴-3a>0，∴a<0，∵3a+c=0，∴2a+c=-a，∴2a+c>0．故此项正确．③抛物线的对称轴为直线x=--2a当t=-2021时，P11,y∵a<0，∴y∴t=-2021也符合题意与t>-2021矛盾，故此项错误．④∵m，nm<n是方程a∴m，n是抛物线y1=ax∵p>0，∴如图：由图得：-3<m<n<1．故此项正确．故答案：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．【变式4】如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象过点①abc<②6a+c<0；③a+b≤mam+b（m④若Ax1,m，Bx2⑤若方程ax+24-x=-2的两根为x1，x2其中正确的是___________．（填写序号）【答案】②③④【分析】根据图象得出系数的正负性，可判断①；根据当x=-2时，y=4a-2b+c=0，可判断②；当x=1时，函数有最小值，可判断③；由抛物线的对称性可判断④；由二次函数的交点式可得y=ax2【详解】解：①由图象可知：a>0，c<0，-b∴ab<0，∴abc>0，故①错误；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=1，∴-b∴b=-2a，当x=-2时，y=4a-2b+c=0，∴4a+4a+c=0，∴8a+c=0，∴6a+c=-2a，∵a>0，∴-2a<0，∴6a+c<0，故②正确；③由图象可知，当x=1时，函数有最小值，∴a+b+c≤am²+bm+c（m为任意实数），∴a+b≤mam+b，故③④∵Ax1,m由抛物线的对称性可知：x1∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，故④正确；⑤∵图象过点-2,0，对称轴为直线x=1．抛物线与x轴的另外一个交点坐标为4,0，∴y=a若方程ax+2即方程ax+2x-4=2的两根为x则x1、x2为抛物线与直线∵x1∴x1<-2<4<x故答案为：②③④．【点睛】此题考查二次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，掌握二次函数解析式的系数和图象之间的关系．【变式5】二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值yx…-2-1012…y=a…tm-2-2n…且当x=-12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c-t=0的两个根；③m=n；【答案】②③④【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2，∴抛物线的对称轴是：x=-b2a=1∴a、b异号，且b=-a；∵当x=0时y=c=-2，∴c<0，∴abc>0，故①不正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t，∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t∵根据抛物线的对称性可得当x=-1和x=2时的函数值相等，∴m=n，故③正确；∵b=-a，c=-2，∴二次函数解析式：y=ax∵当x=-12时，与其对应的函数值∴34∴a>8∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4>20∴3m+3n>20，故④正确，故答案为：②③④．模块二模块二课后作业1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点在0,-2和0,-1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直线y=ki（kiA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴的性质，依次判断，即可．【详解】∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点∴二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与∴当-1<x<3时，y<0，∴当x=2时，y=4a-2b+c<0，故①错误；∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的∴b2∴4ac-b∵二次函数y=ax2+bx+c∴a>0，∴8a>0，∴4ac-b∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与∴当x=1时，y=a-b+c=0，∵x=1，∴-b∴-b=2a，∴a+2a+c=0，∴3a=-c，∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与y轴的交点在∴-2<c<-1，∴1<-c<2，∴1<3a<2，∴13∴③正确；∵-b=2a，3a=-c，a>0，∴b>c，∴④正确；∵12∴x1∴x1当i=2023时，2×2023=4046，∴⑤正确；∴正确的为：②③④⑤．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象①abc>0；②4a+2b+c<0；③函数的最大值为a+b+c；④当-3≤x≤1时，y≥0；⑤x<-1时，y随x增大而减少A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1=-b2a，与y轴的交点在∴a<0，b=2a，c>0，∴b<0，∴abc>0，故①正确；由图可知：当x=2时，图像在x轴下方，则y=4a+2b+c<0，故②正确；当x=-1时，函数取最大值，且为y=a-b+c，故③错误；∵对称轴为直线x=-1，图像与x轴交于1,0，∴图像与x轴的另一个交点为-3,0，∵抛物线开口向下，∴当-3≤x≤1时，y≥0，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴x<-1时，y随x增大而增大，故⑤错误；∴正确的有①②④，共3个，故选B【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系．3．二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像如图所示，它的对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②当x>2时，y>0；③103a+c<0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据二次函数图像的性质，对称轴的性质即可求解．【详解】解：根据图示可知，在二次函数y=ax2+bx+ca≠0中，a>0，∴b=-2a<0，∴结论①中，abc>0，故结论结论②，根据题意得，当x=-1时，二次函数y=ax2+bx+ca≠0中，y>0；当∵对称轴为x=1，∴当x=0与x=2时，y的值相等，且y=c<0，故结论②错误；结论③，当x=-1时，y=a-b+c>0，∵b=-2a，∴a+2a+c>0，即3a+c>0，则9a+3c>0，∴10a+3c>a>0，∴103a+c>1结论④，∵对称轴为x=1，∴当x=1时，y=a+b+c，是函数的最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c∴a+b≤mam+b（m为任意实数），故结论④综上所述，正确的有④，1个，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的性质，理解图示，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．4．抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=-1，且过点1,0，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab>0且c<0；②4a-2b+c>0；③A．①③ B．①③④ C．②④ D．②③④【答案】A【分析】根据二次函数的性质可得a<0，b=2a，c>0，可判断结论①；由x=-2处的函数值可判断结论②；由x=2处函数值可判断结论③；由x=1处函数值和b=2a可判断结论④；【详解】解：二次函数开口向下，则a<0，二次函数对称轴为x=1，则-b2a=-1，b=2a∵x=0时y>0，则c>0，∴ab>0且c>0，故①错误；由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为(-3,0)，由函数图象可得x=-2时y>0，∴4a-2b+c>0，故②正确；由函数图象可得x=2时y<0，∴4a+2b+c<0，b=2a代入得：8a+c<0，故③错误；∵x=1时y=0，∴a+b+c=0，b=2a代入得：c=-3a，∵c=3a-3b=3a-6a=-3a，故④正确；综上所述②④正确，①③错误故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．5．如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象的一部分，函数图象经过点2,0，直线x=-1是对称轴，有下列结论：①2a-b=0；②16a-4b+c=0；③若-2,y1，12,A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】根据对称轴为x=-1求出b=2a，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为-4,0，即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出c=-8a，结合b=2a即可判断④．【详解】解：∵二次函数对称轴为直线x=-1，∴-b∴b=2a，即2a-b=0，故①正确；∵二次函数经过2,0，∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为-4,0，∴当x=-4时，y=16a-4b+c=0，故②正确；∵抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，∵-2,y1，12,y∴y1>y∵b=2a，16a-4b+c=0，∴16a-8a+c=0，即c=-8a，∴a-b+c=a-2a-8a=-9a，故④正确；故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过点(-1,0)，其对称轴为直线x=1．有下列结论：①abc<0；②8a+c<0；③若抛物线经过点(-2,t)，则关于x的一元二次方程axA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据已知条件得出a<0，b=-2a>0，根据抛物线经过点(-1,0)，得出c=b-a=-2a-a=-3a>0，即可判断①，根据c=-3a代入②即可判断；根据对称性可得抛物线也经过点4,t，即可判断③【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过点∴a<0，x=-b2a则b=-2a>0，∴c=b-a=-2a-a=-3a>0∴abc<0，故①正确；∵8a+c=8a-3a=5a<0，故②正确，∵抛物线经过点(-2,t)，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点4,t，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=t的交点坐标为(-2,t)∴一元二次方程ax2+bx+c-t=0(a≠0)的两根分别为-2，4故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．7．已知抛物线y=ax2+bx+ca>0，且a+b+c=-1，A．点1,-1和-1,-3在抛物线上 B．抛物线与x轴负半轴必有一个交点C．abc>0 D．当0≤x≤2时，y的最大值为3a【答案】C【分析】根据当x=1时，y=a+b+c=-1，当x=-1时，y=a-b+c=-3，即可判断A；联立a+b+c=-1，a-b+c=-3得出c=-2-a，b=1即可判断B、C、D．【详解】解：A、∵当x=1时，y=a+b+c=-1，当x=-1时，y=a-b+c=-3，∴点1,-1和-1,-3在抛物线上，故A正确，不符合题意；B、a+b+c=-1①①+②得：整理得：c=-2-a．①-②得：解得：b=1，∴y=ax∵a>0，b=1>0，∴函数开口向上，对称轴在y轴左侧，∴抛物线与x轴负半轴必有一个交点，故B正确，不符合题意；C、∵a>0，b=1>0，c=-2-a<0，∴abc<0，故C不正确，符合题意；D、∵对称轴在y轴左侧，∴当0≤x≤2时，y随x增大而增大，∴当x=2时，y有最大值y=4a+2-2-a=3a，故D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识，会根据图象判断各个系数和式子的符号．8．函数y=ax2+bxa<0

A．5a+3b<1 B．4a+3b<2 C．2a+b<0 D．a+2b<0【答案】D【分析】根据函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-b2a<1，a<0，得出2a+b<0；当x=2时，函数y=ax2+bx中y<0，得出4a+2b<0，根据当x=1时，y<1，得出a+b<1，即可得出5a+3b<1；根据a+b<1，得出2a+2b<2，根据2a+b<0，得出4a+3b<2；根据-b2a【详解】解：由图象可知：函数y=ax2+bx的图象∵a<0，∴2a+b<0，故C正确，不符合题意；∵当x=2时，函数y=ax2+bx即4a+2b<0，当x=1时，y<1，即a+b<1，∴5a+3b<1，故A正确，不符合题意；∵a+b<1，∴2a+2b<2，∵2a+b<0，∴4a+3b<2，故B正确，不符合题意；∵-b2a>∴b>-a，∴2b>-2a，∴a+2b>-a，∴a+2b>0，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是将图象中特殊的点代入函数解析式，判定式子符号．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x=3，过第一、二、四象限的直线y=kx-4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①ck>0；②c=7a；③4a+2b+c-5k>0；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，k=-2a；⑤若m为任意实数，则m

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】①分别判定出k<0，c>0，即可得出ck<0，得出①错误；②根据一次函数解析式和抛物线对称轴，求出抛物线与x轴的一个交点为(2,0)，得出4a+2b+c=0，根据抛物线的对称轴为x=3，得出-b2a=3，求出b=-6a，得出4a+2×③根据4a+2b+c=0，k<0，得出4a+2b+c-5k>0，判断③正确；④根据题意得出-4k=c，即k=-c4，由②得c=8a，从而得出k=-c⑤当x=3时，抛物线取得最小值，最小值为：y=9a+3b+c，当x=m时，代入y=ax2+bx+c得am2【详解】解：①直线y=kx-4k（k是常数）的图象过一、二、四象限，∴k<0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c>0，∴ck<0，故①错误；②∵y=kx-4k=k(x-4),令x=4得y=0，∴直线y=kx-4k与x轴交点为(4,0)，∴抛物线与y=kx-4k也交于(4,0)，∵抛物线的对称轴为x=3，∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，把(2,0)代入y=ax2+bx+c∵抛物线的对称轴为x=3，∴-b解得：b=-6a，∴4a+2×-6a解得：c=8a，故②错误；③由②知，抛物线过点(2,0)，∴4a+2b+c=0，∵k<0，∴4a+2b+c-5k>0，故③正确；④根据题意知，当x=0时，直线与抛物线的y值相等，∴-4k=c，∴k=-c由②得c=8a，∴k=-c4=-⑤当x=3时，抛物线取得最小值，最小值为：y=9a+3b+c，当x=m时，代入y=ax2+bx+c即a∴mam+b≥9a+3b，故综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，拋物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．下列五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为x=1，得到-b2a=1，即可判断②；可知x=2时和x=0时的y值相等可判断③正确；由图知x=1时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为x=1可得b=-2a，因此y=a【详解】①∵抛物线的开口向上，∴a>0.∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，∴c<0.由-b2a>0∴abc>0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为x=1，∴-b∴b=-2a，∴2a+b=0，故②正确；③由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等．由图知x=0时，y<0，∴x=2时，y<0．即4a+2b+c<0．故③错误；④由图知x=1时二次函数有最小值，∴a+b+c≤am∴a+b≤ama+b≤m(ax+b）故④错误；⑤由抛物线的对称轴为x=1可得-b∴b=-2a，∴y=ax当x=-1由图知x=-∴3a+c>0.故⑤正确．综上所述：正确的是①②⑤，有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．11．如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象的对称轴，则下列结论：①abc>0；②b+2aA．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴x=1及对称轴公式可判断结论②；抛物线的对称轴直线x=1，由x=-1时，y<0，即可判断结论③；由x=2时，y>0，即可判断结论④．【详解】解：①∵∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴-b∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，故结论错误；②∵对称轴为直线x=1∴-b∴2a+b=0．故结论正确；③∵2a+b=0，∴b=-2a，∵当x=-1时，y=a-b+c<0，∴a-(-2a)+c=3a+c<0，故结论不正确；④当x=2时，4a+2b+c>0，故结论正确；综上所述，正确的结论是②④．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．12．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，且过点1，0顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①ab>0，且c<0；②4a-2b+c>0；③8a+c>0；④c=3a-3b；⑤直线y=2x+2与抛物线

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．【详解】∵抛物线对称轴x=-1，经过点1，∴-b2a=-1∴b=2a，∵a<0，∴b<0，∴ab>0且c>0，故①错误，∵抛物线对称轴x=-1，经过1，∴-3,0和1，∴x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0，故②正确，∵抛物线与x轴交于-3,0，∴x=-4时，y<0，∴16a-4b+c<0，∵b=2a，∴16a-8a+c<0，即8a+c<0，故③错误，∵c=-3a=3a-6a，b=2a，∴c=3a-3b，故④正确，∵直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c∴方程ax2+∴x1+x2∴x1+x2+x1故选：C．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a<b<c；（2）a+b+c=0；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2①a<0；②a-b+c＜0；③a-2b>0；④【答案】①②④【分析】由a+b+c＝0可得图像过1,0点，由a<b<c、a+b+c＝0可得a<0，c>0可判断①；图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在-1,0右侧，再代入解析式可判断②且图像对称轴一定在x轴的正半轴，即0<-b2a<1；再结合a，b异号可判定③；由a+b+c=0【详解】解：∵a+b+c∴图像过1,0点∵a<b<c，a+b+c＝∴a<0，c>0，故∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2∴图像一