概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第4章 习题课+5

概率论与数理统计（慕课版）习题课第4章数字特征与极限处理2

习题课解📚例1设随机变量X的分布函数为

，其中Φ(x)为标准正态分布函数，求E(X).X的概率密度为则令，故.因为，，，3

习题课📚例2设随机变量X的分布函数为

，其中Φ(x)为标准正态分布函数，求E(X).解X的概率密度为则令，则4例1和例2的题型相同，随即变量X的分布函数都用标准🎯方法归纳

习题课正态分布的分布函数

表示，求X的期望.

首先，求出X的概率密度

f(x)，f(x)是用标准正态分布的概率密度函数

表示的;其次，求出X的期望E(X)，计算过程中要用到

的和.性质5解

习题课📚例3设随机变量X、Y相互独立，且X的概率分布为，Y的概率密度为其他.（1）求；（2）求Z=X+Y的概率密度.（1）（2）记Z的分布函数为

，那么.6

习题课当z<0时，；

7

习题课

所以，Z的概率密度为其他.

8解

习题课📚例4设随机变量X的概率分布为.在给定

的条件下,随机变量Y服从均匀分布.求.根据Y的分布函数可以求出Y的概率密度函数为其他.9

习题课因此，🎯方法归纳本题是第二章习题课例5的续，都是2014年考研题的一个

大题.这也是离散型随机变量和连续型随机变量混合的题型，在第二章习题课例5中，将离散型随机变量

X的两个取值分别代入，求出Y的分布函数；概率密度函数，再利用数学期望的定义进行计算.本题将分布函数求导得到

Y的.10解

习题课📚例5设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),求.标准正态分布的概率密度为.则11🎯方法归纳

习题课本题是随机变量函数期望定理的应用:求解随机变量函数的期望，用函数的取值乘以原随机变量的概率密度函数，再求积分.12解

习题课📚例6设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记，，求=

.（A）.（B）.（C）.（D）.因为所以，，故应选B.13解

习题课📚例7设随机变量X的概率分布为

，Y表示X被3除的余数，求E(Y).由题意知，Y所有可能的取值为0,1,2.则；.因此，；14🎯方法归纳

习题课

本题解题的关键是确定随机变量Y与X之间的关系，因Y表示X被3除的余数，{Y=2}对应{X=3n+2}，再利用X的概率分布进行计算.{Y=0}对应{X=3n}、{Y=1}对应{X=3n+1}、故有15解

习题课📚例8设二维随机变量（X,Y）服从

，求.由于（X,Y）服从二维正态分布，且，则X与Y相互独立.因此，🎯方法归纳本题用到了二维正态分布一个结论：对于服从二维正态分布的随机变量（X,Y），X与Y不相关等价于X与Y相互独立..16解

习题课，📚例9设连续型随机变量且X1与X2相互独立,且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为

与，随机变量Y1的概率密度为，随机变量.则（A）.，（B）.，（C）.，（D）.，17

习题课故.又因为，，则.故，应选D.18解

习题课📚例10设随机变量X的概率分布为，，若，求.由题意知，解之得.因此，X的方差为19解

习题课📚例11设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y服从参数为λ的泊松分布.令Z=XY.（1）求

；（2）求Z的概率分布.（1）由题意知，，

，.所以，.20

习题课（2）Z的所有可能取值为全体整数值，且，对于，有21🎯方法归纳要求解Z的概率分布，首先要确定Z的取值范围，因X的取值为

习题课，，即时，需要一定的技巧，根据X、Y的取值不妨设

，再利用X与Y的独立性进行求解.

22解

习题课📚例12设X服从区间

上的均匀分布，，求.由题意知，X的概率密度函数为则其他.，23解

习题课📚例13设随机变量X,Y的概率分布相同,X的概率分布为，，且X与Y的相关系数.（1）求的概率分布；（2）求；（1）设的概率分布为

X010ab1cdY24

习题课

根据题意计算可得，，.由解得.25

习题课因为，故.同理可得，.因此，.综上所述，的概率分布为

X0102/91/911/95/9根据题意计算可得，（2）Y26解

习题课📚例14设二维随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布，令求Z1与Z2的概率分布相关系数.根据的联合分布律

Z20101/4011/21/4Z127

习题课可以得到Z1、Z2和Z1Z2的分布律：Z101P3/41/4Z201P1/43/4Z1Z201P3/41/4可得，，..28

习题课.因此，.29

习题课🎯方法归纳本题与第三章的例四的后续题目,都是2020年考研题数三的22题.此类二维离散型随机变量的问题,涉及到联合分布律的求法、边缘分布律的求法，还综合了连续型随机变量的均匀分布、数学期望、方差、相关系数等知识点，能顺利求解.要求学生扎实的掌握这些基础知识才

由

的分布律可得到

及

的分布律为30解

习题课📚例15

已知

的分布律为计算-112概率1/41/21/414概率3/41/4-118概率1/41/21/431

习题课32解

习题课📚例16已知二维随机变量

的联合分布律为计算

，

的期望

33

习题课34

习题课📚例17

设随机变量Y~N(0,1),求

的联合分布列.

(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=2

2Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=2[Φ(2)

Φ(1)]解35

习题课P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.6826列表为：X101X2