概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第2章 习题课+10

概率论与数理统计（慕课版）习题课第2章随机变量及其分布201

排列及其逆序数📚例1

某人家中，在时间间隔t（单位：h）内接到座机电话的次数X服从参数为2t的泊松分布.(1)若他外出计划用时10分钟,问期间电话铃响一次的概率是多少?(2)若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5,问他外出应控制最长时间是多少?301

排列及其逆序数（1）当t=10/60=1/6时，，故所求概率为（2）设外出最长时间为t（单位：h），解以X表示此人外出时电话铃响的次数,由题意知X~π(2t),t表示外出的总时间，则X的的分布律为因为X~π(2t)，401

排列及其逆序数要使即，解之得0.3466小时约为21分钟，于21分钟.因此，某人应控制外出时间小因此无电话打进的概率为，📚例2501

排列及其逆序数解因为

设与为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度是的

.A.B.C.D.而601

排列及其逆序数所以满足概率密度的两条性质，故应选D.方法归纳本题考查的是概率密度函数的性质。函数的题目，只需要判断函数是否同时满足非负性及正对于判断概率密度则性。📚例3701

排列及其逆序数解因此，

设随机变量X的概率密度为

F(x)为X的分布函数,求由题意知,X的分布函数为📚例4801

排列及其逆序数

设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概率控制在5%以下?901

排列及其逆序数解记X为该油站每周的销售量，k为该油站储油罐的最大由题意知,k应满足储油量.上式等价于解之得

（千升）.因此,当取k等于46千升时可将一周内断油的概率控制在5%以下.📚例51001

排列及其逆序数解当y<0时，

设随机变量X的概率分布为在给定X=i的条件下,随机变量Y服从均匀分布求Y的分布函数.当0≤y<1时，1101

排列及其逆序数当0≤y<1时，当1≤y<2时，当y≥2时，因此，Y的分布函数为📚例61201

排列及其逆序数解

设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，求.由于，则由指数分布的分布函数有1301

排列及其逆序数方法归纳

本题用到了条件概率公式，出了上面的方法，还可以利用指数分布的无记忆性：📚例71401

排列及其逆序数解因，A.B.C.D.

设是随机变量,且

，，

，，则1501

排列及其逆序数因为为单调增函数，故又因为，故综上所述,所以应选A.1601

排列及其逆序数方法归纳

正态分布是考研数学中的热点题型，本题和例8都涉及了正态分布的性质.

本题主要考察正态分布的标准化变换，要求解概率

，首先要对

进行标准化变换，其次要用到的性质：📚例81701

排列及其逆序数解A.p随着

μ的增加而增加B.p随着

σ的增加而增加C.p随着μ的增加而减少D.p随着σ的增加而减少

设随机变量,记，则因为

为单调增函数,所以p随着

σ的增加而增加,应选B.📚例91801

排列及其逆序数解记Y为三次测量中误差的绝对值不超过30cm的次数，

测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率.若记p为“一次测量中误差的绝对值不超过30cm”的概率，则Y~b(3,p).1901

排列及其逆序数由题意知,

X~N(20,402),则有因此，所求的概率为📚例102001

排列及其逆序数解

设

，求的分布.

当y≤0时,Y的密度函数为

；当y>0时,Y的分布函数为对上式两边关于y求导，得2101

排列及其逆序数即这是伽玛分布

的概率密度函数.

设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2,求W的概率密度.📚例112201

排列及其逆序数解由题意知,电流I的概率密度为因W=2I2,即有w=g(i)=2i2,在i>0时,g(i)严格单调增加，且有反函数

，而，2301

排列及其逆序数g(9)=162，g(11)=242.即由公式法可得W的概率密度为

📚例122401

排列及其逆序数解容易得到X可取1,2,3，由古典概型的计算方法，对应的概率值分别为0.5,0.3,0.2。由分布函数定义知若则为不可能事件,故2501

排列及其逆序数若则所以同理,当时,有当时,有2601

排列及其逆序数综上,随机变量的分布函数为

设随机变量x的分布律如下：📚例132701

排列及其逆序数解求（1）（2）

的分布函数📚例142801

排列及其逆序数解设随机变量的概率密度函数为求（1）（2）

的分布函数（1）2901

排列及其逆序数

(2)📚例153001

排列及其逆序数解某人向同一目标重复独立射击5次，每次命中

目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。设表示在5次重复独立射击中命中的次数，则📚例163101

排列及其逆序数解设随机变量有分布律

，求c的值，并求解

.根据分布律的定义有事实上，不难看出，,所以📚例173201

排列及其逆序数解已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,且本周不再进货.设该款手表每周的需求量为，则有；设至少需要进块该款手表，才能满足不脱销的概率不小于0.9，即要满足3301

排列及其逆序数📚例183401

排列及其逆序数解设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率．记X未来一年中这1000个投保人中死亡人数，则有3501

排列及其逆序数此时可近似看作参数为5的泊松分布,📚例193601

排列及其逆序数解（1）X的概率密度函数为设随机变量,求（1）事件的概率；（2）Y表示对X作3次独立重复观测中事件出现的次数，求.3701

排列及其逆序数所以（2）Y表示对X作3次独立