人教版高中数学选修（2-2）-1 .2 导数的计算

1.2导数的计算

一、教学目标

1.核心素养

通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力.

2.学习目标

（1）L2.1能根据导数定义，求函数y=c,y=x,y=f,y=_L,y=&的导数.

X

（2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单

函数的导数.

（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如/（6+份）的

导数.

3.学习重点

（1）利用导数的定义求五个函数、=3=%、=/,｝；=_1,）；=4的导数.

X

（2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数.

4.学习难点

两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1

阅读教材尸12—P14,思考：常用函数的导数是什么？是如何计算得到的？

任务2

阅读教材P14—P17,思考:导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？

2.预习自测

1.函数,=%+l的导数是.

X

解：y=1--T

X

2.函数y=%cos%-sin%的导数为（）

A.xsinx

B.-xsinx

C.xcosx

D.-xcosx

解：B

3.设〃x）=Jl+2x,则/⑴=.

解：—

3

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）函数的定义是什么？

给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应.

（2）函数/⑴在x="处的导数是lim包=lim/（飞+醺）一"飞）

-Ax-Ax

（3）函数/（x）在x=x0处的导数是关于%的函数吗？

对于函数/（x）来说，给定％的取值，则;''（x。）是一个确定的值，所以是一个函数.

2.问题探究

问题探究一、几个常用函数（y=c,y=x,y=x2,y」,y=«）的导数是什么？

X

・活动一动手计算，收获几个结论

请大家用导数的定义分别推导出函数》景广二犬广二/川二工川二石的导数.

X

1.若y=c（c为常数），贝＞］）/=.；

2.若y=x,贝！Jy，=;

3.若）二/，则y，=；

4.若y=L贝1Jy，=;

x

5.若y=G,则y，=.

问题探究二、基本初等函数的导数重点知识支

•活动二阅读查表，记忆导数公式

1.若/(x)=c(c为常数)，贝！］/'(%)=;

2.若/(1)=丁(。£。*),则/(％)=.

3.若/(x)=sinx,贝！J/(%)=;

4.若/(x)=cos%,贝!J/'(尤)=.

5.若/0)二优，则/⑴=；特另U地：若/(x)=e*,贝1J/(兀)=.

6.若/(x)=loga%,则/(%)=;特别地：若/(x)=lnx,贝!J/(%)=.

为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：(1)(2)属于幕函数的导数

公式；(3)(4)属于三角函数的导数公式；(5)是指数函数的导数公式；(6)是对

数函数的导数公式.

例1求下列函数的导数.

(l)y=/(a为常数)；(2)y=沿;(3)y=x-4；(4)y=lgx.

【知识点：导数的运算】

解：⑴为常数，，层为常数，.“，『次)』。.

/3\'3_2Q

⑵…)十］:「后

4

⑶y=(/4y=—4/5=

(4)V=(lgx)'=焉•

例2求函数於)=古在x=l处的导数.

【知识点：导数的运算】

.才(l)=-g,函数於)在1=1处的导数为一支

点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数.

・活动三认识规律，熟练掌握法则

导数的四则运算法则是什么？

(1)[f(x)±g(x)]，=

(2)[/(%)-g(%)r=_________________

(3)[

g(x)

由积的导数运算法则可推出：［＜/(x)］'=(/'(x).

在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，"(x)-g(x)］々/(尤)H(x),

[宇1'丰不要与"a)±g(x)r=f'M±g'(x)7昆淆.

g(x)g(x)

・活动四应用法则，扩充导数公式

请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数:

1.若/(x)=xlnx,贝?!/'(%)=；

2.若/⑴=//,则/⑺=.

3.若/(x)=tanx,贝Ur(%)=；

4.y(x)=Vx-Inx,贝lj/(、)=.

例3求下列函数的导数.

(1)J=X(X2+1+^3)；(2)j=(^f+l)(^-l);

x23

(3)y=^—;(4)y=2tan%+--；(5)尸"+lnx

S111XLdLLX

【知识点：导数的运算】

1?

解：(l)y=x3+1+-2，/.y=3x2—p.

1113

(2)先化简，得y=_12+冗2.\y=--x2--x2=一不丁.

(%2)＜加一12(5血丫2xsinx—/cos%

(3)y=s-m2xs•m?zx

2sin%+3cosdsinx、72cos2无+25诒2%+—3sin2x—3cos2x

(4)解法i：y=r=222

、COS%Tsinxycosx7cos%sin%

23

cos2x一si•n2x•

〜,3tan'x-3、1c3cos2x23

去：=一­~)=：x=一—~~.

2y"2tanx——tan2x~=tanx('2tanx7co~s"(2'—s~in2x)7cos~xsm%

(5)y=sw+(lory=(1+力.^+：.

点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.

问题探究三、复合函数的导数合点、难点知识★▲

・活动一什么是复合函数及复合函数求导法则？

(1)一般地，对于两个函数＞=/(")和"=g(x),如果通过变量“，y可以表示成x的

函数，那么称这个函数为函数y=/(")和"=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x)).

(2)复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/(〃)，"=g(x)的导数的关系为:

y对x的导数等于y对〃的导数与“对x的导数的乘积.

例4求下列函数的导数.

13_________

⑴y=(]—31)4；(2)y=：af+6x+c；(3)y=e^m+b.

【知识点：导数的运算】

解：(l)y=，，u=i—3x.

1?

.".y'=y'u-u'=(u~4y-(l—3x)'=-4-M-5-(-3)=12i/-5=12(1—3x)-5=^_^^5.

1

(2)丁=&3,u=ax2-\-bx~\-c.

223_________

1(2・

yr=yru*urx=-3.(2ax-\-b)=|'4zx-\-bx-\-c)-3(2ox+b)=

3U3(加+法+。)

(3)y=e3u=~ax+b,y=y'〃・M%=e〃・(—6a+b)'=e〃・(—〃)=一

点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键.

・活动二应用新知，解决典型例题

例5求过曲线丁=85%上点尸件目且与在这点的切线垂直的直线方程.

【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：Vy=cosx,/./=—sinx,

曲线在点P与处的切线斜率是y|x=1=—sig=—坐

・••过点P且与切线垂直的直线的斜率为名2，

•••所求的直线方程为y—3=|］》一§，即2x—小y—牛十坐=0.

f1

例6已知曲线丁=了一31底的一条切线的斜率为一下则切点的横坐标为()

A.3B.2C.13

【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：设切点为(xo,yo),y=f-x——1=-x0——*.*xo>O,.,.%0=2.

12x)户均2/2

点拨：求切线方程的步骤：

⑴利用导数公式求导数.

(2)求斜率.

⑶写出切线方程.注意导数为0和导数不存在的情形.

・活动三函数/(x)在点/处的导数尸(%)、导函数/(x)、导数之间的区别与联系.

(1)函数在一点处的导数r(毛)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之

比的极限，它是一个常数，不是变数.

(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数人x)的导函数

(3)函数/(x)在点/处的导数/'(不)就是导函数/'(x)在x=x()处的函数值，这也

是求函数在点七处的导数的方法之一.

3.课堂总结

【知识梳理】

(1)基本初等函数的导数公式

原函数导函数

/(X)=C/'(X)=________________

/(%)=x"(neQ)尸⑴=________________

/(x)=sinx/'(x)=__________________

/(x)=cosX/'(x)=_________________

f(x)=ax/'(x)=_________________

/(x)=e*/'(x)=_________________

以x)=log.%/'(x)=_________________

/(x)=Inx/'(x)=__________________

(2)导数运算法则

①"(X)士g(x)]'=；②[/(x)g(x)T=

③也”]'=________________________[g(x)丰0],

g(x)

(3)复合函数的导数：

若y=/("),〃=奴+匕，则=即*=•

【重难点突破】

(1)运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论：

①"⑶±力。)±±/„(x)Y=/(x)±力'⑶±±f；(X)；

②W(X)±bg(x)r=af'(x)±bg'(x);

③[1]'：g'(x).

[g⑹[g(无)F'

(2)求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：

①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；

②层层求导：求每一层基本初等函数的导数(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变

量求导)；

③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量.

利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数》=—

(3%+4)4

可令〃=3%+1,也可令〃=(3x+l)4,y=/i,显然前一种形式更有利于求导.

(3)应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点：

①对募函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式；

②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量.

③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则.

4.随堂检测

1.已知人x)=f,则f(3)=()

A.0B.2xC.6D.9

【知识点：导数的运算】

解：C

2.函数丁=无一(2%-1)2的导数是()

A.3—4xB.3+4%C.5+8%D.5—8x

【知识点：导数的运算】

解：D

3.函数y—：°sx的导数是()

/1-X

-sinx+xsinx%sin九一sin%—cosu

A-(1-x)2B-(1-x)2

cos%—sinx+xsinxcos%—sinx+xsinx

CD.1

-(1-4l-x

【知识点：导数的运算】

解：C

4.已知函数八》)=。/一1且/(1)=2,则实数。的值为()

A.1B.2C.也D.a>0

【知识点：导数的运算】

解：B

5.设/(x)=a(x-5)2+61nx,其中aeR,曲线y=f(元)在点(1"⑴)处的切线与y轴相

交于点(0,6),贝Ua=i.

【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：-

2

（三）课后作业

基础型自主突破

1.给出下列命题：

①若y=7T,贝Uy=O；②若y=3x,则旷=3；③若七，则丁'=一

④若y'=3,

则y=3x.

其中正确的有（）

A.1个3.2个C.3个D4个

【知识点：导数的运算】

解：B

2.已知函数火X）：%3的切线的斜率等于1,则这样的切线有（）

A.1条B.2条C3条D.不确定

【知识点：导数的运算；导数的几何意义】

解：B

3.若/（%）=炉—2x—41nx,则尸（x）>0的解集为（）

A.(0,+co)B.(-1,0)(2,+oo)C.(2,+oo)D.(-1,0)

【知识点：导数的运算】

解：C

4.直线是曲线y=lnx（x>0）的一条切线，则实数6的值为（）

A.2B.In2+1C.In2-1D.In2

【知识点：导数的几何意义】

解：C提示：,；y=lnx的导数为尸；，...；=；，解得x=2,.,.切点为（2,In2）.将

Ji4乙

其代入直线y=^x+b得6=ln2—1.

5.曲线y=?在x=2处的导数为12,则〃等于（）

A.1B.2C.3D.4

【知识点：导数的运算】

解：C

6.求下列函数的导数

3x

(1)y=log3%(2)y=x+e-1(3)y=sin(l+2x)

1YY

(4)y=xlnx+—(5)=2sin^(1—Isin2^).

【知识点：导数的运算】

解：(1)y'=---

xln3

(2)了=3炉+2匕1112

(3)yf=cos(l+x2)-(l+2x)r=2cos(炉+1)

(4)yr=l+lnx——y

x

(5):y=2sin^(l—Zsin2^)=2sin^cos^=sinx.y'=(sin%)'=cos冗・

能力型师生共研

7.已知函数/(%)的导函数为/(%),且满足了(%)=2矿⑴+lnx,贝IJ尸⑴=()

A.-eB.-1C.1D.e

【知识点：导数的运算】

解：B

8.危)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若火X)、g(x)满足/(x)=g，(x),则危)

与g(x)满足()

A.»=g(x)B.於)一g(x)为常数函数

C.»=g(x)=0D.汽x)+g(x)为常数函数

【知识点：导数的运算】

解：B

9.已知函数兀x)=G+l,g(x)=alnx,若在x=(处函数«r)与g(x)的图象的切线平

行，则实数。的值为.

【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】

1111Q

解_

----X---,--

4提示：由题意可知了24g1可得经检验,a

2X-a=1,

4

=w满足题意.

10.若函数五x)=/+ax的导数/(x)=2x+l,则数歹U{£}5cM)的前〃项和S”是

()

nn+2nn+1

A.——rB.——rC.-------D.------

〃十1n-r1n-1n

【知识点：导数的运算】

解：A

探究型多维突破

11.已知((x)=sinx+COSX(XGR),iB

力(%)=才(。力(%)=力'(尤),,f„(x)=f^x)(n&N\n>2),则

£)+力0++篇40=.

【知识点：导数的运算】

解：0提不：力(%)=cosx-sinx，力(％)=-sinx-cosx，力(％)=-cosx+sinx，

%(x)=sinx+cosx，以此类推，可得出力(x)=加式十)，又<(x)+力(x)+力(x)+f(x)=0,

力宁)++题4号)=503"(9+力(辛+*+/4(f)]+工(9+*=0

12.已知曲线C：y=x3—6x2一尤+6.

(1)求C上斜率最小的切线方程；

(2)证明：曲线C关于斜率最小时切线的切点对称.

【知识点：导数的运算】

解：(l)y=3^-12x-1=3(x-2)2-13.

当x=2时，y最小，最小值为一13,

切点为(2,—12),切线方程为y+12=-13(x—2),即13x+y—14=0.

(2)证明：设(xo,yo)©C,(x,y)是(xo,yo)关于(2,—12)的对称点，

V(xo,yo)£C,/.-24­)；=(4—x)3—6(4-%)2-(4-x)+6,

整理得丁=%3一6%2—%+6.

・・・(%,y)GC,于是曲线C关于切点(2,—12)对称.

自助餐

1.下列四组函数中导数相等的是()

A.«x)=2与g(x)=2xB.fix)=­sinx与g(x)=cosx

C.f(x)=2—cosx与g(x)=­sinxD..x)=l-24与g(x)=—24+4

【知识点：导数的运算】

解：D

22

2.设函数/(x)=±±(a>0),若(@)=0,则xo=()

X

A.aB.土aC.~aD.a1

【知识点：导数的运算】

解：B

3.已知火若/(—1)=4,则a的值为()

.1910「13-16

A-TBTCqDq

【知识点：导数的运算】

解：B

4.函数y='耳的导数是()

,2%—1

2+x2+x

Aq.+l-(2x-I)2》^/l+x2-(2x—I)2

4——%+24——x+2

C(2x—1)2D，(2%-1)2出2+1

【知识点：导数的运算】

解：B

5.已知点尸在曲线y=/一上，a为曲线在点尸处的切线的倾斜角，则a的取值范

ex+l

围是()

儿呜)5•号,自Y,手咛⑺

【知识点：导数的运算】

解：D

6.(1)已知火x)=%^+sinxcos%,则/(0)=.

(2)已知g(x)=(%—1)(%—2)(%—3)(%—4)(%—5),则g'(l)=

【知识点：导数的运算】

解：(1)2；(2)24提示：(iy(x)=e¥+x-e¥+cos2x,/./(0)=l+l=2.

(2)g，(x)=(%-1)[(%-2)(x-3)(x-4)(%-5)1，+{x-2)(%-3)(x-4)(x-5)

所以g，(l)=(l—2)(1—3)(1—4)(1—5)=24.

7.设函数/(x)在(0,+8)内可导，且/(")=x+ex,则/⑴=.

【知识点：导数的运算】

解：2

8.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在/,使得/(x0)=f'(xQ),则称5是于(X)的

一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是

①f(x)=x?,②/'(x)=e~x,③/(x)=Inx，④/(x)=tanx.

【知识点：导数的运算】

解：①③提不：①中，令/'(X。)=/'(%)，可得：尤0=0或无。=2,故存在“巧值点”.

②中，令/(%)=/'(%),可得：，显然无解，故不存在“巧值点”

③中，令/'(%)=/'(/)，可得：lnx()=L，由于＞=111%与了=」的图像有交点，因此

x0X

方程有解.故存在“巧值点”.

④中，令/(玉))=/(%())，可信：tanx0=2，即：sin/cos/一1,显然无解.故

cosx0

不存在“巧值点”

9.定义：曲线C上的点到直线/的距离的最小值称为曲线C到直线/的距离，已知曲线

Cl：产，+4到直线/：y=x的距离等于曲线C2：》2+(y+4)2=2至U直线/：y=x的距离，则实数

a=.

【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】

Q

解：|提示：曲线C2：f+(y+4)2=2到直线/:产X的距离为

d==141-41=41,

Vi2+i2

曲线Ci：y=%2+a对应函数的导数为y=2x,令2x=l得x=g,所以Ci：产f+4上的

|__可

点为(1」+a),点d」+a)到到直线/:y=x的距离应为7L所以212=后,

2424\12+12

解得4=2或〃=-工(舍去).

44

10.已知函数/(X)满足/(x)=尸⑴/T—/(O)x+gx2,贝|J/(x)=.

【知识点：导数的运算】

解：+提示：/(x)=r(l)e*T-/(0)x+；x2nr(x)=r(i)eXT-/(0)+无

令x=l得：/(0)=1,即/0)=((1)4-X+]=/(0)=八1)/=1=尸(1)=6,得：

/(x)=ex-x+^x2

11.已知4w,/(占))，3(々"(尤2))为函数/(犬)=%2+2%+4(x<o,awR)的图像上的

两点，且看<%2.若函数/(X)的图象在点A,3处的切线互相垂直，则％-再的最小值为

【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】

解：1提不：由题