初中数学易错题13.1轴对称

13.1轴对称

一.选择题（共3小题）

1.如图，在3X3的网格中，与AABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的

三角形有（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

【分析】依据对称轴的不同位置，即可得到位置不同的三角形.

故选：D.

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点

的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴.

2.如图，在aABC中，NC=90。，点A关于BC边的对称点为A，，点B关于AC

边的对称点为B，，点C关于AB边的对称点为C,则4ABC与△ABC的面积

之比为（）

A.1.B.1.C.2D.3

2357

【分析】连接CC'并延长交AB于D,连接CB)CA',依据AC=A'C,BC=B'C,Z

ACB=ZA'CB',可得△ABC^^A'B'C,进而得出SMBC=SAAEC，再根据CD=CE=EC,

可得SAA,B^-I-SAA'B'C'J进而得到SAABC=-^-SAA'B'C，•

33

【解答】解：如图，连接CC并延长交AB于D,连接CB',CA',

•点A关于BC边的对称点为A',点B关于AC边的对称点为B\点C关于AB

边的对称点为C,

/.AC=A'C,BC=B'C,ZACB=ZA'CB\AB垂直平分CC',

/.△ABC^AA'B'C(SAS),

SAABC=SAA'B'C>/A=/AA'B',AB=A'B',

.•.AB〃A'B',

.,.CD±A'B',

.•.根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD=CE,

.*.CD=CE=EC,

SAA'B'C=Is△A'B,C''

3

•"SAABC=—SAA'B'C'，

3

.,.△ABC与△ABC的面积之比为L,

3

故选：B.

C'

【点评】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关

键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一

对对应点所连线段的垂直平分线.

3.如图，点D是等腰直角4ABC腰BC上的中点，B、B，关于AD对称，且BB，交

AD于F,交AC于E,连接FC、AB',下列说法：①NBAD=30°；②NBFC=135°；

③AF=2B'C；@SAAFE=SAFCE，正确的个数是（）

【分析】依据点D是等腰直角4ABC腰BC上的中点，可得tanNBAD=L,即可

2

得至IJNBADW30。；连接B'D,即可得至UNBB'C=NBB'D+NDB'C=90。，进而得出

△ABF^ABCB',判定△FCB,是等腰直角三角形,即可得到NCFB'=45。，即N

BFC=135°；由4ABF之△BCB',可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据AAEF与aCEB'不

全等，即可得到SMFEWS^CE.

【解答】解：•••点D是等腰直角AABC腰BC上的中点，

.*.BD=1BC=1AB,

22

，tanZBAD=—,

2

...NBADW30。，故①错误；

如图，连接B'D,

VB>B，关于AD对称,

AAD垂直平分BB',

AZAFB=90°,BD=B'D=CD,

.,.ZDBB'=ZBB'D,ZDCB'=ZDB'C,

，NBB'C=NBB'D+NDB'C=90°,

，ZAFB=ZBB'C,

XVZBAF+ZABF=90°=ZCBB'+ZABF,

/.ZBAF=ZCBB',

/.△ABF^ABCB',

.*.BF=CB'=B'F,

.••△FCB，是等腰直角三角形，

.,.ZCFB'=45°,即NBFC=135°,故②正确；

由△ABFgZXBCB',可得AF=BB'=2BF=2B'C,故③正确;

VAF>BF=B'C,

/.AAEF与^CEB'不全等，

.♦.AEWCE,

SAAFE^SAFCEJ故④错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如

果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直

平分线.

二.填空题（共5小题）

4.如图，四边形ABCD中，AB=BC,点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，

若NBDC=a，则NABC的度数为180°-2a（用含a的代数式表示）.

【分析】依据轴对称的性质，即可得出△BCDGABED,ZA=ZAEB,再根据四边

形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZADC=2ZBDC=2a,即可得至【J/ABC=180°

-2a.

【解答】解:如图所示，连接BE,

点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，

，BC=BE=AB,DE=DC,

/.△BCD^ABED,NA=NAEB,

，NBCD=NBED,

XVZBED+ZAEB=180°,

ZA+ZBCD=180",

二四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,

又•.•NADC=2NBDC=2a,

，ZABC=180°-2a,

故答案为：180°-2a.

【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及四边形内角和的运用，如果两个图形

关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

5.如图，在aABC中，AF平分NBAC,AC的垂直平分线交BC于点E,ZB=70",

ZFAE=19°,则NC=24度.

D

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC,得到NEAC=NC,根据角平

分线的定义、三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：:DE是AC的垂直平分线，

EA=EC,

/.ZEAC=ZC,

/.ZFAC=ZEAC+19°,

VAF平分NBAC,

.,.ZFAB=ZEAC+19°,

VZB+ZBAC+ZC=180°,

70°+2(ZC+19°)+ZC=180°,

解得，ZC=24°,

故答案为:24.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理,掌握线段

的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

6.已知NAOB=45。，点P在NAOB内部，点Pi与点P关于0A对称,点P2与点

P关于0B对称，连接P1P2交OA、0B于E、F,若PIE=L，则EF的

2

【分析】由P,Pi关于直线0A对称，P、P2关于直线0B对称，推出0P=0Pi=0P2,

ZAOP=ZAOP1，ZBOP=ZBOP2,推出NPIOP2=90。，由此即可判断△P10P2是

等腰直角三角形，由轴对称可得，ZOPE=ZOP1E=45°,ZOPF=ZOP2F=45°,

进而得出NEPF=90。，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度.

【解答】解：YP，Pi关于直线0A对称，P、P2关于直线0B对称，

，OP=OP1=OP2=M，ZAOP=ZAOP1，ZBOP=ZBOP2,

VZAOB=45°,

/.ZPIOP2=2ZAOP+2ZBOP=2(ZAOP+ZBOP)=90",

.•.△P1OP2是等腰直角三角形，

AP1P2=22=2,

7PIO+P2O

设EF=x,

VPiE=l=PE,

2

.•.PF=P2F=3-x,

2

O

由轴对称可得，ZOPE=ZOPiE=45°,Z0PF=Z0R2F=45,

；.NEPF=90°,

PE2+PF2=EF2,即(0)2+(A-x)2=x2,

22

解得x=亘.

6

故答案为：1.

6

【点评】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是

灵活运用对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解.

7.如图，^ABC中，D是AB的中点，DEJ_AB,ZACE+ZBCE=180°,EF_LAC交

AC于F,AC=12,BC=8,则AF=10.

【分析】先连接AE,BE,过E作EGLBC于G,根据角平分线的性质以及中垂线

的性质，得出EF=EG,AE=BE,进而判定RtZkAEF组RtZ\BEG,即可得到AF=BG,

据此列出方程12-x=8+x,求得x的值，即可得到AF长.

【解答】解：连接AE,BE,过E作EGLBC于G,

是AB的中点,DE±AB,

ADE垂直平分AB,

，AE=BE,

,/ZACE+ZBCE=180°,ZECG+ZBCE=180°,

/.ZACE=ZECG,

又•.•EF_LAC,EG±BC,

，EF=EG,NFEC=/GEC,

VCF1EF,CG1EG,

/.CF=CG,

在RtAAEF和RtABEG中，

[AE二BE,

1EF=EG，

RtAAEF^RtABEG(HL),

，AF=BG,

设CF=CG=x,则AF=AC-CF=12-x,BG=BC+CG=8+x,

12-x=8+x,

解得x=2,

AAF=12-2=10.

故答案为：10.

D

BCG

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解

决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行

求解.解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线

上任意一点，到线段两端点的距离相等.

8.AABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D,EG是AC的垂直平分线，交

BC于E,若NDAE=30°,则NBAC等于75。或105。.

【分析】分两种情况讨论：NBAC为锐角，NBAC为钝角.先根据线段垂直平分

线的性质，得出DA=DB,EC=EA,得到NB=/BAD,ZC=ZCAE,再根据关系

式NDAE=NBAD+NCAE-ZBAC或NDAE=/BAC-ZBAD-ZCAE,即可求得

ZBAC的度数.

【解答】解：①如图，当NBAC为锐角时，

YDF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，

ADA=DB,EC=EA,

/.ZB=ZBAD,NC=NCAE,

VZDAE=ZBAD+ZCAE-ZBAC,且NDAE=30°,

A30°=ZB+ZC-ZBAC,

即30°=(180°-ZBAC)-ZBAC,

解得NBAC=75。.

②当NBAC为钝角时，

VDF是线段AB的垂直平分线，

DA=DB,

/.ZB=ZDAB,

同理NC=NEAC,

VZB+ZDAB+ZC+ZEAC+ZDAE=180°,

/.ZDAB+ZEAC=1(180°-30°)=75°,

2

/.ZBAC=180o-75°=105°,

故答案为:75。或105。.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应

用，解决问题的关键是运用角的和差关系：NDAE=NBAD+NCAE-NBAC或

ZDAE=ZBAC-ZBAD-ZCAE.

三.解答题(共2小题)

9.如图，在等边aABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA.

(1)求证：ZBAD=ZEDC；

(2)作出点E关于直线BC的对称点M,连接DM、AM,猜想DM与AM的数

量关系，并说明理由.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，得出NE=NDAC,根据等边三角形的性质,

得出NBAD+ZDAC=ZE+ZEDC=60°,据此可得出NBAD=NEDC；

(2)根据轴对称作图，要证明DA=AM,只需根据有一个角是60。的等腰三角形

是等边三角形，证aADM是等边三角形即可.

【解答】解：(1)如图1,〈△ABC是等边三角形，

/.ZBAC=ZACB=60°.

又,/ZBAD+ZDAC=ZBAC,NEDC+NDEC=NACB,

/.ZBAD+ZDAC=ZEDC+ZDEC.

VDE=DA,

/DAC=/DEC,

/.ZBAD=ZEDC.

(2)猜想：DM=AM.理由如下:

•.•点M、E关于直线BC对称，

.*.ZMDC=ZEDC,DE=DM.

又由(1)知NBAD=NEDC,

/.ZMDC=ZBAD.

,/ZADC=ZBAD+ZB,

即NADM+NMDC=NBAD+NB,

/.ZADM=ZB=60°.

又•:DA=DE=DM,

.•.△ADM是等边三角形，

/.DM=AM.

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称

变换以及三角形外角性质等知识的综合应用.解题时注意运用等边三角形的

三个内角都等于60。，三条边都相等.

10.如图，在4ABC中，NABC=45。，点P为边BC上的一点，BC=3BP,且NPAB=15。

点C关于直线PA的对称点为D,连接BD,又aAPC的PC边上的高为AH

(1)求NBPD的大小；

(2)判断直线BD,AH是否平行？并说明理由；

(3)证明：ZBAP=ZCAH.

【分析】(1)根据点C关于直线PA的对称点为D,即可得到aADP丝ZXACP,进

而得出NAPC=NAPD=60°,即可得至l」NBPD=180°-120°=60°；

(2)先取PD中点E,连接BE,则4BEP为等边三角形，ABCDE为等腰三角形,

进而得到NDBP=90。，即BD_LBC.再根据aAPC的PC边上的高为AH,可得

AH±BC,进而得出BD〃AH；

(3)过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F.根据NGBA=NCBA=45。，可

得点A在NGBC的平分线上，进而得到点A在NGDP的平分线上.再根据/

GDP=150",即可得至