高中数学人教课标A版必修5-4-1 数列通项公式的求法（解析版） 公开课教案课件教学设计资料

专题数列通项公式的求法

。常考题型目录

题型1由S”与的关系求数列的通项公式........................................................1

♦类型1直接型...........................................................................1

♦类型2等比型...........................................................................3

题型2累加法..................................................................................4

♦类型1等差型...........................................................................4

♦类型2等比型...........................................................................5

♦类型3分式型...........................................................................6

题型3累乘法..................................................................................8

♦类型1分式型...........................................................................8

♦类型2指数型...........................................................................9

题型4待定系数法............................................................................10

题型5因式分解型............................................................................12

题型6需要同除型............................................................................14

♦类型1直接除..........................................................................14

♦类型2含有指数型......................................................................16

♦类型3转化成S,、型......................................................................18

题型7取倒数型..............................................................................21

题型8含有和型..............................................................................22

题型9含有周期型............................................................................25

B题型分类

题型1由S“与怎的关系求数列的通项公式

Si,n-1,

【方法总结】若数列他”的前n项和为S“,通项公式为时,则a„=\

Sn-S,I-I,n>2.

♦类型1直接型

【例题/-/】已知下列数列2/的前n项和S,,,求仅”的通项公式.S„=2n2-3n；

22

【解析】ai=Si=2-3=-/,当n>2时,an=Sn-S„-/=(2n-3n)-[2(n-I)-3(n-1)]=4n-5,

由于a,也适合此等式，a,,=4n-5.

【变式1-11/.(2022•陕西•西安市都邑区第二中学高二阶段练习)若火是数列｛㈤的前〃项的和，％=加,则

氏+口6+%='

【答案】33

【分析】根据汨砒勺关系即得.

【详解】因为为,所以劣+4+为=4-〃=72-42=33.故答案为：33.

【变式/-7］2.(2022・上海市大同中学高二阶段练习)已知数列｛㈤的前颂和为殳=2"-2Z7+3,则数列

｛㈤的通项公式%=.

［兹案］［3,£7=1

(4/7-4,27>2

【分析】由%=2〃-2Z7+3先求得%,再根据生=%-见1卬22)求得殳的表达式，验证首项，即可得

答案.

【详解】&7=2加-2/7+3，故当Z7=1时，Z7|=Z7|=3；

当Z722时，见1=2(27-1)2—2(。-1)+2,二%=%一如1=4/7-4

=%=3不适合上式口产》巴么2,故答案为：KN2•

【变式/-/】3.(2022・重庆市广益中学校高二阶段练习)已知数列｛㈤的前颂和为殳=(419-1.

求｛%｝的通项公式.

【答案】。尸2a3(㈤N,)

【分析】根据％=］。版22作差即可得解；

【解析】数列｛㈤的前颂和为d=(419+1,

当加2时，如=(弧2)2+1=凡405,所以如如=2昆3,即为=2G3⑷2),

当庐［时,Z7|=Z7i=(1-1产-1=-1符合上式,所以为=2a3(znN);

【变式1-114.(2022•江西芦溪中学高三阶段练习(文))已知数列｛殳｝的前〃项和殳=筌-g(Z76N*)/〃

求数列｛为｝的通项公式；

Z7

【答案】Z7Z7=4(£7GN-)；

【分析】利用%=["，即可得｛㈤的通项公式；

业口一如1，〃N/

4Al4"A

【解析】因为%=《--§（〃€N*）,当77=1时，+=马=彳-§=4,

当Z7N2时，0=%一见1=（g一3-（£_g）=^±=等=4'，

因为=4也满足为=4“，综上，%=4”（Z7GN*）；

【变式/-/】5.已知S“为数列｛4｝的前"项和，且log2（S,,+l）=〃+l，贝必“=.

3,〃=1

【答案】„；【解析】由嗔2（5“+1）=〃+1,得5“+1=22，当〃=1时，%=岳=3;

2,n>2

3,n=1

当“22时，q=S,,-S,i=2",所以数列口｝的通项公式为4=“

2,n>2

♦类型2等比型

【例题/-2X2022•重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习H知数列｛%｝的前颂和%满足2瓦=3（口厂1）,Z7G

N+.求｛㈤的通项公式；

【答案】4=3，

【分析】利用退一相减法可知数列｛㈤为等比数列,进而可得数列｛生｝的通项公式；

【解析】由已知2%=3（%-1）,Z7eN+,

当Z7=1时，2%=3（。1—1）,解得用=功=3,

当Z7N2时,2%1=3（见1-1）,则2%=3（%-1）-3（如1-1）,即%=3见],

所以数列｛%｝是以用=3为首项，3为公比的等比数列，所以殳=3x3外1=3"；

【变式7-2]/.已知数歹U/a”的前n项和为S,,且S尸2aH-,贝U田等于（）

A.-16B.16

C.31D,32

【解析】当〃=/时，S/=2。/-/,Ua/=/.当n>2时，Sn-1=2afl-/-I,Uan=Sn-Sn-/=2an-2an./,□«,；

44

2如-口是等比数歹！］且ai=1,q=2t^a5=aixq=2=16.

【变式1-2｝2.(2022•上海市南洋模范中学高二开学考试)若数列｛㈤的前颂和为％=|%+*776N*),则

数列｛%｝的通项公式是%=.

【答案】(-2尸

【分析】根据殳=,广9，作差得到｛㈤是首项为1,公比为-2的等比数列，从而求出数列的通

1%—U0^,U>N

项公式；

【详解】解：因为%=:%+]

当Z7=1时，4=+=飘+J所以％=1,当。22时，%=：唯1+]

两式相减,DD-㈤1=|%+卜(|如1+J整理得%=-2见1,所以｛㈤是首项为1，公比为-2的等比数

列，故%=(-2产1.故答案为：(-2尸

【变式1-213(2022•江苏常州高三阶段练习后知各项均不为零的数列｛%｝的前〃项的和为生且满足功=4,

口型=4殳+4(06N*),求数列｛㈤的通项公式；

【答案】%=4";

【分析】(/)利用给定的递推公式，探求数列｛火｝相邻两项的关系，即可求解作答.

(1)Z7GN*,如1=4%+4,当Z7Z2时田口=4口『、+4,两式相减得：布1=4%,由殳=功+0=4%+4

得：%=16,即仍=4%,满足上式，

因此VZ/eZ7,%+1=4%,于是得数列｛㈤是首项为4,公比为4的等比数列，为=%x=4,,所以数

列｛㈤的通项公式是④=4。

题型2累加法

【方法总结】累加法：若已知q且%-4-=/(〃)(〃22)的形式；

♦类型1等差型

【例题2-1｝(2022・重庆市广益中学校高二阶段练习)已知数列｛㈤满足%=0,Z以产生+Z7,则为=()

A.27B.28C.29D.30

【答案】B

【分析】利用累加法可求得为的值.

【详解】由题意可得如「为=，，则为=++（心也）+（分㈤+口+（为4）

=0+1+2+口+7=^1^=28.故选:B.

【变式2-7]I.（2022•山东邹城市兖矿第一中学高三阶段练习）在数列｛㈤中，4=1,以1-%=2Z7,则

数列%=.

【答案】〃—0+1

【分析】由题意，数列｛%｝中，可得生=++（功-4）+（%-①）+•••+（殳-/-1）,再利用等差数列的

求和公式，即可求解.

【详解】由题意，数列｛坛｝中，满足功=1,如1一%=227,则

口口=口、+（心一,）+（ZTj—心）+…+（口口—Z^7-i）=1+2+4+…+2（/7-1）=1+2[1+2+3+…+

（Z7-1）]=1+2x笥乜=/一〃+1,故答案为：加一〃+1

【变式2-1】2.根据条件，确定数列/斯/的通项公式,m二2,aa,1+山（I+%；

/1H

【解析】ai=a+ln（l，a-a-i=ln（l+J=//7~（n>2）,Ua〃=。〃・a“-〃+-斯-》+

ll+nnnnn-In-1

n-13n-13

+佃2-a。+tz；=Inn+In----+...+In5+加2+2=2+ln（--n--------...-y2）=2+b?n（n>2）.又田二2适合

n-1n-2/n-1n-2z

上式,故为=2+.

♦类型2等比型

【例题2-2]（202八江苏省灌南高级中学高二期中）数列｛㈤满足功=2,分如产条,则廿.

【答案】

【分析】利用累加法，结合等比数列的前颂公式，即得.

【详解】因为。1=2,%■即1=*,所以e4,分殳=*，…,%■%=$（㈤2）,

所以％=2+»广口+9(㈤2),所以%=2+4铛《*(㈤2),

当庐1时,27|=卜-'=2,也符合,故生=：-会故答案为：|-p.

【变式2-2】1.(2022・上海市大同中学高二阶段练习)若功=1,侬「殳=2°-27,RN*,则%=.

【答案】2"-1-等

【分析】用累加法即可求出外.

【详解】。口计0i㈤N，口当ZU2时,Og-O[/L-\=2U1-(/7-1)0/^-/7|=2^-1,-2,D,1-(Z7-1)UX

上各式相加得：7^/71=(2+22+0+2^1)-[1+2+Q+(Z7-1)]

OZ4r(1+2+22+D+2£L1)-[1+2+口+阳)]=苔-写^=25-1-写^

而功=1也适合上式，口Z^=2'-1-(ZHN*).故答案为：2，-1-力”.

【变式2-2]2.(2022•黑龙江双鸭山一中高二期末)已知数列｛㈤满足功=3,以1-殳=3x2”1,则

OD=•

【答案】3x2~

【分析】利用累加法求解即可

【详解】因为%+1-%=3x2外1,所以为一%=3x2°,

为一为=3x，4—0=3x22,……,OD-见1=3x浮,

所以％-Z71=3x2°+3x21+3x22+■•­+3x2°~2=-(^2p=3x2^1-3,

因为%=3,所以%=3x2八1,故答案为：3x2八1

♦类型3分式型

【例题2-3](2022•全国•高三专题练习)数列｛㈤中，a=1,如1=%+六，则氏=.

【答案】1##1.8

【分析】结合累加法及裂项相消法可得0-+=1-]根据已知条件即可求出通项公式.

【详解】因为%+1=%+东匕，所以%d-%=岸匕=3-焉

2=1

-/7%1

=1

4--

则当。之2,。€£7时，2,将。-1个式子相加可得

_11

1%一见1=百一》

%—。1=1-；+；—g+…+言—3=1一；，因为。1=1I则%=2—^（Z7>2）,

当〃=1时，4=2—：=1符合题意，所以为=2-：,/721,Z7GZ7.

所以为=2故答案为：［.

□00

【变式2-311.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛㈤满足铝-？=布三（麻。），且功=1，求数列

LrrIUu\U'vI）

｛㈤的通项公式；

【答案】瓦=2口一\

【分析】由已知条件可得g-铝=与-!（。22）,再由递推及功=1可得％=20-1（Z7>2）,最后再检

Uu-iU—\U

验即可得到答案.

【详解】因为缪-糊焉=>5，所以铝合=言-（？2），

斜-翳=言-言，•卷-？=1-1所以累加可得衿〃I=1-S0.

又％=1,所以与=等，所以％=2。-1（Z7>2）.

经检验,Z7i=1,也符合上式，所以为=2Z7-1.

【变式2-312.（2022河南高三开学考试（理））在数列｛㈤，｛殳｝中，功=2历=2,为+%=24,殳+1=

殳+%+忌/｛%｝为正项等比数列.求Z7便勺通项公式；

【答案】为=2，

【分析】设｛㈤的公比为q,由已知得2（〃+/）=24,利用〃+a-12=0求出何得答案；

【解析】设｛生｝的公比为q,因为｛殳｝为正项等比数列，所以Z7>0,

由4=2,为+%=24,得2(〃+/)=24,

即岸+/-12=〃-4+/—8=(/7—2)(/7+2+d+2Z7+4)

=(Z7-2)(岸+3Z7+6)=(Z7-2)((。+1)2+y)=0,

解得〃=2,所以%=2、2%1=2匕

题型3累乘法

、、

【方法总结】累乘法：

若已知为且马■=/(〃)(〃22)的形式；

an-\

♦类型1分式型

【例题3-/】(2022•江苏•常熟市王;金昌高级中学高二阶段练习)已知数列｛殳｝满足等=9，%=1，则数列®｝

Ug

的通项公式是()

A.叼嘉B.万嬴C.*D,O^

【答案】A

【分析】利用累乘法计算可得.

[详解]解•因为^ti=—所以色=生生1=吆□丝=3"=2丝=」所以

,^.x^lxnx^x^x^=—x—xQx2x?xlgp^=---又小=1所以Z7n=—•故选,力

g口&2为4历外1D543'艮Z7i(Z7*-1)Z7'乂1t人厂女加。'OX匹'

【变式3-1]1.(202/・陕西・安康市教学研究室高一期末)已知数列｛0｝满足小=2,(Z7+2)%=2(Z7+

1)殳”.求数列｛㈤的通项公式；

【答案】%=猾

【分析】根据数列的递推式可得竽=；x鬻，利用累乘法求得数列通项公式；

UQ/LTTI

【解析】•••数列｛㈤满足z=2,(Z7+2)%=2(。+1)%1,...誓=；x鬻,

U[]/LTVI

，为=言?X言X…X卷X&=0xvXfi^x，，，xlx2=^(/7-2),当"=/时成立

【变式3-82.(2023・上海•高三专题练习)设数列｛㈤的前n项和为%,满足为=1-Z7%(〃eN,).

求数列｛殳｝的通项公式；

【答案】3焉

【分析】根据通项与前n项和的关系可得仔=察(。22),再根据反0+1)%=(Z7-1)畋求解即可；

【解析】当〃=1时，q=1一用，所以。1=；.当Z7N2时，％=1-Z7%,以1=1一(〃-1)以1.两式相

减得：殳=(Z7-1)%1-明，即普=^(Z7>2).故仄Z7+1)%=(£7-1)叫巾=(Z7-2)(27-1)/^=,•・=

□o-io+\2

1x2Z7l=im=^.

【变式3-7]3.(2022甘肃•宁县第二中学高二阶段练习)已知数列/%/中，%=/，前〃项和S尸等%

(〃求〃2,。3；

⑵求/如的通项公式.

【答案】(1)3；6⑵a产竿.

【分析】(/)分别令庐1,0=2,求出马,马即可；

(2)利用什勿如(㈤2),得到乡=缪,再利用累乘法求为B阿

【解析】(/)由$2=蓊，得(。/+〃2)=^2,又〃1=1,口。2=3〃1=3.

由Sj=京3,得3(。1+〃2+。3)=%31。3=|(+。2)=6.

(2)当n>2时，％=处如=竿4〃~~Yan~1/%二察,即守二察.

OOU-1匕I

蛰…・第・小翳晟・.挣=等又上/满足上式，3誓―

♦类型2指数型

【例题3-2】已知数列/中,a1=1,斯=2"。"-GN*且〃迎,则斯=.

(n-l)(n+2)

【答案】即二22.

(n-l)(n+2)

【解析】由题意，a=2"，也=2"-/，…，丝=22,叠乘得®=2"-2"」•...*=22,

-1a»-74/

（n-l）（n+2）（n-l）（n+2）

所以a„=22（n>2）,a/=1也符合.所以a„=22.

【变式3-2】（2023•全国•高三专题练习）数列｛㈤满足：4=|,（2以2_1）=（2班1-2）N*）,

则｛为｝的通项公式为.

［答案］%=笆-1嬴-1）

【分析】先由条件得答=2•舄，再结合累乘法求得｛〃小的通项公式即可.

【详解】由（2内2一1）如1=（2/1一2）幅，管=急=2•/，

mu劭见1®2c2~-1〃2旧-102斤3-121-1Z7-13

则.辰……2Q•药-O2•铲J）。.），

即卷=（2<?）（2W1-1），又4=9所以％=（2"-1嬴f

故答案为：%=（2O-1）（2W1-1）'

题型4待定系数法

【方法总结】若已知为且为=pa„_］+b（n>2,p^0,b丰1）的形式:

/.形如an+i=pa„+q

2.原理.•构造等比数列a+引

3.若数列相邻两项a„+i与满足an+t=pa„+q则可考虑待定系数法设足a„-n=+x=p（a„+x）（其中x为待

定系如构造新的辅助数列例“+M是首项为at+x公比为p的等比数列，求出期+x,再进一步求通项a”.

【例题4］（2022•宁夏石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列｛㈤中，4=4,如产4%6,则碉

于（）

A.2201+2B.22GL2

C.22&1+20.2201-2

【答案】C

【分析】分析得到数列｛幻2｝是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列｛幻2｝的通项即得解.

【详解】口如1=4勿6,口出「2=4(02),碧=4,所以数列｛勿2｝是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，

所以如2=2x4"Id圻22囚+2.故选：C

【变式4-1】/.已知数列U中,且Q〃+/+3atl+4=0,nUN*.

求证：他什〃是等比数列，并求数列伍”的通项公式；

【解析】由斯+/+3斯+4=0得斯+/+/=-3佃〃N*/2分，

其中ai=l,所以田+/=2切，可得如+H小分)

斯+/+/

所以-------=-3,"3,所以他+〃是以2为首项，-3为公比的等比数列.(6分)

a„+l

nn1

所以an+l=2(-3)-',^an=2(-3)-'-1,则数列/面的通项公式为a„=2(-3)"--1,nN*.(8分)

【变式4-1]2.(2022・全国•高一课时练习)在数歹U｛㈤中M=1,=2%+2,则通项公式为=.

【答案】3x2〜-2

【分析】由递推关系式可证得数列｛4+2｝为等比数列，由等比数列通项公式可求得为+2,由此可得句.

【详解】由殳+1=2%+2得：％+1+2=2(4+2),又小+2=3,

•••数列｛约+2｝是以3为首项，2为公比的等比数列，

二％+2=3x2^1,则％=3x2%1-2.

故答案为：3x2小1-2.

【变式4-1]3.(2023•全国高三专题练习)已知数列｛㈤的前颂和为％,满足为讨=2%+1,且++202=

出■求数列｛殳｝的通项公式；

【答案】为=2,-1.

【分析】根据题意得数列｛殳+1)是以2为首项，2为公比的等比数列，进而结合等比数列通项公式求解即可.

【详解】解：因为数列｛㈤的前颂和为外，满足1=20+1,

所以，殳+1+1=2（殳+1）,因为4+24=2=22+1,解得%=1,

所以，数列｛%+1｝是以。1+1=2为首项，2为公比的等比数列；所以£7.=2°-1.

题型5因式分解型

【例题5］若数列｛4｝满足4=2,*i+a；=2a,+「a”，则数列&｝的前32项和为()

A.16B.32C.64D.128

【答案】C

2

【解析】根据题意,由d+i+a；=2an+l-an｛neN*)，得(*-an)=0,即an+l=an.

由4=2，得4=2，则数列｛4｝前32项和S32=2x32=64,故选C.

【变式5-/】/.(2022・湖南•高三阶段练习股数列｛㈤的每一项均为正数，且凸=1，且有4(。+1)%1-Z7嫁+

2%/曲1=0,则为=.

【分套］_L

1口*’192

【分析】分析可得(。+V)口2加，令瓦=叫，可得出｛㈤是以首项为1，公比为;的等比数列，求出生的

值,即可得出生的值.

【详解】因为4(/7+1)%1-Z7娠+2瓦口型=0,则［2(/7+V)0型-Z7%］(2%1+㈤=0,

对任意的N*,为>0,所以，(Z7+1)%+i=,令%=见，所以/+1=；殳，故｛㈤是以首项为1,

公比为;的等比数列.所以，6%=%=1X=)故为=焉.故答案为：A

【变式5-/】2.(2022・湖南•高三阶段练习)记各项均为正数的数列｛㈤的前〃项和是生，已知显+%=2%,

n为正整数，求｛%｝的通项公式；

【答案】4=风口€4)

【分析】项和转化可得%=如1+1(Z7>2),利用等差数列的通项公式即得解；

【解析】当口N2时，件-广％=2%,相减得域一南+%_*=2%,

I历+%=2%

即(殳一见1一1)(殳+见1)=0,各项均为正数，所以殳=见1+1(/7＞2),

故｛为｝是以首项为1,公差以1的等差数列，所以％=K口64)；

【变式5-1｝3.(2022•山东兰陵四中高二阶段练习)已知正项数列｛㈤满足4=24,端1—(Z7+4)品=

4%/曲1/〃求｛㈤的通项公式；

【答案】%=(Z7+3)-(Z7+2)•(Z7+1).Z7

【分析】由题意可得⑷见1-(。+4)%](如1+㈤=0,因为｛㈤为正项数列，所以等=等,所以由累乘

UgU

法可求出｛殳｝的通项公式；

【解析】由端1一(〃+4)显=4%%+1可得：[。%+1-(Z7+4)%](如1+%)=0,因为｛㈤为正项数列，所

以磔1-(〃+4)殳=0,所以第=等，则台=得，料=修，件=捐......

UgULr-I^0—2U~'乙/一3u-o

1=1,g=将这"1个式子相乘，则卷=9+3：詈著].：1)心=Q2•啜)3＞。,

又因为％=24,所以为=(Z7+3)-(Z7+2).(Z7+1)-Z7

【变式5-7]4.(2022•四川省内江市第六中学)数列｛㈤的前颂和记为％,己知生＞0,崖+2%=4%+3.

求｛为｝的通项公式；

【答案】(1)4=2口+、

【分析】(/)根据%=L9，作差得到%-⑸1=2,结合等差数列定义及通项公式，即可求

VUg-Uki，UN乙

解；

【解析】解：因为殳＞0,蕾+2%=4殳+3,

令。=1可得，帚+2功=4功+3,解得％=3或%=一1(舍去).

当Z722时可得娘_1+2见1=4见1+3,两式相减得区—限1+2(%-4_1)=4殳，即(为一%。(殳+

见1)=2(4+%-1),因为%＞0，可得%-见1=2，所以数列｛㈤是以3为首项，以2为公差的等差数列，

所以数列｛㈤的通项公式为%=3+(Z7-1)x2=2Z7+1.

【变式5-1】5(2022•山西长治高三阶段练习后知数列｛㈤的前颂和为满足4%=(4-3)(%+5X0),

且生>0.求数列｛㈤的通项公式；

【答案】4=2/7+3

【分析】由题意，根据公式殳="nil-可得答案；

Z7>2

【解析】匚当，=1时；4%=(小-3)(%+5)=+2。1-15,口。/—2。1-15=。，得用=-3或小=

5.%>0,%=5.当Z7N2时,40口=(%—3)(%+5),4口小=(/_〔一3)(%一1+5),

4口口=若+2%一见J-即％2_2%_如［2_2%=o,!_(%+见〔)(必一见1_2)=0,L%>0,

DQ一口2、—2=0,口口—5+2(27—1)=2/7+3.

题型6需要同除型

♦类型1直接除

【方法总结】相除法

/.形如，必+/=(〃+〃。"+“("+〃的递推式,两边同除以n(n+l)

2.开乡如an+i=pafl+qan+ian的递推式，两边同除以斯+/斯

【例题6-1】(202/・福建省福州第一中学高三开学考试)已知数列｛㈤满足。1=1，磔1-(〃+1)%=〃+〃,

设%=务求数列｛0｝的通项公式；

【答案】口产口

【分析】根据等差数列的定义，可得｛%｝是等差数列，进而求出通项公式；

【解析】因为刃而一卬+1)殳=W+1),所以需-£=1,即%-殳=1,

所以｛%｝为等差数列，其首项为％=功=1,公差Z7=1.所以%=1+(。-1)=〃

【变式6-1】/.在数列｛㈤中小=4,磔1-(Z7+1)32#+2a.求证：数列净是等差数列；

【答案】见解析；.

【解析】磔1一(Z7+1)殳=勿+2曲两边同时除以如+1),得需一号=2,

数列｛3是首项为4,公差为2的等差数列.

【变式6-1]2.（2022福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知数列®｝满足％=1,2如1=（1+》殳（㈤N*）.

求数列｛4｝的通项公式.

【答案】。尸见0；

【分析】由已知递推关系可嘀=；口?，结合等比数列的定义写出通项公式；

Ln'INU

【解析】依题意,2%1=（1+：）Z7从加N*）,即如1=+口^殳，故需=；吟,

所以数列朗是等比数列，首项为?=1，公比为;的等比数列，故，即行加（；/；

【变式6-1]3.（2022・四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习）在数列｛㈤中，功=1,殳出1=瓦一

如1（7760*）.求数列｛%｝的通项公式；

【答案】为=X，ezr）

【分析】递推公式判断数列｛%｝为等差数列，求出公差d,再写出通项公式；

【解析】因为如%=%-4+1（在心，所以《―（=1,又用=1，所以数列圉是以/为首项，/为公

差的等差数列，所以!=O,所以为=口/7€□*）；

【变式6-7]4.（2022・上海复旦附中高三阶段练习）正项数列｛㈤满足4=2,2（如/,暗）=3gl瓦,

贝应023=-

【答案】22°23

【分析】先对2（%/,〃2）=3如也变形得到誓-3=?,设誓=Z7>0,求出27=2,得至!]｛4｝为等比

数列，求出答案.

【详解】因为2（%-域）=3%Da,所以和*=|,即等一丹=》设第=0，则。

解得：27=2或-1因为｛为｝为正项数列，所以。>0,故Z7=2,所以｛劣｝为等比数列，首项为2,公比为2,

所以e023=2X22022=22°23故答案为：22°23

【变式6-1｝5.已知各项均为正数的数列｛4｝的首项4=1,s“是数列｛%｝的前"项和.且满足

%S“+|-q+0,+%(nUN*).

(〃求证：｛竽｝是等差数列；

an

⑵求数列｛”“｝的通项凡.

1qq।11

【解析】(/)因为。£+]-。“+5+4,-％=”4+],所以上1---+--------=彳，

2«„+1«„«„+la„2

即±1一几土1=2,所以数列｛竽｝是以2为首项，<为公差的等差数列.

(2)由(/)可知"一Z+S-1〉：，即，S“+l=g+g)%.□当伫2时，S,i+l=q+l)4i.□

匚-□得，=~^-an-^-^an_l.即("+1)。,,=("+2)4-,所以一^=~^；(n>2),

22〃+2〃+1

所以是常数列，且为！,所以为=《5+2).

[〃+2JJ3

♦类型2含有指数型

【例题6-2｝(2022・全国•高三专题练习)数列/5满足如1=5%+3x5加，％=6,则数列他J的通项公

式为.

【答案】力=(3。一》-5°.

【分析】已知式两边同除以5公1,构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论.

【详解】殳+1=5生+3x5以1,所以符=§+3,即蔚一会=3,

』康是等差数列，而g=]所以/=I+3(Z7-1)=3Z7-1,所以为=(3/7-凯5J

故答案为：殳=(3/7-m-5J

【变式6-2】1.(2022・云南师大附中高三阶段练习)已知数列｛殳｝的首项％=6,且满足以产4分2Gl.

求数列｛%｝的通项公式；

I答案】⑴口别+2口

【分析】(/)通过递推公式，等号左右两边同时除以2Gl构造新数列.

(/)%j=4%2G1,翁•=2口舞1,黑1-1=29-1),又£-1=2,故修-")｝是以2为首项，2为公比的

等比数列.刎=202刃=2°,则殳=40+2,.

【变式6-2｝2.(2022・山东・兰陵四中高二阶段练习)设数列｛%｝的前颂和殳=2%5'2川+8,则&oo=()

A.501x21005.501x2101C.496x299D.496x2100

【答案】A

【分析】根据数列外与殳的关系化简计算可得%•2%i=5x2°，等式两边同时除以2。得翁-翳=5，结合等差数

列的定义可知｛,｝是以6为首项，5为公差的等差数列，进而求出硼通项公式，即可求解.

【详解】由题意知，口方2口卢x2»'+8,

当庐1时，Z71=Z7)=2Z7l-5x2+8,解得凸=12,

当㈤2时,如=2%-5x2，+8,

则殳=方％1=2勿5'2川+8-(24i-5x2，+8)=2如2%1-5x2°,

整理，得左2%=5x2",等式两边同时除以2°,得飘翁=5，又/=6,

所以数列｛$｝是以6为首项，5为公差的等差数列，有*=6+5(昆1)=501,则%=(5G1)x2°,

所以。100=501x210°故选：4

【变式6-2】3•(2022•全国•高三专题练习)已知在数列｛㈤中M4，%+1=:%+(；)，则%=______.

OO\乙)

【答案】p-

【分析】由构造法可得26如1-3=|(2%-3),所以数列｛2旬-3｝是以-汐首项，

|为公比的等比数列，即可求出数列｛生｝的通项公式.

【详解】因为。1=g殳+(；)的，所以2川外1=：x2旬+1,

整理得2加1%+1-3=|(2旬-3),所以数列｛2旬-3｝是以2凸-3=七为首项，

|为公比的等比数列，所以2%-3=-茬广।,解得%=＞多.

故答案为：?-宗

【变式6-214.（2022・湖北黄冈・高三阶段练习）已知数列｛㈤各项均为正数且满足&-（Z7-1）殳-2/+0=

0,数列｛㈤满足功=3,且0+1=3口）+3/1.求｛%｝,｛㈤的通项公式；

【答案】％=2Z7-1,Da=D-3°；

【分析】由崖-1）%-2〃+Z7=0化简可得到｛%｝的通项公式，将%+1=3瓦+3以1左右两边同除以

3*1可得｛$｝是等差数列，即可得到｛㈤的通项公式；

【解析】由历一（。一1）4-2加+。=0可得［殳一（2。-1）］（%+。=0,%=2。-1,

•••如1=3%+3以1,左右两边同除以3公1,得蔚=$+1,所以数列｛争｝是公差为1的等差数列，

••1*=1,.・.$=1+。-1=Z7,.・•殳=03。；

【变式6-215（2022江西芦溪中学高三阶段练习（文）股生为数列｛㈤的前颂和，已知功=；,罗=!+2",

贝!=_______

【答案】P

【分析】誓=5+2辆边同除2内1,令负0=4,则有/。+1）-1=—1）且仄1）—1=0,则有

仄0-1=0,即可得％=’.

【详解】署成+2、悬电喘+［令久0=枭贝阿〃+1）-14m-1）,

匚又仄1）-1=-―1=0,=0,□为=5；

♦类型3转化成Sn型

【例题6-3］在数列｛%｝中，功=1,4=昌，则｛4｝的通项公式为.

［答案］口口=（2^7-2^3，n-2.

I1,n=1

【解析】当，22时，%=%-见1,㈤1=芸7,2S布/2〃MM+%_I=2S今

整理可得：生-㈤1=24见1,2-=2,尽/为公差为2的等差数列，93（n-l）.2=2n-l,

°n°n-1°n°n01

1（-2-n---1---------n>2

Sn~2.,^O-\-2n-3，一.

2ZI1,n=1

【变式6-3】1.（2022浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知各项均为正数的无穷数列｛㈤的前颂和为

生，且满足功=1,叫”(Z7+1)%+智N)证明数列｛㈤是等差数列，并求出｛㈤的通项公式;

【答案】证明见解析,瓦=口

【分析】方法一：由皿印=(Z7+1)%+气2得(£7+1)如2=(。+2)%1+丝磬一利用L-L化简得

到%*1与%的关系即可.

方法二：由切的=(Z7+1)%+智得智=3+［即｛3是以1为首项，功公差的等差数列，求出站勺通

项公式再利用%+1