2020高中数学 第六章 平面向量初步

6.3平面向量线性运算的应用

目段国国

考点学习目标核心素养

通过本节课学习理解向量在处

理有关平面几何问题中的优越数学抽象、数学建

几何应用

性并体会向量在几何和现实生模

活中的意义

运用向量的有关知识（向量加减

数学抽象、数学建

物理应用法与向量数量积的运算法则等）

模

解决简单的物理问题

预习案，®❾尊图

©问题导学

预习教材P168—P170的内容，思考以下问题：

1.平面向量是如何体现在几何问题中的？

2.平面向量是如何体现在物理问题中的？

«海知初麻»

1.用向量方法解决平面几何问题的步骤

⑴转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及

的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

⑵运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、

夹角等问题.

(3)翻译:把运算结果“翻译”成几何关系.

2.向量方法解决物理问题的步骤

⑴问题的转化，把物理问题转化成数学问题.

(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型.

(3)参数的获取，求出数学模型的相关解.

(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数学结果去解

释一些物理现象.

・自国胤则»

n已知向量夕=(—2,㈤与向量b=(1—5，1)平行，则实数g

的值为()

A.-1B.1

C.2D.-1或2

1m

解析：选D。由二;=一万，得功=—1或g=2,故选D.

0已知三个力£=(—2,—1),£=(-3,2),4-(4-3)同时作

用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力£,则£等

于()

A.(―1,—2)B.(1,-2)

c.(-1,2)D.(1,2)

解析：选D.由物理学知识知，要使物体保持平衡，则有一工=

/+£+£=(—2,-1)+(—3,2)+(4,-3)=(—1,-2),

所以£=(1,2).

故选D.

❸如图，已知点4(4,0),8(4,4),CQ,6),则4。与08的交点

夕的坐标为

B

解析:设点〃(与力则错误!=6，0,

错误！=(4,4),错误！=(x—4,y—0)=(x—4,y),错误！=(2—4,6—

0)=(—2,6),由错误!与错误!共线得4x—4尸=0①，

由错误!与错误!共线得6(x—4)—(一2)了=0②，

联立①②，解得x=3,尸3,即点夕的坐标为(3,3).

答案：(3,3)

面如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为N;

若用坐标表示合力孤则F=.

解析:由图可知月=(2,3),F2=(3,1),

则合力户=氏+£=(2,3)+(3,1)=(5,4),

所以|户|=错误!=错误!。

答案：yfi(5,4)

»探究案，盼翁目⑧解惑•探究•突破♦

探究点④

向量在平面几何中的应用

m已知。,左,刀是平面上不共线的三点，直线48上有一点c,

满足2错误!+错误！=0。

（1）用错误！,错误!表示错误！；

⑵若点。是。夕的中点，证明四边形OC4。是梯形.

【解】（1）因为2错误!+错误!=0,

所以2（错误!一错误!）+（错误!一错误!）=0,

2错误！一2错误！+错误！一错误！=0,

所以错误！=2错误！一错误!.

（2）证明：如图，由题得,/!=错误!+错误!

=一错误!错误！+错误！=错误！（2错误！一错误！）.

结合（1）知，错误!=错误!错误!。

所以错误！II错误!，即DAII0G故四边形0c4。是梯形.

错误！

用向量方法解决平面几何问题的步骤

跟踪训练］如图，在直角梯形中，错误!=错误!错误！，错误!=2错误！，

且错误!=缗误!+端误！，则2r+3s=（

A.1

C.3D.4

解析：选C。根据图形由题意可得

错误！=错误！+错误！=错误！+错误!错误！

=错误！+错误！（错误！+错误！+错误！）

=错误!错误！+错误！（错误！+错误!）

=错误!错误！+错误!（错误！+错误!错误！）

=错误!错误！十错误!错误!.

因为错误！=储误！+理误！，

所以？=错误!,S=错误！,

所以2r+3s=1+2=3.

探究点团__________________________

向量在物理中的应用（速度）

丽某人骑车以2km/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹

来，而当速度为2akm/h时，感到风从东北方向吹来，试求实际风

速和方向.

【解】设此人行驶速度为多则无风时此人感觉到风

速为一处又设实际风速为v,

由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为（P—a）,

如图所示，令错误!=-N,错误!=-2a,

由于⑶+错误!=错误！，故错误!=0一2

又错误!+错误!=错误!，故错误!=0—2。，即此人的速度是原来的2倍

时所感到的风速，由题意得/期。=45°,PALBO,BA^AO,从

而△瓦丝为等腰三角形，

所以PB=PO"POA=/APO=45°,

所以错误!a,|v|=错误!2km/h。

故实际吹来的风是风速为错误!akm/h的西北风.

错误!

物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及前面的

三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解.

国跟踪训练;已知船在静水中的速度大小为5m/s,且船在静水中的

速度大小大于水的速度大小，河宽为20m,船垂直到达对岸用的时

间为5s,试用向量的减法来求水流的速度大小.

解：设船在静水中的速度为匕，水流速度为功，船

的实际速度为巧，建立如图坐标系.

|匕|=5m/s,|匕|=错误!=4m/s,则

%=(0,4),匕=(一3,4),艺=巧一匕=(0,4)一(一3,4)=(3,

0).

所以I方|=3m/s。即水流的速度大小为3m/s。

探究点

向量在物理中的应用（力）

他网如图，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹

角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.

B

【解】以。4，错误!为邻边作平行四边形OACB,

则错误!即为合力.由已知可得△04。为等腰三角形,

且/CO4=30°，过4作于点。则在Rt/XOAD中，|

错误！|=|错误！|•cos30°=60X错误！=30错误！,故|错误！|=2|错误！|=60

错误!，即合力的大小为60错误！N,方向与水平方向成30°角.

错误！

用向量方法解决物理问题的步骤

(1)转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化为向量问

题的模型.

(2)运算：通过向量的运算使问题得以解决.

(3)还原：把结果还原为物理问题.

匐I跟踪训练;如图所示，若物体的重量为4-_____«G,且被两根

不等长的绳子吊起，绳子两端点力和8保持同一高

度，绳子与竖直方向的夹角分别为"和产，试求拉力片,

月的大小.

解：以力的作用点。为原点，水平方向为X轴，竖直苗?L

方向为y轴建立平面直角坐标系，将近，用分别分解为水平

方向和竖直方向上的力耳J；”片,马，如图所示，

所以瓦什用=打，鼻叶玛=丹.则由受力平衡知物体在水平方

向和竖直方向上所受的合力分别为0,得

错误！所以错误!

解得错误！

两根绳子的拉力耳，石的大小分别为

错误！,错误！。

测评案，❿像侈脸

1.已知点4(2,3),8(—2,6),Q6,6),D(10,3),则以48。

为顶点的四边形是()

A.梯形

B.邻边不相等的平行四边形

C.菱形

D.两组对边均不平行的四边形

解析：选B.因为错误!=(8,0),错误!=(8,0),所以错误!=错误!，因为错误!=

(4,—3),所以|错误！|=5,而I错误!1=8,故为邻边不相等的平行

四边形.

2.已知作用在点4的三个力£=(3,4)£=(2,-5),£=(3,

1),且4(1,1),则合力UA+6+E的终点坐标为()

A.(9,1)B.(1,9)

C.(9,0)D.(0,9)

解析：选A.U£+£+£=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),

设终点为刀(x,力，则(x—1,y—1)=(8,0),

所以错误!所以错误!所以终点坐标为(9,1).

3.坐标平面内一只小蚂蚁以速度r=(l,2)从点4(4,6)处移

动到点8(7,12)处，其所用时间为

解析:设所用时间为「，则

错误!=何即(3,6)=<1,2),所以1=3.

答案:3

应用案，❿回O锚强化.培优-通关*[A基础

达标]

1.人骑自行车的速度是匕，风速为功，则人的实际速度为()

匕+功

A.v}—v2B.

C.|Vil—IV2IDo错误!

解析：选B.由向量的加法法则可得人的实际速度为匕+功。注

意速度是有方向和大小的,是一个向量.

2.当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为夕,两人用力大小

都为|尸|,若|尸|=|G|,则9的值为(

A.30°B.60°

C.90°D.120°

解析：选D.由题意作出示意图，由|户|=|G|知

都是等边三角形，所以9=120°.

C

3.河水的流速为5m/s,一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河

岸方向驶向对岸，则小船的静水速度大小为（）

A.13m/sB.12m/s

C.17m/sD.15m/s

解析:选A.设小船的静水速度为％,

河水的流速为V2,

静水速度与河水速度的合速度为V,

为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即静水速度匕斜向上游方向，河水速度必平行于河岸，

静水速度与河水速度的合速度。指向对岸，

即静水速度|匕I=错误!=错误!=13（m/s）.

4.已知四边形各顶点坐标是4错误!，礴误!，CW误!，Dt误!，

则四边形48。是（）

A.梯形B.平行四边形

C.矩形D.菱形

解析：选A。因为错误!=错误!，错误!=(3,4),

所以错误！=错误!错误！，所以错误！//错误！，ABIIDC.

又|错误！|=错误！=错误！，|错误！|=错误！=5,

所以I错误!I中I错误！|,所以四边形力8a＞是梯形.

5.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量

为10N,则每根绳子的拉力大小为No

解析：如图，由题意，得/力OC=/008=60°,|错误!1=10,

则I错误！I=1错误！|=10,即每根绳子的拉力大小为10N.

答案：10

6.如图，设〃为△力及？内一点，且2错误!+2错误!+错误!=0,则

ABP•S/^ABC

解析：设*8的中点是。.

因为错误！+错误！=2错误！=一错误!错误！,

所以错误！=一错误!错误!,

所以P为。的五等分点,

所以AABP的面积为△4AS的面积的错误!。

答案：错误！

7.某物体做斜抛运动，初速度|%)|=10m/s,与水平方向成

60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是

____________m/s.

解析：

■60。.：

设该物体在竖直方向上的速度为匕，水平方向上的速度为必，

如图所示，由向量求和的平行四边形法则及直角三角形的知识可知,

|V21—I%Icos60°=10X错误!=5(m/s),即该物体在水平方向上的

速度是5m/so

答案：5

8.已知在平行四边形48。中,石户是对角线4c上的两点，且

4H=/。=错误!4C,试用向量方法证明四边形。石斯也是平行四边

形.

DC

AR

证明:设错误!=N,错误！=6,则错误!=错误!一错误！

=错误!错误！—Z=错误!6—错误a

错误！=错误！一错误！

=6一错误!错误！=错误!6一错误!当

所以DE,一=错误！，

且。，E,F,6四点不共线，所以四边形。跳尸是

平行四边形.

9.如图，平行四边形488中，E,尸分别是力

48的中点，G为BE与DF的爻点、.若错误!=当错误!=6.

⑴试以N,6为基底表示错误!，错误!；

(2)求证：A,GC三点共线.

解：(1)错误！=错误！一错误！=错误!6—2,

错误！=错误！一错误！=错误!b.

⑵证明：因为，G,尸三点共线，则错误!=/1错误!,

即错误！=错误！+/L错误！=错误!/lz+(l—/I)瓦

因为8,G,石三点共线，则错误!=//错误!，

即错误！=错误！+〃错误！=(1—//)2+错误!

由平面向量基本定理知错误!解得/1=〃=错误!,

所以错误！=错误!(2+6)=错误!错误!，

所以4G,c三点共线.

[B能力提升]

10.在△480中，。为△/L&7所在平面内一点，且错误!=错误!错误!

+错误!错误！,则错误！=()

A.错误!Bo错误!

C.错误!Do错误!

解析：选D。如图所示,

由错误！=错误!错误！+错误!错误!得,

点。在平行于48边的中位线上，

所以错误!=错误!。

11.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方

向夹角为30°，纤夫的拉力为50N,则纤夫对船所做的功为

Jo

解析：所做的功K=60X50Xcos30°=1500错误！(J).

答案：1500错误！

12.已知点4(小，1),8(0,0),C；错误!,0),/34c的平分线4E

与改7相交于点四误!，则错误!=%错误!，其中2等于.

解析：由错误!=错误!=2,得|错误！|=2|错误！|(如图).

从而|错误！|=3|错误！I,又错误!与错误!方向相反,

所以错误!=一3错误!，所以2=—3。

答案：一3

13o如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运

动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程一

中，下列