2025届新高考数学一轮复习对数与对数函数专题强化练习含解析

Page17对数与对数函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）设，，则(

)A. B.

C. D.已知圆弧C：与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为.(

)A. B. C. D.4已知是定义在R上的偶函数，且在区间单递调减，若，，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围(

)A. B. C. D.假如函数对随意的实数x，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为(

)A.2 B.3 C.4 D.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(

)A. B.

C. D.已知函数，直线：，：若与图像交于A、B两点在B的左边，若与图像交于C、D两点在D的左边曲线段CA，BD在x轴上投影的长度为a，b，则当取得最小值时，m的值为(

)A. B. C. D.下列不等关系，正确的是(

)A. B.

C. D.已知，，且，则a，b的值不行能是(

)A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）关于函数，下列描述正确的有(

)A.函数在区间上单调递增

B.函数的图象关于直线对称

C.若，但，则

D.函数有且仅有两个零点已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论正确的是(

)A. B.

C. D.已知函数，则

(

)A. B.

C.当时，的最小值为2 D.当时，的最小值为1三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）函数的单调递增区间是__________.函数的单调递减区间为__________，值域为__________.四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分已知函数，的定义域均为求函数的值域；若关于x的不等式有解，求实数k的取值范围．本小题分

请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

①；

②

已知函数

选择____，求a的值；

在的条件下，求的单调区间．本小题分

已知，且，解关于x的不等式：本小题分已知函数为奇函数，且方程有且仅有一个实根．求函数的解析式；设函数，若，对，使得成立，求实数m的取值范围．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了对数函数及其性质，对数函数之间的大小关系.

利用对数函数的性质，结合不等式的性质进行推断.【解答】解：因为，

所以，

因为，

而，

所以，即可得，

因为，

所以，

所以，

故选

2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查圆的方程的应用，反函数与原函数的对称关系，考查计算实力以及转化思想，属中档题.

通过函数与反函数的对称关系，推断A，B的坐标关系，然后利用基本不等式求解即可.【解答】解：因为函数和函数互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，又因为圆弧的图象也关于直线对称，所以它们的交点关于直线对称，所以，

因为在上，所以，即有

所以当且仅当时取“=”

故答案选：

3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性，函数的单调性，对数的运算，属于中档题.

由偶函数的定义和对数的运算性质、对数函数的单调性和已知函数的单调性，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由函数是定义在R上的偶函数，可得，则，，，因为函数在区间上单调递减，且，，即，所以，即有，故选

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，属于中档题.

设，其对称轴为，若函数在上是减函数，则函数在区间上单调递增，且在区间上，由此可得答案.【解答】解：由题意得，设，其对称轴为，

若函数在上是减函数，

则函数在区间上单调递增，且在区间上，

所以

解得

则实数a的取值范围是

故选

5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了函数的增减性，以及函数的最值，函数的对称性，是中档题.

由函数的单调性和单调区间，得到函数的最值，从而得到结果.【解答】解：由可知关于直线对称，

区间关于直线的对称区间为，由时，，可得函数在上是增函数，当时，函数取得最小值为1，当时，函数取得最大值为3，函数在上的最大值与最小值之和为4，函数图象关于对称，可得函数在上的最大值与最小值之和为故选

6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查同一坐标系中对数函数图像与二次函数图像的关系，依据图像确定的正负状况是求解的关键，属于中档题.

由对数函数，对a分类，和，在对数函数图象确定的状况下，探讨二次函数的图象是否相符．方法是解除法．【解答】解：由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，解除C，若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满意.故选：

7.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查对数的运算，考查利用基本不等式求最值，考查转化与数形结合的思想，化简与变形实力．属于较难题.

设A，B，C，D各点的横坐标，依题意和对数的运算求横坐标的表达式，由平行投影的概念表示出a和b，代入

利用指数的运算化简，由m的范围和基本不等式求出最小值．【解答】解：设点C，A，B，D的横坐标分别为，则结合函数的图象，易得

由题意得，，，故，

因此，

当且仅当，，解得时，取等号.

因此当取得最小值时，

故选

8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查对数函数及其性质，考查对数运算.

由，，可得则，同理可比较，本题可解.【解答】解：，，

则，

，，

，

则，

所以

故选

9.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了构造函数的实际应用，以及函数的单调性，须要学生娴熟驾驭公式，属于难题．

由已知条件可得，结合函数的单调性，依次代入选项，即可求解．【解答】解：，，，

，

在上为增函数，

在上为减函数，

当时，，

，，即左边大于右边，解除选项

，则，，则，即左边大于右边，解除选项

当时，，，，则左边大于右边，解除选项

故选：

10.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查的学问点是对数函数的图象和性质，函数图象变换，其中依据对折变换原则，画出函数的图象，是解答的关键，属于中档题.

画出函数的图象，逐一分析题目中四个描述的真假，可得答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：

由图可得：

函数在区间上单调递增，A正确；

函数的图象关于直线对称，B正确；

依据图象，由，但，则不肯定等于4，C错误；

函数有且仅有两个零点，D正确．

故选：

11.【答案】ABC

【解析】【分析】本小题主要考查函数对称性的应用、反函数、函数零点存在定理等学问，考查运算求解实力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于拔高题．

先依据题意画出图形，由函数和函数是互为反函数，知函数及函数的图象关于直线对称，也是关于直线对称，然后由直线与函数及函数的图象的交点，也关于直线对称，得出，再依据在上，后面再结合基本不等式、函数的零点存在定理等逐一推断即可．【解答】解：画出图形，如图，由于函数和函数是互为反函数，

故函数及函数的图象关于直线对称，

因为直线也关于直线对称，

从而直线与函数及函数的图象的交点，

也关于直线对称，，，

又在上，即有，故，故选项A正确；

，故B正确；

将与联立可得，即，

设，则函数为单调递增函数，

因为，，

故函数的零点在上，即，由得，，

，故C正确．

将与联立可得，即，

记，则，，

则，又，

记函数，则，令，得，

易知函数在上单调递增，

故，故选项D错误．

故选：

12.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查复合函数及分段函数求值，函数最值，是基础题.

依据复合函数及分段函数求值，求函数最值的学问逐一推断即可.【解答】解：，，故A正确；

B.，，故B正确；

C.当时，，，当且仅当

，即时等号成立，又，故等号取不到，故C错误；

D.当时，，当且仅当时取等号，因为时，单调递增，所以，所以当时，的最小值为1，故D正确，

故选

13.【答案】

【解析】【分析】本题考查了二次函数，一元二次不等式的解法，函数定义域与值域，复合函数的单调性和对数函数及其性质，属于基础题.

利用函数定义域的求法，结合一元二次不等式的解法得函数的定义域，再利用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性，计算得结论.【解答】解：由题意，函数满意，解得或，即函数的定义域为，

令，则函数在单调递减，在区间单调递增，

依据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为

故答案为

14.【答案】

【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性与值域，确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性是关键．

确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可求得函数的单调增区间与值域．【解答】解：由，可得，

令，

所以函数t在上单调递增，

又在上单调递减，

函数的单调减区间是，

，，

函数的值域为

故答案为；

15.【答案】解：，

令，因为，

所以，，

所以所求函数的值域为

由可得，

因为，的定义域均为，

故，

令，则，则，有解，

当时，，

当且时，，

所以当时，的最小值为

所以；

综上，

【解析】本题考查对数函数的性质及不等式恒成立问题，同时考查二次函数的性质，是中档题.

化简函数的解析式，然后利用二次函数求解即可;

化简不等式，然后换元，求解即可.

16.【答案】解：选择①，

的定义域为，

由，

得，

得恒成立，

所以，

当时，，

，

因为在上单调递增，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间．

解：选择②

的定义域为，

由，

得恒成立，

得恒成立，

所以

当时，，

因为在上单调递增，在上单调递减；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

【解析】在选择①②的状况下分别求出a的值，再推断单调区间即可．

本题考查函数的性质，及函数的单调性，属于中档题．

17.【答案】解：由原不等式，得①当，不等式的解满意，，②当时，不等式的解满意，综上所述，当，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为

【解析】依据真数要大于0，同时要对底a进行探讨即可.本题考查的对数不等式的解，属于中档题.

18.【答案】解：函数为奇函数，所以，

即，

化简得，得，

所以，

因为方程有且仅有一个实根，

得，即，

所以，得，

解之得，舍掉，

所以

，即，

令，

由题意，若，对，使得成立，