高中数学：8-5空间点、直线、平面之间的位置关系（学案）

第05讲空间点、直线、平面之间的位置关系

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课程标准课标解读

1.初步掌握空间直线与直线，直线与平面、平面与

通过本节课的学习，要求会用三种语言表示

平面的位置关系的条件.

直线与直线、直线与平面、平面与平面之间

2.掌握异面直线所成角的范围.会求异面直线所成

的位置关系，能判断出空间直线与直线，直

的角.

线与平面，平面与平面的位置关系，会求民

3.能用定义判断两个空间中两个平面的位置关系.

面直线所成的角，能用平面几何的解题策略

4,会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面

解决空间几何的问题.

与平面之间的位置关系.

趣知识精讲

知识点

异面直线所成的角

1.两条异面直线所成的角的定义

如图，已知两异面直线a,h,经过空间任一点O,分别作直线"〃a,b'//h,相交直线〃,

〃所成的锐角(或直角)叫做异面直线。与〃所成的角(或夹角).

(1)在定义中，空间一点。是任取的，根据等角定理，可以判定〃所成的角的大小

与点O的位置无关.为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上.

(2)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角

问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.

2.异面直线所成的角的范围

异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角a的取值范围为0<a«90.

3.两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直

的异面直线a,6,记作aLb.

4.构造异面直线所成角的方法

（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；

（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特

殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；

（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线

所成的角应为其补角.

5.求两条异面直线所成的角的步骤

（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；

（2）证明：证明作出的角就是要求的角；

（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；

（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是

钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

空间中直线与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点；

②直线与平面相交——有且只有一个公共点；

③直线与平面平行——没有公共点.

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

位置关系图形表示符号表示公共点

直线。在平面

aGa有无数个公共点

a内

直线。与平面有且只有一个公

aQa=A

a相交共点

\

直线a与平面--a

a没有公共点

a平行//

3.直线和平面位置关系的分类

（1）按公共点个数分类：

直线和平面相交一有且只有一个公共点

直线和平面平行一没有公共点

直线在平面内一有无数个公共点

(2)按是否平行分类:

直线与平面平行

直线与平面相交；

直线与平面不平行

直线在平面内

(3)按直线是否在平面内分类:

直线在平面内

直线和平面相交.

直线不在平面内(直线在平面外)

直线和平面平行

平面与平面之间的位置关系

1.两个平面之间的位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交——有一条公共直线.

2.两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

位置关系图形表示符号表示公共点

两个平面平行//无

%__/

斜交a=a有一条公共直线

两个平三

面相交a

/--------7a-B,

垂直♦a/有一条公共直线

J—/aA/3=a

3.两个平行平面的画法

画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四

边形上下放置.

【即学即练1】1.已知a,夕为不同的平面，a,b,c为不同的直线，则下列说法正确的是

()

A.若〃ua,buB,则。与b是异面直线B.若a与6异面，人与c异面，则a与c异面

C.若a,b不同在平面a内，则a与方异面D.若a,〃不同在任何一个平面内，则。与6

异面

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论.

【详解】

已知a,夕为不同的平面，a,b,c为不同的直线，

对于A：若aua,bu§,则a与b是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；

对于B：若。与b是异面直线，b与。是异面直线，则。与c也可能是异面直线或平行直线，

故B错误；

对于C：若。，b不同在平面a内，则。与人是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；

对于D：根据异面直线的定义，若。，b不同在任何一个平面a内，则。与b是异面直线，

故D正确.

故选：D

【即学即练2】在正方体ABC。一44GA中，AR与80所成的角为（）

A.45B90

C60D120

【答案】C

【解析】如图，连接8G、DC\,

在正方体ABC0-4BCQI中，由A8=£）Q,AB//D1C1,可知

所以/QBCi就是异面直线AD\与BD所成的角，

在正方体48cA4BC1A中，BCi、8。和。。是其三个面上的对角线，它们相等.所以△

08G是正三角形，/DBO60。，故异面直线4。与8Q所成角的大小为60。.故选C.

【名师点睛】本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为

平面角.求解时，通过平移直线作出异面直线与8。所成的角，在三角形中即可求得.

【即学即练3】平面a上有不共线的三点到平面夕的距离相等，则a与夕的位置关系为

()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.垂直

【答案】C

【解析】由题意，若三点分布在平面尸的同侧，此时平面a〃平面£；

若三点分布于平面夕的两侧时，此时平面a与平面夕相交，

综上可知，平面a与平面尸平行或相交，故选C.

【名师点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面夕的同

侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

【即学即练4】如图,在正四棱柱ABCD-AIBICIDI中，E、F分别是ABi、BCi的中点,

则以下结论中不感目的是（填序号）.

①EF与BBi垂直；②EF与BD垂直：③EF与CD异面：④EF与AC异面.

【答案】④

【解析】

【分析】

观察正方体，连8/C,则8/C交8。于F且尸为8。中点，可得EF〃AC,所以

分析可得答案.

连8/C,则8/C交8。于尸且尸为8。中点，三角形8泊C中E/〃AC,并且EF=gAC,

所以£尸〃平面ABCQ,而8山_1_面ABCD,

所以EF与88/垂直；

又AULBD,所以EF与8。垂直，EF与CQ异面.

故④不成立.

故答案为④

【点睛】

本题考查了异面直线的判断以及直线与直线垂直的判定，考查了学生的空间想象能力，属于

基础题.

【即学即练5】已知A,B,C表示不同的点，/表示直线，a,£表示不同的平面，则下列推

理错误的是（填序号）.

①/ua；

②Aca、Aw/3,Bea、Bc[}=a[3-AB-

③Ace,Ac夕na/3=A.

【答案】③

【解析】

【分析】

由点线、点面关系，根据平面的基本性质判断点面、线面关系即可.

【详解】

①由A,8表示不同的点，A,Be/且A,Bea,即有/ua,故正确；

②由A,B表示不同的点，ABea且A,3e〃，即有a。=AB,故正确；

③由A挝％4£,则Aeac£,即＜zc0为经过点A的一条直线而不是点A,故aI/=A

错误.

故答案为：③

【即学即练6】下列命题中，真命题的序号为.

①若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；

②若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；

③若一个平面内任意一条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行.

【答案】③

【解析】

【分析】

命题①：从两个平面交于直线入手，进行判断是否正确；

命题②：从是否能平行或者异面入手，进行判断是否正确；

命题③，根据面面平行的定义入手，进行判断是否正确.

【详解】

两个平面相交时也有无数个公共点，故①为假命题；两个平面相交，分别在两个平面内的两

条直线可以相交、异面、平行，故②为假命题；由平面平行的定义可知③为真命题.

【点睛】

本题考查了面面的位置关系，分类讨论、运用定义是解题的关键.

【即学即练7】如图，若尸是；ABC所在平面外一点，PAKPB,PN1AB,N为垂足.M为

AB的中点，求证：PN与MC为异面直线.

【答案】见解析

【解析】

根据点和直线、点和平面的位置关系,可证明CMu平面ABC,Ne平面ABC,而NeCM,即

可证明直线PN与MC为异面直线.

【详解】

证明：必工尸为垂足是A8的中点，

...点N与点M不重合

Ne平面ABC.P生平面ABC,CMu平面ABC,NiCM

由异面直线的判定定理可知，直线PN与MC为异面直线

【点睛】

本题考查了异面直线的判定，点和直线、点和平面的位置关系,属于基础题.

Q能力拓展

考法01

空间两直线的位置关系的判断

空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的

判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.

【典例1】如图，在正方体中，M、N分别为梭CiQi、CC的中点，

有以下四个结论：①直线AM与CG是相交直线；②直线AM与8N是平行直线；③直线

BN与MB是异面直线；④直线AM与。A是异面直线.其中正确的结论为

A.③④D.②④

【答案】A

【解析】M、C、G四点不共面，直线A例与CG是异面直线，故①错误;

同理，直线AM与8N也是异面宜线，故②错误；同理，直线8N与M田是异面直线，故③

正确；

同理，直线AM与。d是异面直线，故④正确.故选A.

【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：

1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.

2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直

线.

4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法.

证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件

或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从

而原命题成立.

【典例2］已知A是所在平面外的一点，E.F分别是5C,AO的中点，

(1)求证：直线EF与80是异面直线；

(2)若AC=BD,求EF与BO所成的角.

【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.

(1)证明：假设E尸与8。不是异面直线，则EF与8。共面，从而。尸与8E共面，即与

8c共面，所以A、3、C、。在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故

直线E尸与8。是异面直线.

(2)取C。的中点G,连接EG、FG,贝EG〃8O,所以直线与EG所成的角即为异面直

线EF与8。所成的角.在RtZXEG/中，由EG=FG=J_AC,可得/PEG=45。，即异面直

2

线EF与所成的角为45。.

【典例3】在正方体48CC-ABCR中，判断下列直线间的位置关系:

①A3与；

②4B与耳C；

③。。与CE（E为GQ的中点）；

④AB与BC.

【答案】平行异面相交异面

【解析】

【分析】

根据空间中线线位置关系，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

①在接\B与D,C,因为在正方体ABCD-AB£R中，

BC//A〃且8C=AA,所以四边形ABCD,为平行四边形,

因此AB//RC；

②连接AC,BQ,由①知，AB/RC,

又A8Z平面BCR,CD,c平面B,CD,,

所以AB〃平面BCR,又B,Cu平面BC。,

所以AB与8c无交点,且4田与8。不平行，

所以40与8c异面；

③连接CE,因为CE与共面，且CE与。。不平行,

所以。。与CE相交；

④因为在正方体ABCO-ABCR中，

A3i平面ABCD,Cw平面ABCD,用《平面ABCD.

所以48与8c异面.

故答案为：①平行；②异面；③相交；④异面.

【点睛】

本题主要考查空间中线线位置关系的判断，属于常考题型.

考法02

两异面直线所成的角

通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立

体几何问题的一个难点.

【典例4】如图，在正方体4BCD-ABCQ中，E、尸分别是。0c上靠近点。的三

等分点，则异面直线EF与AG所成角的大小是.

【答案】60

【解析】

【分析】

连接CA，可得出EF〃CR,证明出四边形ABCA为平行四边形，可得A3//CR,可得出异

面直线所与AG所成角为NBAG或其补角，分析&418G的形状，即可得出NBAG的大小,

即可得出答案.

【详解】

DEDF1

连接C。、43、g,—-=—=-;.EFHCD^

X-Xx---Lzf

在正方体ABCO-ABCQ中，\DJJAD,AD/^BC,：.A.D^BC,

所以，四边形ABC。为平行四边形，.•.4B〃C。，

所以，异面直线“与AG所成的角为NA41G.

易知AA|BG为等边三角形，=60.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算

能力，属于中等题.

【典例5】如图，四棱锥P-ABCD中，ZABC=NB4O=90，BC=2AD,△PAB和

△PAD都是等边三角形，则异面直线CO和尸3所成角的大小为

A.90B.75C.60D.45

【答案】A

【解析】设4)=1，则BC=2,过A作AE〃CD,则AD=CE,过E作EF〃PB，则

NA所或其补角即为异面直线CD和PB所成的角,如图所示，过F作FG//CD，连接AG，

则四边形AEFG是梯形，其中尸G〃AE,EF=-PB=-,AG=—,AE>FG过G作

222

GH//EF,则NG〃4=NA砂，

在/\GHA中，GH=EF^-,AH=AE-FG=y/2--=—,AG=—，则

2222

AG2=GH2+AH\所以NA£E=90，故选A.

【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，

其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD和所成的角转化为平面角

ZAEF，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转

化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.

考法03

直线与平面的位置关系

空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的

方法解决.

【典例6］已知平面a和直线/,则在平面a内至少有一条直线与直线/()

A.平行B.垂直C.相交D.以上

都有可能

【答案】B

【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线/与平面a

相交，则在平面a内不存在直线与直线/平行，故A错误；若直线/〃平面a,则在平面a

内不存在直线与/相交，故C错误；对于直线/与平面a相交，直线/与平面a平行，直线

/在平面a内三种位置关系，在平面a内至少有一条直线与直线/垂直，故选B.

【典例7】下列说法中，正确的个数是()

①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交；

②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；

③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行；

④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

借助长方体依次判断即可得到答案.

【详解】

易知①正确，

对②，如图所示:

b//a,故②正确;

对③，如图所示:

b与a相交，故③错误;

对④，如图所示:

b//d,此时c和d相交，故④错误.

故选：c

【典例8】若直线aUa,则下列结论中成立的个数是（）

①a内的所有直线与a异面；②a内的直线与“都相交；③a内存在唯一的直线与a平

行；④a内不存在与a平行的直线.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】；直线aZa,或如图，显然①②③④都有反例，.•.应选A.

【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另

外，考虑问题要全面，即注意发散思维.

考法04

平面与平面的位置关系

判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置

是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.

【典例9】已知a,夕是两个不重合的平面，下面说法正确的是

A.平面a内有两条直线a,匕都与平面夕平行，那么a〃夕

B.平面a内有无数条直线平行于平面夕，那么a〃夕

C.若直线a与平面a和平面夕都平行，那么a〃夕

D.平面a内所有的直线都与平面£平行，那么a〃夕

【答案】D

【解析】不能保证a,1无公共点.如图:

故A、B选项错误.

当a〃a,“〃”时，a与£可能相交.如图:

故C选项错误.

平面a内所有直线都与平面夕平行，说明a,A一定无公共点，则a〃从故D选项正确.

【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位

置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换

成图形语言，借助空间图形作出判断.

易错提示：

1.忽略异面直线所成的角的范围致误

【典例11］如图，已知空间四边形ABC。中，AD=BC,M,N分别为AB,CO的中点，且

直线8c与所成的角为30。，求BC与A。所成的角.

【错解】如图，连接80，并取中点E,连接EN,EM,则EN〃BC,ME//AD,

故NRVM为8c与MN所成的角，NMEN为BC与所成的角，

NENM=30°.

又由A£>=8C,知ME=EN,

：.NEMN=NENM=30。,

二AMEN=180°-30°-30°=120°.

即BC与AC所成的角为120°.

【错因分析】在未判断出NMEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直

线所成的角，因为异面直线所成的角a的取值范围是0<a<90，如果/MEN为钝角，

那么它的补角才是异面直线所成的角.

【正解】以上同错解，求得NMEN=120。，即8c与4。所成的角为60。.

【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角a的取值范围是

0<tz<90.

2.对直线与平面相交的概念理解不透彻致误

【典例12］己知：直线。〃b,an平面a=P,求证：直线6与平面a相交.

【错解】如图，因为a〃b,所以a,〃确定一个平面，设该平面为人

因为aCl平面a=P,所以Pda,PGa,

所以PC仇即点P为平面a与6的一个公共点，

由此可知a与4相交于过点P的一条直线，记为c,即an/?=C.

在平面夕内，a//b,aC\c=P.

由平面几何知识可得人与。也相交，设〃fk=Q,则Qe8,QwC.

因为cua,所以。ea,所以直线b与平面a相交.

【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线

和平面有一个公共点.

【正解】因为所以m6确定一个平面，设该平面为人

因为"I平面a=P,所以平面a与夕相交于过点P的一条直线，记为c,

因为在平面“内，c和两条平行直线m〃中的•条直线。相交，所以c必和6相交，设交

点为Q,即”lc=Q.

乂直线b不在平面a内（若b在平面a内，则a与0过两相交直线b和c,因此a与尸重合,

则。在a内，与已知矛盾），所以直线8与平面a相交.

【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个

公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.

M分层提分

题组A基础过关练

1.若。，〃为两条异面直线，a,夕为两个平面，aua,bu/3,a\/3=l,则下列结论

中正确的是（）

A./至少与a,6中一条相交

B./至多与a,6中一条相交

C./至少与a,〃中一条平行

D./必与a,6中一条相交，与另一条平行

【答案】A

【解析】

【分析】

此种类型的题可以通过举反例判断正误.

【详解】

因为a,b为两条异面直线且“ua,bufi,a〃=/,所以a与/共面，b与/共面.

若/与。、方都不相交，则a〃/,b//1,a//b,与a、b异面矛盾，故A对；

当。、。为如图所示的位置时，可知/与“、b都相交，故B、C、D错.

2.如图，A8CD-A/B/G。/是正方体，E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点，则下列结

论正确的是（）

A.G”和MN是平行直线；GH和EF是相交直线

B.GH和是平行直线：MN和EF是相交直线

C.GH和MN是相交直线；GH和E尸是异面直线

D.G”和EF是异面直线；和EF也是异面直线

【答案】B

【解析】

【分析】

结合平行直线、异面直线、相交直线的知识判断出正确选项.

【详解】

VGHHAiB,而A/B//O/C,:.GHUDC又MNHDiC,J.GHHMN.

由异面直线的定义可知，GH与EF异面.

延长EF,MN,二者可以相交，故与MN为相交直线.

故选：B.

3.如图，在直三棱柱48C-AAG中，。为4片的中点，AB=BC=2,BB『1,AC=26,

则异面直线8。与AC所成的角为（)

C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】

取BC的中点E,连接易得NBDE（或其补角）为异面直线BD与AC所成的角,

进而求其大小即可.

【详解】

如图，取的中点E,连接BE,DE,则AC//A.CJ/DE,则ZBDE（或其补角）即为异

面直线5。与AC所成的角.

由条件知：BD=DE=EB=6，则N8£)E=60。,

故选：C.

4.如图，三棱柱ABC-A4G中，底面三角形A4G是正三角形，E是BC的中点，则下列

叙述正确的是（）

A.直线CG与直线是异面直线B.直线eq与直线AE是共面直线

C.直线AE与直线8c是异面直线D.直线AE与直线是共面直线

【答案】C

【解析】

【分析】

根据异面直线的判定定理求解即可.

【详解】

由于CG与与E均在平面BCC蜴内，不是异面直线，故A错误；

CGc平面ABC=C,Afu平面A8C,点C不在直线AE■上，所以和AE是异面直线，

故B错误；

他c平面BCGB|=E,B£u平面BCG耳，点E不在直线与G上，则AE与是异面

直线，故C正确；

AEc平面BCGA=E,B、Bu平面BCC圈，点E不在直线用3上，则AE与B避是异面直

线，故D不正确.

故选：C

【点睛】

方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第

二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面

直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做

出判断.

5.下列说法中，正确的个数是（）

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；

②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；

③若直线。在平面a外，则a〃a.

A.0B.I

C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用模型可判断①的正误；利用线面的位置关系可判断②的正误；利用线面位置关系的定义

可判断③的正误.

【详解】

在正方体ABCD-ABCR中，

AA与平面ABC。相交，则与平面45CD相交，①正确；

若两条直线平行，则它们共面，因此这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确;

对于③，包括两种情形，直线W/a或直线。与。相交，故③不正确.

故选：B.

6.若直线“与平面a不垂直，则平面a内与直线。垂直的直线有（）

A.0条B.1条C.无数条D.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

若直线a与平面a不垂直，有三种情况：直线平面a,直线au平面a,直线a与平面a

相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面a内与直线。垂直的直线的条数，能够得到结

果.

【详解】

解：若直线。与平面a不垂直，

当直线a〃平面a时，在平面a内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；

当有线au平面a时，在平面a内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；

直线。与平面a相交但不垂直，在平面a内有无数条平行直线与直线。垂直.

二若直线a与平面a不垂直，那么在平面a内与直线a垂直的直线有无数条.

故选：C.

7.设加、〃是两条不同的直线，a是平面，/、”不在a内，下列结论中错误的是（）

A.mA-a,n//a,则加_L〃B.mA.a,nA.a,则

C.mVa,m±n,则〃〃aD.mVn,nlla,则

【答案】D

【解析】

利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A选项的正误；由线面垂直的性质定理

可判断B选项的正误；根据已知条件判断直线〃与平面a的位置关系，可判断C选项的正

误；根据已知条件判断直线与平面口的位置关系，可判断D选项的正误.

【详解】

对于A,■,〃〃a,由线面平行的性质定理可知，过直线〃的平面乃与平面a的交线/平行于〃，

.m±a,Icza,,:.mln,故A正确；

对于B,若机_La,nla,由直线与平面垂直的性质，可得W/〃，故B正确；

对于C,若加_La,mLn,则〃〃a或〃ua,乂〃<xe,nlla,故C正确；

对于D,若nz_L”，nlla,则或m与a相交或机ua,

而则“?〃口或机与a相交，故D错误.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断“，即

正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例

说明其错误，在解题中可以以常见的空间儿何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理

或者反驳.

8.如图，在四面体ABCD中，E,尸分别是AC与8力的中点，若CD=2AB=4,EFLBA,则

EP与C£>所成的角为（）

A

A.90°B.45°C.60°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】

设G为AQ的中点，连接GF,GE,由:角形中位线定理可得GE/3,GE^CD,则/GFE

即为EF与C£＞所成的角，结合48=2,CD=4,EFVAB,在aGE尸中，利用三角函数即可

得到答案.

【详解】

解：设G为AD的中点，连接G凡GE

贝!]GF,GE分别为△AB。，△AC。的中线.

GF/AB,且G/=gAB=l,GE^CD,且GE=；CD=2,则E尸与CD所成角的度数等于

£厂与GE所成角的度数

XEF1AB,GF^AB

/.EFLGF

则AGE尸为直角三角形，GF=1,GE=2,ZGFE=90°

：.在直角△GEF中，s讥NGEF=，

NGEF=30°.

9..已知平面a外不共线的四点AB,C,。到平面a的距离都相等，则正确的结论是

()

A.平面ABCD必与平面a平行

B.平面A8C。必与平面a相交

C.不存在满足条件的平面A3C。

D.存在*4?。的一条中位线平行于平面或在平面内

【答案】D

【解析】

根据点与面的位置关系，结合题意，进行判断即可.

【详解】

c£o.

图1图加

如图1所示，在正方体A网A-DCC.D,中，

分别取A。，BC,B£,A2的中点产，

E，H,G,将平面EFG”看作是平面口,则AB,C,。四点到平面a的距离相等，

此时平面ABCO与平面a相交，存在的一条中位线在平面a内，

故A,C错误；

如图2所示，在正方体A8C£>-4gGA中，分别取M，BB、,CC,,DQ的中点

F,G,H,E,将平面EFG”看作是平面a,

则AB,C,。四点到平面a的距离相等，

此时平面ABCO与平面心平行，的三条中位线都平行于平面a,

故8错误.

综上所述，只有。正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间中点与面，面与面的位置关系，属基础题：本题中，绘制示意图来说明问题,

是一种很好的方法.

10.下列说法中正确的个数是（）

①平面a与平面/?,7都相交，则这三个平面有2条或3条交线

②两个平面平行，各任取两平面内的一条直线，它们不相交；

③直线a不平行于平面a,则a不平行于a内的任何条直线；

④如果a//，alia,那么a〃£.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

三个平面有可能相交于一条直线，则①错误；

两个平面平行，则两平面没有公共点，各任取两平面内的一条直线也没有公共点，则②正确;

当直线a在平面a内时，平面a内有无数条直线与直线“平行，则③错误；

当直线。在平面夕内时，也有a〃£,alia,则④错误.

【详解】

①错误，平面a与平面夕，/都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只

有1条交线.

②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交.

③错误，直线a不平行于平面a,则。有可能在平面a内，此时可以与平面内无数条直线平

行.

④错误，如果a〃夕，alia,那么a〃"或6

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题.

11.下图是一几何体的平面展开图，其中四边形A8CD为正方形，"DC,\PBC,ARAB,

APD4为全等的等边三角形，E、F分别为以、户。的中点.在此几何体中，下列结论中错误的

为

A.直线8E与直线C尸共面B.直线酩与直线A尸是异面直线

C.平面BCEJ_平面24。D.面PAD与面PBC的交线与8c平行

【答案】C

【解析】

【详解】

由题意可知，A,直线BE与直线CF共面，正确，

因为E,F是PA与PD的中点，可知EF〃AD,

所以EF〃BC,直线BE与直线CF是共面直线；

B,直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确.

C,因为4PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCEJ_平面PAD,不

正确.

D,：AD〃BC,，AD〃平面PBC,...面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确.

故答案选C.

12.已知在空间四边形ABC。中，NAC〃=N8DC=90。，且4?=2,CD=\,则A8与8

所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】

/.„ABCD

先利用已知条件计算ABCD，再利用cos[AB,CD）=,..,计算项与8所成角的余弦

值，然后确定角度.

【详解】

根据已知ZACD=NBDC=90°,得4cCO=DBCD=0，

AB.CD=[AC+CD+DB\CD=ACCD+\CC^+DBCD=\,

;.cos(AB,CQ)=ABCD

HR2，

...Aa与CD所成的角为60。.

故选：C.

【点睛】

本题考查异面直线夹角的计算，较容易，转化为求向量间的夹角计算即可.

题组B能力提升练

1.正方体ABC。-ABCA中，M、N分别为A。、AC上的点，且满足4。=3加£）,

AN=2NC,则异面直线MN与G0所成角的余弦值为（）.

A.立B.立C.述D.在

5453

【答案】C

【解析】

取AD上一点E,使AE=2£D,结合正方体的结构特征可得NE〃C£>,进而可得NE〃CQ,

FN

所以*E为异面直线.与3所成角，在HMNEN，。。办3曲,即可求解.

【详解】

取线段A0上一点E,使AE=2ED,连接ME,NE,如图所示,

MDCNDE1

因为=AN=2NC,所以二7；=言=赤=不

ZliDZBZB

所以NE//CD,ME//AAt,又因为CD//CR,

所以NMNE为异面直线MN与CR所成角，

21

设该正方体的棱长为3”，则£W=§C£>=2a,ME=-AAt=a,

所以在RtAMNE中，MN=y]ME2+EN2=荷+（2前=岛,

所以cosNMNE=里=半=还,

MN&5

故选：C

【点睛】

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问

题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（I）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,^,当所作的角为钝角时，应取它的补

角作为两条异面直线所成的角.

2.（多选题）在正方体A88-44GA中，E,尸分别是A£»，C2的中点，。为正方形ABCD

的中心，则下列结论错误的是（）

A.直线ER。。是异面直线且

B.直线0。,与B是异面直线且OD、#B、B

C.直线E£0A是相交直线且=

D.直线0。,片B是相交直线且OR=旦3

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据题意画出图象，再判断防和的位置关系和长度，。乌和B中的位置关系和长度即

可得到答案.

【详解】

根据题意画出图像如图所示，

由图像易知,0汁和aB在矩形8BQQ匕

和与B是相交直线，且。。*与8,故选项B、D错误;

。为正方形A8CZ）的中心，E为AO的中点，

所以OE〃CD,且OE=lc。，

2

又点尸为GR的中点，所以。尸〃C。，且AF=gc。，

所以。E〃RF,且OE=RF,四边形OER尸是平行四边形,

则EF和。。是-OED、F的两条对角线，

所以E尸和OR是相交直线，Fl.EF=ODt.

故选项A错误，C正确.

故选：ABD.

3.（多选题）如图ABC。-481GA为正方体，下列说法中正确的是（）

A.三棱锥A-4CR为正四面体

B.8。与A"互为异面直线且所成的角为45

C.A。与A,8互为异面直线且所成的角为60

D.AA与8a互为异面直线且所成的角为90

【答案】ACD

【解析】

根据三棱锥瓦-ACR各条棱相等即可判断A；连接BCt,可知BC与BtC所成角即为B,C4

A。所成角，求出即可判断B；可知乙4RC即为AA与AB所成角，求出可判断C；由惧

平面A4CQ可判断D.

【详解】

对于A,因为三棱锥鸟-ACR的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条楼相等，

故三棱锥4-AC"为正四面体，故A正确；

对于B,连接BG，可知在正方体中，ABCD^C^,所以四边形ABGR是平行四边形，所

以BGPA0,因为BQ，gC,故异面直线与AR所成角为90,故B错误；

H

对于C,由图可得A。与AB互为异面直线，连接4田，易得四边形48cA是平行四边形，

则ABPCR,则ZARC即为所成角，由-ARC是等边三角形可得NAqc=60，故C正确;

对于D,由图可知AA,与4。互为异面直线，因为在正方体中，A4,，平面AgGR，且BQU

平面A