高考数学平面向量教学设计文科

《平面向量》教学设计文科

一.考纲要求

平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高

考的热点。向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观

性，是数形结合的典范。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应

用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。

（一）、2016考试说明及解读

知识要求

内容了解掌握

理解（B）

（A）（C）

平面向量平面向量的相关概念

平面向量的线性运算及其几何意义

向量的线性运算

平面向量的线性运算的性质及其几何意义V

平面向量的基本定理V

平面向量的正交分解及其坐标表示

平面向量的基本

用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘

定理及坐标表示

运算

用坐标表示平面向量共线的条件V

平面向量数量积的概念V

数量积与向量投影的关系V

平面向量的数量

数量积的坐标表示V

积

用数量积表示两个向量的夹角

用数量积判断两个平面向量的垂直关系

向量的应用用向量方法解决简单的平面几何问题V

说明：近三年考纲没有变化

（-）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目

年份考题考点解析

6.设D,E,F分别为AA8C的三边8C,CA,A8的中

点，则而+正'=()A.4DB.频)C.jsCD.BC向量的运算与解三角

2014年

形

已知在△ABC中，|反1=10,前石=-16,。为边

向量的运算与解三角

2015年BC的中点，则|由）|等于（）A.6B.5C.4D.3形

考查平面向量的坐标

(3)己知向量应=(2,2),BC=(2,2),

运算及与解三角形的

2016年

则ZABC=交汇

(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°

（三）2016年全国卷（文科）数学考查平面向量的情况统计:

3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇

（四）考情分析

1.考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的

解答题.

2.考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算,

平面向量的应用等.

（五）高考预测

1.预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点,

将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主.

2.题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以

向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练.

3.对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要

立足基本知识，基本方法，基本技能。

二.复习目标

1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算

求解能力。

2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。特别是要关注向量与三角函数、

解三角形、解析几何的结合。

3、关注数学思想方法在本章中的渗透：

思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的

思想等。

解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。

三.专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）

（一）进度安排

本专题共有四讲内容：

第一讲平面向量的概念及其线性运算

第二讲平面向量基本定理及坐标表示

第三讲平面向量的数量积

第四讲平面向量应用举例

前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。

(二)知识结构:

小零向量、单位同

i-gW]-------------1

-I三角形法则|T平面向*基本朝H向量的坐号祠

-I平行四边形法则I-।

T平行向量基本定理I----------

」两个向量垂直的病-----------1向量的应用|~~

(三)学情分析

在文科高考备考中，我发现学生对平面向量这一块知识不够重视：

1、知识遗忘厉害，需在知识点的梳理上下功夫；

2、概念理解模糊，需在概念的辨析上强化练习；

3、数形转换不灵活，需在运算中突破这一难点。

因此，在教学中，我们应坚持在广泛应用向量的基础上，让学生掌握向量的思想方法，

并借助于向量，运用联系的观点、运动观点、审美的观点、进行纵横联系，广泛联想，将各

部分的数学知识、数学思想方法进行合理重组和整合，充分展示应用向量的过程；体现向量

法解题的简单美、和谐美，就能充分体现“向量”在提高学生的数学能力方面的教学价值。

四.重点知识强化策略(常见题型和解题方法)

1、平面向量的线性运算：加法、减法、数乘运算

掌握平行四边形法则、三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量基本定理、线性

运算的坐标运算。

1、坐标运算

典例1]1)、已知点A(2,3),B(-1,5),且有AC=3AB,则点C的坐标为

()。

A.(-7,9)B.(-3,4)C.(-5,7)D.(-7,7)

2)、已知向量方=(1,2),b=(-2,m),且则2。+39=O。

A.(-2,-4)B.(—3,~6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)

2、运用基向量法运算的题型

—■1—­—1—

典例2]、如右图所示，在A43O中，OC=—04,OD=—OB,AD与BC

42

相交于点也设。4=a,OB=h,试用和表示向量。

解析]令OM=xa+yb(x,yeR)B

则AM-OM-OA-xa+yb-a-(x-l)a+yb.

AD=OD-OA=-OB-OA=^a+-b又/、K〃三点共线

22

，存在唯一实数普使而=，而EP(x-l)a+yb=t(-a+^b)

x-\=-t

「・v1，消去看得x+2y=1①0

同理依据反肌C共线得4x+y=l②

1Q----1->4f

由①②得X=—,y=二，OM=-a+-b.

7777

方法规律］本题难点是找不到问题的切入口，关键是引导学生用已知基底，来表示

另一些向量，尽可能地转化到平行四边形或三角形中去，利用共线建立方程组，

用方程的思想求解。

(二)数量积运算

设计意图］通过例3、例4巩固数量积的坐标运算，培养学生的转化能力。

1.坐标运算

典例3]1)、已知向量M=(3,1),B=(x,-3)且则x=()o

A.-3B.-lC.1D.3

2)、在QBCD中，元=(1,4),丽=(—5,0)则而•砺=o

2.可转化为坐标运算的题型

典例4］已知之3是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足

(a-c)*(h-c)=0,则同的最大值是()

A.1B.2C.V2D.—

2

解析］方法一建系，用坐标法求解

方法二作图，用几何法求解

令OA=a,OB=b,OC=c

作图a-c=CA,b-c=CB

CA»CB=Q

.-.CA1CBC在以AB为直径的圆上。

c=ra=|词=后

maxIImaxIImax

方法规律］1、当条件中出现两向量的模已知且垂直时，可考虑建系，运用坐标法

求解。

2、若作出和向量，差向量发现出现特殊位置关系时，也可用几何法求解。

此二法均可让学生体会化归思想在求解中的应用。

典例4］巩固练习

①.在AABC中，ZC=90°,且C4=CB=3,点"满足丽=2万7,则

CMCA=.

②.在矩形ABCD中，设AB、的长分别为2,1,若KN分别是况'、CD

上的点，

且满足世1=撤，则而•丽的取值范围是.

\BC\\CD\

3.利用数量积的定义和几何意义求解的题型。

设计意图］灵活运用数量积的定义和几何意义解题是一个难点，可通过例5强

化向量的模、夹角、数量积运算，巩固学生在线性运算中学到数形转换能力。

典例5］

1）已知非零向量，满足I|=］|=|-1则向量与+的夹角为O

答案：-

6

方法规律］方法一，利用夹角公式求解；方法二利用几何作图求解。

2）已知同=1，W=J5

①若，与人的夹角为三，求归+可；

②若5-B与。垂直，求。与3的夹角。

解析］①

\a\=1,|^|=V2,<a,b>=告

...B+同=Va2+2a*5+S2

=V3+V2

②

v(d-h)La

/.{a-b^a=0即5=a2

一ra^ba21_V2

J.COS<a,b>=------=----FZi

I巾W\a\.\b\1・"2

又<0,B>e[0,71]

:.<a,b>=-

4

方法规律］掌握夹角与模的相关运算方法，关注常用公式：

同=cos<a,h>-"o

同明

3)如右图，在平行四边形4题中，APYBD,

垂足为尸，且AP=3,贝ijA户工6=

答案：18

方法规律］方法一，利用数量积的几何意义求解；方

法二，利用三角形法则求解。

(三)向量的应用：向量与其它知识的交汇

交汇问题剖析

平面向量是高中数学的重要内容，具有代数与几何的双重身份，作为工具，

平面向量可以与其他知识自然交汇在一起，使数学问题的情境新颖别致、和谐融

合，既体现了知识的交汇综合，又凸现了向量的重要作用，也成为了高考中的热

点题型.

设计意图］在一轮复习中，向量安排在三角函数与解三角形之后，可通过例6、

7、8,以向量作为载体巩固三角函数与解三角形中的相关运算，收到一箭双雕的

效果。

1、向量与三角函数的交汇

典例6]已知向量a=(sinx,cosx),3=(sinx,sinx),c=(-l,0).

①若x=工，求向量与的夹角；

3

②若巴］,求函数/(x)=a4的最值；

84

③函数/(x)的图象可以由函数y=掾sin2x(xwR)的图象经过怎样的变换得

到？

解：(t)x=^,|a|=^sin2y+cos2y=1.又|c|=1,

«-c=-sin—+0=-^~,设、的夹角为a,

32

・a-cV3.54

・coscr=------••oc=—

T6

②f(x)=a-b=(sinx,cosx)•(sin%,sinx)=sin2x+sinxcosx

1-cos2x1._1.-1_1V2.小%、1

-------------1——sin2x=—sin2x—COSZXH—=—sin(2x----)H—,

22222242

X€-7T<2x--<—,

8444

・•・当x=£时f(x)=max=1；当％=时，/(x)min=1f

③先把y=，Zsin2x的图象上的所有点向右平移工个单位长度，得到

28

y=#sin(2x-()的图象，再把所得图象上所有的点向上平移;个单位长度，

就得到

y=^^sin(2x-?)+g的图象.

方法规律］解决向量与三角知识的综合题的关键是把向量关系转化为向量的有

关运算，然后再进一步转化为实数运算(即坐标运算).

2、与三角变换的交汇

典例7］设向量a=(4cosa,sina),h=(sin⑸4cos0,c=(cos/?,-4sin/?).

①若与1一2c垂直，求tan(6Z+/?)的值；

②求+N的最大值；

③若tanatan/?=16,求证：〃,

解析］①因为与各一2c垂直，所以。・(3-2c)=4cosasin/?-8cosacos/?+

4sinofcos/?+8sincrsin/?=4sin(a+/?)-8cos@+/?)=0

因此tan(a+/7)=2.

(2)由B+c=(sin/?+cos/?,4cos〃-4sin/3)得

|否+c|=J(sin。+cos0)2+(4cos/?—4sin/7)2=J17—15sin2/?<4A历.

且当夕=Z%-工(AwZ)时，等号成立，

4

所以|B+3的最大值为40.

@证明由tanatan尸=16,得生上4=心匕，所以〃.

sin(34cos尸

方法规律］利用向量的数量积和模的概念等去向量的外衣，转化为三角函数问

题，即可解决。

3、与解三角形的交汇

典例8］在A4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

A2V5-77;2

cos—=----AB-AC=3.

259

①求AABC的面积；

②若/?+c=6,求a的值.

解析］:①因为cos(=2『，

所以COSA=2COS24-i=3,sinA=±,

255

又由AC=3得此cosA=3,所以。c=5,

因此5.,„c=-/?csinA=2.

②由(1)知，bc=5,又加c=6.

所以b=5,c=l,或b=l,c=5.

由余弦定理，得/=〃+。2—2bccosA=20,所以a=2百.

方法规律］向量知识与解三角形的交汇问题，应重视正、余弦定理，以及三角

形面积公式的应用.

4、与平面几何的交汇

设计意图］以三角形四心问题为载体，让学生熟悉平面向量的线性运算、数量

积的运算法则，可渗透化归的思想，培养学生灵活运用运算法则的解题能力。

典例9］三角形四心问题

①、已知点0、N、尸在AABC所在的平面内，且|而=|为RnJ,

丽+丽+汨=6,

PAPB=PBPC=PCPA,则点0、N、P依次为MBC的

解析］①：IOA|=|OB|=|OC\,，|OA|=|OB|=|OC|：.0为AA3C的外心.

②取比的中点〃由丽+丽+近=。，丽=—(丽+汨)=—2砺

，AN=2ND即|AN|=2|ND|为A4BC的重心

③由西•丽=丽•正得丽(西一丙=().•.而石=0,BPPBVCA

同理PALBC,PCIAB为A4BC的垂心.

...点0、%、/依次为A4BC的外心、重心、垂心.

②。是AABC所在平面内一定点，动点尸满足OP=OA+〃誓-+,

\AB\\AC\

2G(0,+8),则点尸的轨迹一定通过AA3C的心.

»/A.2JJ......

解析］令0］=——,,e,=——.,则|e,|=|e,|=1.则OP—OA+A(e,+e2)

IAB|■|AC|

：.OP-OA=A(e^+e^),令而=［+［则崩=2而，又丸＞0

.•.尸在射线附上.又二/0平分NBAC.

.•.点尸的轨迹一定通过AA3C的内心。

设计意图］在复习完平面向量之后，可在复习不等式、数列、解析几何时通过例10、

11、12这样的题型及时巩固向量的运算求解能力。进一步让学生体会向量的载体

作用、工具性作用，培养学生的数学应用意识。

5、向量与不等式的交汇

典例10］。已知砺=(x,2x),而^(TxZ，如果NBAC是钝角，则x的取值范围是

©定义/(加)=(加,〃,〃)，其中必是AABC内一点，加、分别是AMBC、

AMCA,AMAB的面积，

已知AABC中，AB-AC=26,NBAC=30。，f(M)=(-,x,y),则一+一的最小

2xy

值是.

-114

答案：(1)(—co,——)U(——,0)U(―»+°°);(2)18

方法规律］平面向量与不等式交汇问题是高考的常考题型之一，应注重一元二次不

等式及基本不等式的应用.

6、向量与数列的交汇

典例11］已知数列｛%｝是等差数列，其前〃项和为S.

。若平面上的三个不共线的向量力，0B,反满足后=卬丽+的60无，且

4B、C三点共线,求益。；

sqqq

②求证：点耳（1,」）,W6（3,二），…，月伽,口）在同一直线上.

123n

①解：由力、B、。三点共线，则向量位与前共线，设丽=九丽（丸是实数）,

/.OA-OB=A,（OC-OB）,即有苏=（1—㈤而+2历，

XOA=axOB+a2010OC,a,-1—A,a2mQ-A.,故q+a2oio=L

又S,是等差数列｛4｝的前A项和，

2010(4+42010)_]005

,,$2010

~1.一,

②证明：设他“｝的首项为a,公差为d,

in（n-V）,.Snn-l,

则miSc—d-------d9••-Q］d-----d,

n2n2

.d----17—1d

又=（1,-）,—-1＞磅=（n-l）（l,-）,

.•.丽=（〃-1）耳耳，即向量而、耳与共线，

sSSV

:・P\、%-三点共线,也即点4（1，,），2（2,」），8（3,二），…,P”（D

123n

在同一直线上.

方法规律］近几年向量与数列知识相结合是高考的常考点，主要以向量为载体

引出数列知识的考查，平时应加强练习.

7、向量与解析几何的交汇

典例12］已知平面上一定点C（2,0）和直线/:%=8,尸为该平面上一动点，

作PQ_U,垂足为0,且（定+3而）•（无一（而）=0

。求动点P的轨迹方程；

②若"为圆N:/+（），-1产=1的任一条直径，求而.方的最值.

解析]①设P(x,y),则。(8,y).

由（无+,而）•（无一,而）=0,得I正/—_L|而|2=0,

224

2

即（X—2）2+y2-l（x-8）=0,

丫2V2

所以点〃在椭圆上，其方程为二+二=1

1612

...........2.2.2

(2)0PE-PF=(PN+NE)-(PN+NF)=(PN+NE)•(PN-NE)=PN-NE=PN-1,

22

又一是椭圆—+2=1上任一点，设户(%,九)，

1612

则有9+9=1,即》；=16-也，又N(0,1),

1612°3

----211

所以PN=焉+(儿—1)2=_“：一2%+17=-)(％+3)2+20

因%€［-26,2右］,所以当外=-3时，而?取得最大值20,故而•丽的最

大值为19；

当先=2/时，丽2取得最小值为13-46(此时/=0),故而•丽的最小

值为12-46.

方法规律］向量在解析几何中的作用：

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题

时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间

的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。

(2)工具作用：利用=〃各=4区/()),可解决垂直、

平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、

平行问题是一种比较可行的方法.

四、难点突破策略

(―)本章难点

平面向党的线性运算、数量积间的数形转换。

(二)难点突破策略

1、复习课的设计

以教材为蓝本以一轮复习资料为载体，通过预习评价一一小组讨论(解决

预习中的问题)一一回归课本、梳理知识点、强化概念的理解一一典例分析，

师生互动，归纳思想方法一一练习巩固反馈提升为主线构建高效课堂。

2、在概念理解上下功夫

教师可通过一组小题来强化概念的理解：如单位向量、相等向量、零向量、数

量积中的投影等。

(1)设，都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使心-+-2=6成立的是

M闻

()

A.a=--bB.//C.a=2bD.±

3

答案A

(2)AABC的外接圆的圆心为O,AB=2,A(=3,BC=J7,则布•丽=.

答案：-

2

(3)定义两个平面向量的一种运算“(8)办=|a|•向sin〈a,B〉，则对于两个平面

向量，，下列结论错误的是()

A.a®h=b®aB.A(a®b)=(Aa)®b

C.(a0b)2+(a-b)2=\a\2-\b\2

D.若a=(x，y),b=(x2,y2),则=|王必一看,I

答案：B

(4)设0为两个非零向量，的夹角.已知对任意实数t,|3+G|的最小值为1

()

A.若。确定，则||唯一确定B.若。确定，则|唯一确定

C.若|确定，则。唯一确定D.若」确定，则。唯一确定

答案：B

3、抓住平面向量中两种主要方法：基向量法和坐标法

(1)能转化为坐标运算的可考虑建立平面直角坐标系利用坐标法求解(条件

中有已知两向量的模和夹角比较特殊时)；

(2)不能转化为坐标运算的应渗透函数、方程的思想灵活运用基向量法求解；

©.已知在AABC中，N4"为钝角，AC=BC=l,cd^xCA+yCB,且

——►——►——►

x+y=l.若函数—的最小值为券，贝||。。|的最小值为

答案4

(2).设61为AABC的重心，若£120。，ABAC=-l,贝U|4G|的最小值为

)

A.3民立C.1D,1

3334

答案：B

（3）.已知A4BC的外接圆的圆心为0,半径为1,若3苏+4为+5。己=6,则

AA3C的面积为（）

A.-B.-C.—D.-

52105

4、重视向量运算的几何意义，运用几何作图法解题。

典例］已知向量为=（2,0）,向量反=（2,2）,向量值=（正cosa,V^sinc）,

则向量次与向量丽的夹角的取值范围是.

答案：［工，工加

1212

5、关注两个重要结论在解题中的作用

1）在A4BC中，若D为BC的中点，则A6+AC=2AZ）

"•..3.

2）若0A与08不共线，且OC=/IOA+〃OB,则A、B、C共线的充要条件

2+4=1O

五、训练题的选择及其意图

试题以平面向量为主线，重点考查向量共线、垂直、数量积、模等运算

及应用问题并穿插集合、逻辑、函数与导数，三角函数与解三角形等已复习知

识，让学生全面检查所学知识，方法是否掌握，常见方法是否会用，常见转化

技巧是否掌握，针对反馈情况在下一阶复习中再考查掌握不太好的题型，在滚

动中逐步熟练掌握复习的内容。（附一份试卷）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1.设集合A={2,lnx},B={x,y］,若405={0},则y的值为（）

A.0B.1C.2D.3

2.命题：“存在xGR+,/。”=一叫刈力”的否定是（）

A.存在xGR',r-log2014XB.任意xGR',w-log2014X

20l420l4

C.存在x£R‘，x>-log20l4xD.任意xWR',x<-log20l4x

3.已知非零向量，，设与的数量积为加，与的夹角为a,贝「'加V0”是“a

为钝角”的（）

A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件

4.已知点4(1,2),6(-2,6),则与AB共线且同向的单位向量为()

A.(一1'§或(一］，$c.?,一|

5.已知函数y=/(x)在定义域为［T,2］,函数y=/(log2X)定义域是()

A.[1,2]B.[0,4]C.(0,41D.[-,4J

6.将函数y=sin(x+2)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不

6

变)，再向左平移争个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()

c3万

A.x=0B.否C.X-7TD.x=—

2

7.在平面直角坐标平面xOy中，若定点4(1,2)与动点一(1,与满足

向量而在向量而上的投影为-石，贝|||9|=()

A.1B.3C.V5D.5

—TTTT

8.如在图所示为函数/(%)=2sin(w+e)(0<&<耳，2«°W乃)的

部分图象，若/(一1)=2,贝U|AB|=()

A.3B.4C.5D.6

9.在三角形4?。中，若(4?一3Ao_LCB,则角］的取值范围是()

Tt

A.(0,f)B.(0,-]C(■D..

66

一』/+一+这一4在％=2处的切线的斜率为3,则当

10.已知函数/*)

3

/(sina)+/f(cos/?)(«,e[0,2r))取得最大值时，a+(3=()

3冗

A.0D.71D.

BIT

二、填空题(每小题3分，共35分)

11.若|A8|=8,13cl=5,贝]|AC|的取值范围是

12.设a、夕都是锐角，且cosa=*，sin(a+/?)=1,则

cosy?

13.设，是平面直角坐标系(坐标原点为。)内分别与x轴、y轴方向相

同的两个单位向量，且=—2；+］,OB=4i+3j,则AOAB的面积等于

14.已知圆。的直径为3,在直径16上取一点〃使而=3而，E,F为另

一直径的两个端点，则ZJE•。尸=.

15.在AABC中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,且

2czsinA=(2sinB+sinC)Z?+(2c+Z?)sinC,则A-.

16.已知Ji，'"。-J-~~=-2tana,则使等式成立的角a的集合为

vl-sinav1+sina

17.已知A45C中，ZA,ZB,/C的对边分别为a,b,

c9若a=l,2cosC+c=2b,则AA8C的周长的取值范围

是.

三、解答题(共65分)

18.(本小题满分12分)

△ABC中，力G=3,向量〃2=(血,sinA),n=(cosA,V2)

m-n=2.

(1)求角小

(2)AABC的面积为3,求优：

19.(本小题满分12分)

已知向量a=(cos(2K+V3sin6!K,f(x)),(cos0r,-l)其中。＞0,且。

又函数/(X)的图象两相邻对称轴之间的距离为3万.(1)求函数/(X)在区

间Hr,马上的值域；

2

(2)若4B,。为AABC三个内角且满足：

3,

2sinB=cos(A-C)-cos0+C),/(3C)=；,求tanA的值.

20.(本小题满分13分)

已知向量加=(1,1),单位向量与向量加的数量积/”•〃=-：!,

(1)求向量；

(2)若向量［=(1,0)且向量］=905423529),其中A、C为MBC

的内角，且4B、。依次成等差数列，求|%+臼的取值范围.

21.(本小题满分14分)

22

如图，椭圆G：q+y2=i和双曲线。2：3->2=1有公共顶点A、B,P、Q

分别在G、C2且异于A、B点、。直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为

kp42、..且占+k2+1+44=。。

(1)求证：0、P、。共线。

(2)设耳、鸟分别为C、。2的右焦点，

求婷+婷+婷+左；的值

PFI//QF2,

22.(本小题满分14分)

已知函数/(X)=lnx,g(x)=/(=+#_3x,函数g(x)的图象在点(1,g

(1))处的切线平行于x轴.

(1)求a的值；

(2)求函数g(x)的极小值；

(3)设斜率为左的直线与函数/(x)的图象交于两点4>|,必)，B(x2,y2),

其中不〈热证明」-<k<—.

x2x}

【参考答案】

1-5ABCBD6-10ADCBB

11、3,13]；12、—；13、5；14、-2；15、12QP；

25

rr37r

16、{aa=k7v^2k7T+—<a<lk7r-v—.keZ}；17、(2,3]

18、(1)A=-;(2)AB=2&BC=逐

4

19、(1)(2)tanA=-^^.

222

--A/2A/S

20、(1)〃=(-〃,0)或〃=((),-1)；(2)-y,y-).

21.解：⑴设尸(和凶),。(乙,必),则

k.+k.+k.+k.=——+——+-+—%—

Xj+2%一2%+2%—2

=2D2*2%

X：-4x；-4

X；―4=_4犬,只-4=4y；4+/+&+/=2：)；+=今一？-

-4%4y-2%2y

=ZLJ——±2_L由K+&+&+々4=0得丫1%2—%玉=0

2y%

即(斗,乂)/心2，S)所以0、P、Q三点共线

(2)耳(g,0),月(石,0)由PF〃QFz知|0P|：|0Q|=73：V5

因为0、P、Q三点共线，所以3x?=±3...............①

考5

设直线PQ的斜率为k,则

—+lcx^=\

<4得（”诉=（卜/）考.......②

・一公片=144

22

由①②得k2=2又攵的=/1_=鼻=_工,

2

16-xf-4-4yf4

从而k；+k；+%；+k：=(k、+左2)〜+*3+44>—2**2+k3k&)=2(k]+k?)2

2/2

22、(1)a=l；(2)-2.

附录:

三角函数微专题教学设计

三角函数是一种重要的初等函数，它在解决高中数学的问题上具有广泛的应用，是高中

数学的主干知识之一，也是高考必考的重点内容。它对运算求解能力，分析转化能力和逻辑

推理能力要求较高，可作为区分能力，考查能力的重要手段。因此三角函数的复习要引起我

们足够的重视，下面我从两个部分谈谈三角函数的复习。

第一部分：三角函数总体设计

一、阐释考试说明对该专题的要求

(一)《新课程标准》对三角函数的要求

(1)任意角、弧度制

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

(2)三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式g土a,7r±a的正弦、余弦、正切)，能

画出y=s/cx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2用，正切函数在(-f,f)上的性质(如

单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。

④理解同角三角函数的基本关系式:错误！未找到引用源。

⑤结合具体实例，了解错误！未找到引用源。的实际意义；能借助计算器或计算机画

出错误！未找到引用源。的图象，观察参数A,3,◎对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函

数模型。

(3)三角恒等变换

①经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作

用。

②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公

式，但不要求记忆)。

(4)解三角形

①通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一

些简单的三角形度量问题。

②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际

问题。

(-)全国考试说明对本专题的要求

1、任意角、弧度制

(1)了解任意角的概念和弧度制的概念。

(2)能进行弧度与角度的互化。

2、三角函数

(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出三土a,兀土a的正弦、余弦、正切的诱导公式，能

画出y=s加x,y=C05X,y二Sex的图象，了解三角函数的周期性。

（3）理解正弦函数、余弦函数在0,2川上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x轴

的交点等），理解正切函数在（-1,'）上的单调性。

（4）理解同角三角函数的基本关系式：错误！未找到引用源。

（5）了解函数错误！未找到引用源。的物理意义；能画出函数错误！未找到引用源。的图

像，了解参数A,3,0对函数图象变化的影响。

（6）会利用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函

数模型。

3、三角恒等变换

（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

（3）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、

正切公式了解他们的内在联系。

（4）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但

不要求记忆）

4、解三角形

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问

题。

二、本专题可测的知识点、能力点、思想点

1、知识点：本专题的核心知识是任意角三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的图

象与性质、正、余弦定理解三角形。

2、能力点：运算求解能力、逻辑推理能力、分析判断能力。

3、思想点：数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想。

三、复习安排：

第

1讲

任意角、弧度制及任意角的三角函数（1课时）

讲

第2

同角三角函数基本关系式与诱导公式（1课时）

讲

第3

两角和与差及二倍角公式（2课时）

讲

第4

三角函数的图象与性质（2课时）

讲

第5

函数错误！未找到引用源。的图象及应用（2课时）

讲

第6

正弦定理、余弦定理及解三角形（2课时）

讲

第7

三角综合问题（4课时）

第7讲4课时，包括作业评讲，测试卷评讲，本单元复习共需两周时间。

四、全国I卷考点分布与考查概况:

年份题号分数涉及知识点

（1）三角函数图像与性质（单调性）；

20129,1717

（2）解三角形.

（1）三角恒等变换，三角函数的性质（最大值）

201315,1717

（2）解三角形.

（1）三角函数定义；

20146,8,1615（2）三角恒等变换；

（3）解三角形.

（1）同角三角函数的基本关系式，三角恒等

变换；

20152,8,1615*应）三角函数的图像与性质；

（3）解三角形.

（1）三角函数图像与性质；

201612,1717

（2）解三角形.

1.考查题型：一般为三个小题（两道选择题，一道填空题），或一小一大（一个选择题，

一个解答题），分值为15分或17分，从近几年的考查来看，属于中低档难度.

2.考查内容：小题重在基础知识的应用，主要考查三角函数图像与性质、三角恒等变换、

解三角形；大题侧重于对解三角形问题的考查，主要考查三角恒等变换与解三角形.

五、高考预测：

预计本专题在今后的高考中，主要考查以下三个方面的内容：

1.三角函数定义与三角恒等变换（主要考三角函数化简求值问题）

2.三角函数图像与性质

3.正弦定理、余弦定理解三角形

三角函数部分，依然强调对基本知识和基本方法的考查。近几年高考突出“能力立意”，

加强了知识的综合性和