高中数学课堂讲义-总体集中趋势的估计

高中数学课堂讲义一总体集中趋势的估计

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点众数、中位数和平均数...............................................1

3.课堂测试....................................................................2

4.众数、中位数、平均数的计算.................................................3

5.平均数、中位数、众数的应用.................................................4

6.利用频率分布直方图估计总体的集中趋势......................................6

7.课堂作业....................................................................8

1.教学大纲

新课程标准解读核心素养

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数据分析、数学

数、中位数、众数）运算

数学运算、数学

2.理解集中趋势参数的统计含义

建模

现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对

其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年）：甲：3,4,5,6,8,8,8,

10;乙：4,6,6,6,8,9,12,13;丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

［问题］三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识,

你能说明为什么吗？

2.知识点众数、中位数和平均数

1.众数、中位数、平均数定义

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数;

（2）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置

第1页共16页

的数（或中间两个数的平均数）;

（3）平均数：一组数据的也除以数据个数所得到的数.

2.总体集中趋势的估计

（1）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布

的形态有关；

（2）对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（图①）,

那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”（图②），那

么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（图③），那么平均数小于中位

数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边；

（3）对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用

平均数、中位数；对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势

的描述，可以用众数.

众数、中位数、平均数的比较

名称优点缺点

①它只能表达样本数据中很少的一

众①体现了样本数据的最大集中点；

部分信息；

数②容易计算

②无法客观地反映总体的特征

中①不受少数几个极端数据（即排序靠

位前或靠后的数据）的影响；

对极端值不敏感

数②容易计算，便于利用中间数据的信

息

代表性较好，是反映数据集中趋势的任何一个数据的改变都会引起平均数

量.一般情况下，可以反映出更多的的改变.数据越“离群”，对平均数的

关于样本数据全体的信息影响越大

一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？

提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.

3.课堂测试

1.判断正误.（正确的画“，错误的画“X”）

第2页共16页

(1)中位数是一组数据中间的数.()

(2)众数是一组数据中出现次数最多的数.()

(3)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起

平均数的变化.()

答案：(1)X(2)V(3)7

2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.

4+6+5+8+7+6

解析:7=6.

答案：6

4.众数、中位数'平均数的计算

［例1］(链接教科书第203页例4)(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚

球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：

甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26；

乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11.

则下面结论中正确的是()

A.甲的极差是29B.乙的众数是21

C.甲的平均数为21.4D.甲的中位数是24

［解析］把两组数据按从小到大的顺序排列，得

甲：8,12,13,20,22,24,25,26,27,37;

乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23.

故甲的最大值为37,最小值为8,则极差为29,所以A正确；乙中出现最

多的数据是21,所以B正确；甲的平均数为x产*X(8+12+13+20+22+24

+25+26+27+37)=21.4,所以C正确；甲的中位数为^*(22+24)=23,故D

不正确.

［答案］ABC

平均数、众数'中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据

第3页共16页

按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.

［跟踪训练］

1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90

分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均

数、众数、中位数分别是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

解析：选C从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,

90,95,100,观察知众数和中位数均为85,计算得平均数为87.

2.已知一组数据尤”X2,X3,X4,X5的平均数是2,那么另一组数据级1-3,

2犯一3,2%3-3,2x4—3,2x5~3的平均数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A因为一组数据Xi,X2,X3,X4,九5的平均数是2,所以另一组

数据2xi—3,2x2—3,2小一3,2x4—3,2*一3的平均数为2X2—3=1.故选A.

5.平均数、中位数、众数的应用

［例2］（链接教科书第205页例5）据了解，某公司的33名职工月工资（单位:

元）如下:

职茶副董革总经管职

务事长事长事经理理理员员

人2

112153

数0

工111098654

资000000000000500500000

⑴求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;

（2）假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11

000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到元）？

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一

第4页共16页

谈你的看法.

［解］⑴平均数是：~=4000+表(7000+6000+5000X2+4000+2

500X5+1500X3+0X20)七4000+1333=5333(元).

中位数是4000元，众数是4000元.

—1

(2)平均数是x'=4000+^(26000+16000+5000X2+4000+2500X5

+1500X3+0X20)^4000+2212=6212(元).

中位数是4000元，众数是4000元.

(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公

司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数

偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

众数、中位数、平均数的意义

(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中

众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中

的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越

极端的数据对平均数的影响也越大；

(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一

组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.

［跟踪训练］

如表是五年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次):

班93698345330

班57989095909

(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？

(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？

解：(1)一班平均数：(19+33+26+29+28+33+34+35+33+33+30)X1

=333+11=30.27（次）,

第5页共16页

一班数据从小到大排列为：19,26,28,29,30,33,33,33,33,34,

35,

所以一班中位数为33次,

33出现的次数最多，众数是33次;

二班平均数：（25+27+29+28+29+30+29+35+29+30+29HU=

320・11^29.09（次）,

二班数据从小到大排列为：25,27,28,29,29,29,29,29,30,30,

所以二班的中位数是29次,

29出现的次数最多，所以二班的众数是29次.

(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适.

6.利用频率分布直方图估计总体的集中趋势

［例3］某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数

学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.

—1

(1)求这次测试数学成绩的众数;

(2)求这次测试数学成绩的中位数.

70+80

［解］(1)由题干图知众数为则这名学生的数学成绩的众数

2=75,80

为75分.

(2)由题干图知，设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩

形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第四个矩形内，得0.1=0.03X(x

-70),所以x^73.3,即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.

［母题探究］

1.(变设问)若本例的条件不变，求数学成绩的平均数.

4()55()6

解：由题干图知这次数学成绩的平均数为：tOX0-005X10+t0X

第6页共16页

,60+70,70+80,80+90,

0.015X10+―2—X0.02X10+―—X°-03X10+-2-X0.025X10+

90+100、

—2—X0.005义10=72(分).

2.(变设问)若本例条件不变，求80分以下的学生人数.

解：分数在［40,80)内的频率为：(0.005+0.015+0.020+0.030)X10=0.7,

所以80分以下的学生人数为80X0.7=56.

用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数

(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；

(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积

相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；

(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中

每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

［跟踪训练］

某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名

学生，统计他们假期参加实践活动的时间(单位：小时)，绘成的频率分布直方图

如图所示.

(1)求这100名学生中参加实践活动时间在6〜10小时内的人数；

(2)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数.

解：(1)100X［1-(0.04+0.12+0.05)X2］=58(^),

即这100名学生中参加实践活动时间在6―10小时内的人数为58.

(2)由频率分布直方图可以看出最高矩形底边中点的横坐标为7,故这100

名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时.

设中位数为t,由(0.04+0.12)X2=0.32,(0.04+0.12+0.15)X2=0.62,

0.32<0.5<0.62,得中位数t满足6a<8.

第7页共16页

由0.32+(r-6)X0.15=0.5,

得f=7.2,

即这100名学生参加实践活动时间的中位数的估计值为7.2小时.

由(0.04+0.12+0.15+a+0.05)X2=l,

解得a=0.14,

这100名学生参加实践活动时间的平均数的估计值为0.04X2X3+

0.12X2X5+0.15X2X7+0.14X2X9+0.05X2X11=7.16(小时).

7.课堂作业

1.已知数据-3,-2,0,6,6,13,20,35,则它的中位数和众数各是()

A.6和6B.3和6

C.6和3D.9.5和6

解析：选A•.•从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6,...中

位数是6...飞出现的次数最多，J众数是6,故选A.

2

2.一组数据1,10,5,2,x,2,且2<x<5,若该数据的众数是中位数的］

倍，则该数据的平均数为.

2

解析：根据题意知，该组数据的众数是2,则中位数是23=3,把这组数

2+x

据从小到大排列为1,2,2,x,5,10,则亍=3,解得x=4,所以这组数据

的平均数为(14-2+2+44-5+10)=4.

答案：4

3.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表

所示:

成绩(单位：11111111

m).50.60.65.70.75.80.85.90

人数23234111

分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.

解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众

第8页共16页

数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据

1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.

12875

这组数据的平均数是x=pyX(1.50X2+1.60X3d-----F1.90X1)=7广心

1.69(m).

故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m.

[A级基础巩固]

1.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：91,89,90,92,94,

87,93,96,则这组数据的中位数和平均数分别是()

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

解析：选A•.•这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,

96,

口，.91+92

.•.中位数L是一2一=915

…L—87+89+90+91+92+93+94+96

平均数

x=----------------------O«----------------------=91.5.

2.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成如下频率分布表，根据该表

估计该班级的数学测试平均分为()

分

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

组

人

5152010

数

频

0.10.30.40.2

率

A.80B.81

C.82D.83

解析：选C平均分；=65X0.1+75X0.3+85X0.4+95X0.2=82,故选

3.下面是某实验中学某班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、800m跑

第9页共16页

的成绩折线图（如图所示），则这5位同学立定跳远的中位数，跳绳的平均数，800

m跑的众数分别是（）

A.1.98,131,3.88

C.1.98,130,3.88D.1.98,130,3.65

解析：选C由图中数据，可得立定跳远的中位数为1.98,跳绳的平均数

为,X[(13O-l)+(13O+5)+(13O-7)+(13O+2)+(13O+l)]=gx130X5=130,

800m跑的众数为3.88.故选C.

4.已知样本数据XI，X2,…，X10，其中Xi,X2,X3的平均数为a，X4,X5,

尤6,…，XK）的平均数为。，则样本数据的平均数为（）

a+匕3a+lb

A-2B-io-

7a+3〃a+b

c--io-D-~io~

解析：选BX\,X2,X3的平均数为a,则X|,X2,X3的和为3〃，X4,、5,46,…，

尢io的平均数为则工4,工5,M）,…，xio的和为7/?,・,•样本数据的和为3a+7/7,

QIrI

样本数据的平均数为“IO’,故选B.

5.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输

入为165,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是.

解析：数据的和相差了165—105=60,平均相差果=2,故求出的平均数与

实际平均数相差2.

第10页共16页

答案：2

6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表:

等待时

间[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

（分钟）

频数48521

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值》=.

—1

解析：x=而义（2.5X4+7.5X8+12.5X5+17.5X2+22.5X1）=9.5.

答案：9.5

7.若有一个企业，70%的员工年收入1万元，25%的员工年收入3万元，

5%的员工年收入11万元，则该企业员工的年收入的平均数是万元，中

位数是万元，众数是万元.

解析：年收入的平均数是1X7O%+3X25%+11X5%=2（万元）.因为70%

的员工年收入1万元，其他的只占30%,所以年收入的中位数、众数都为1万

元.

答案：211

8.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五

组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、

五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.

求：（1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数；

（2）高一参赛学生的平均成绩.

解：（1）由题图可知众数为65,

因为第一个小矩形的面积为0.3,第二个小矩形的面积为0.4,0.3+0.4>0.5,

所以设中位数为60+x,则0.3+xX0.04=0.5,得x=5,

第11页共16页

所以中位数为60+5=65.

⑵依题意，平均成绩为55X0.03X10+65X0.04X10+75X0.015X10+

85X0.01X10+95X0.005X10=67,故平均成绩约为67.

9.甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确

使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行

抽查，抽查的各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)：

甲厂：6,6,6,8,8,9,9,12；

乙厂：6,7,7,7,9,10,10,12；

丙厂：6,8,8,8,9,9,10,10.

(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：

(3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？

解：(1)甲厂：8,6,8;乙厂：8.5,7,8;丙厂：8.5,8,8.5.

(2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了

平均数或众数或中位数.

(3)选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，

丙厂水平都比较高或持平.

[B级综合运用]

10.“小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7000元；②年人

均食品支出(单位：元)不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如

表所示，年人均食品支出如图所示，则该县()

第12页共16页

2468101216

人均收

000000000000000000000

入/元

人

3556753

数/万人

A.是小康县

B.达到标准①，未达到标准②，不是小康县

C.达到标准②，未达到标准①，不是小康县

D.两个标准都未达到，不是小康县

解析：选B由图表可知年人均收入为（2000X3+4000X5+6000X5+8

000X6+10000X7+12000X5+16000X3）+40=7050（元），达到了标准①；年

人均食品支出为（1400X3+2000X5+2400X13+3000X10+3600X9）+40=

2695（元），则年人均食品支出占收入的黑|xi00%"38.2%>35%,未达到标准

②，所以该县不是小康县.

11.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集

了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表

的一部分.

中读量

[10,[20,[30,[40,+

[0,10)

20)30)40)8)

别

男73125304

别女82926328

初

25364411

段中

第13页共16页

高

'I'

学生类别阅读量

下面有四个推断：

①这200名学生阅读量的平均数可能是25本；

②这200名学生阅读量的75%分位数在区间［30,40）内；

③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间［20,30）内；

④这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间［20,30）内.

所有合理推断的序号是.

解析：在①中，这200名学生阅读量的平均数x>±X（5X15+15X60+

25X51+35X62+45X12）=24.8,这200名学生的平均阅读量可能是25本，故

①正确；

在②中，200X75%=150,阅读量在［0,30）的人数有7+8+31+29+25+

26=126人，

在［30,40）的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间

［30,40）内,故②正确；

在③中，设在区间10,10）内的初中生人数为x,则光可0,15］,xGN",

当x=0时，初中生总人数为25+36+44+11=116人，当=58,

此时区间［0,20）内有25人，区间［20,30）内有36人，所以中位数在［20,

30）内,

131

当x=15时，初中生总人数为15+25+36+44+11=131人，-=65.5,

区间［0,20）内有1