第06讲 SASASA证全等（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第06讲SAS，ASA证全等【人教版】·模块一两边及夹角证全等·模块二两角及夹边证全等·模块三课后作业模块一模块一两边及夹角证全等全等三角形的判定边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。【考点1用SAS判定两个三角形全等】【例1.1】在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，AB=A1B1，再补充下列哪个条件可以根据A．AB=A1C1 B．BC=B1【例1.2】如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【例1.3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（

）A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．∠BAD=∠ACD D．BD=CD【变式1.1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的【变式1.2】如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，能用“SAS”判定△ABC≌△ADC的是（

）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°【考点2SAS判定定理的应用】【例2.1】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=______．【例2.2】填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．已知：如图，BC//EF，AB=DE，BC=EF，试说明∠C=∠F．解：∵BC//EF(已知)∴∠ABC=______（______）在△ABC与△DEF中AB=DE∴△ABC≌△DEF（______）∴∠C=∠F（______）【例2.3】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；(2)与△ABC全等，且不与△ABC重合．【变式2.1】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE上．(1)求证：△ABD≌(2)若∠BDA=35°，则∠BDE=______°．【变式2.2】“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造出△BED和△CAD．求证：△BED≌△CAD．

【变式2.3】如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．【变式2.4】如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．模块二模块二两角及夹边证全等全等三角形的判定角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。【考点1用ASA判定两个三角形全等】【例1.1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是________.【例1.2】如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与A．① B．② C．③ D．④【例1.3】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E在AB边上，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，找出图中的全等三角形，并说明全【变式1.1】如图，AB//CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是（

）A．AB=CD B．∠ACB=∠E C．∠A=∠D D．AC=DE【变式1.2】一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中正确的是（

）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可【变式1.3】如图，点E在△ABC外部，点D在△ABC的BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，则（

）．

A．△ABD≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE【考点2ASA判定定理的应用】【例2.1】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE=FE，AB=7，CF=4，则【例2.2】如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF=60°，AC=CF，AB=4，EF=5，则BE=___________．【例2.3】如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，过点D作DF⊥AC于点F，延长DF交AB于点E，交∠ACB的平分线于点N，点M为CN与AB的交点，∠BMC=80°，∠B=40°.(1)求∠AEF的度数；(2)证明：NF=FD.【变式2.1】如图，BA=BE，∠A=∠E，∠ABE=∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD=∠D．求证：AC∥BD．证明：∵∠ABE=∠CBD(已知)，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC()即∠ABC=∠EBD在△ABC和△EBD中，∠ABC=∠EBD_____=______∴△ABC≌△EBD()，∴∠C=∠D()∵∠FBD=∠D，∴∠C=(等量代换)，∴AC∥BD()【变式2.2】如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在树A的对岸l正对位置选一点B，使得AB⊥l；②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线；④测得DE的长为20米．(1)根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置；(2)求该段河流的宽度是多少米？【变式2.3】如图①，AM∥BN，AE平分∠BAM，(1)求∠AEB的度数；(2)如图②，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D．求证：AC+BD=AB．模块三模块三课后作业1．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A'BA．AB=A'B'B．AB=A'B'C．AC=A'C'D．AC=A'C'2．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（

）

A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行3．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB//DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE4．已知，图中△ABC的面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A'B'C'的位置，使B'和C重合，连接AA．4 B．6 C．8 D．125．如图，在△ABC中，AC=8cm，F是高AD和BE的交点．若AD=BD，则BF的长是（

A．4cm B．6cm C．8cm6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为_____．

7．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块（见右面的示意图），现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带_____去（填序号）8．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是________．9．如图所示：B、D、E在一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=___________．10．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠2-∠1=______．11．如图，在△ABC和△BDE中，点A、B、E共线，点B、C、D共线，BF、BG分别是∠ABD和∠DBE的平分线，已知∠ABD=∠DBE，AB=DB，EB=CB，若AC=8cm，DG=6cm，则CF=12．如图所示，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，通过目测发现A，C与E在同一直线上，那么A，B之间的距离为________米．13．已知：如图，BA=BD，BE