苏科版高一数学必修一第3章 3.2 3.2.2　基本不等式的应用2024新高一暑假自学课堂含答案

苏科版高一数学必修一第3章3.23.2.2基本不等式的应用2024新高一暑假自学课堂含答案3.2.2基本不等式的应用1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点)2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点)3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点)1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成lkm的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？知识点基本不等式的应用1．基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．5C[∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1．∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，即b＝2a时，等号成立．故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为eq\f(9,2)．]2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；(3)解题注意点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．20[总运费与总存储费用之和y＝4x＋eq\f(400,x)×4＝4x＋eq\f(1600,x)≥2eq\r(4x·\f(1600,x))＝160，当且仅当4x＝eq\f(1600,x)，即x＝20时取等号．]类型1利用基本不等式变形求最值【例1】(1)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值；(2)设a>b>0，求a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值．[解](1)法一：∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．法二：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1可知x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq\r(x－1y－9)＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．(2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝(a2－ab)＋eq\f(1,a2－ab)＋eq\f(1,ab)＋ab≥2eq\r(a2－ab×\f(1,a2－ab))＋2eq\r(\f(1,ab)×ab)＝4，当且仅当a2－ab＝eq\f(1,a2－ab)且eq\f(1,ab)＝ab，即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)时取等号．∴a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值为4．[母题探究]若将本例(1)中条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．[解]法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－16＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18．当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18．法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1．∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18．当且仅当eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18．1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋eq\f(b,x)(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．eq\o([跟进训练])1．已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．9[∵x＋y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)．∵x>0，y>0，∴eq\f(y,x)>0，eq\f(4x,y)>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4，∴5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9．当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)时等号成立．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))min＝9．]2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．3[由题意得y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．]类型2利用基本不等式求参数取值范围【例2】(1)已知函数y＝x＋eq\f(a,x)＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．1 D．2(2)已知函数y＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是________．(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))[(1)由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝eq\r(a)时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝－eq\r(a)时取等号，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1．故选C．(2)对任意x∈N*，y≥3，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3．设z＝x＋eq\f(8,x)，x∈N*，则z＝x＋eq\f(8,x)≥4eq\r(2)，当x＝2eq\r(2)时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝eq\f(17,3)．∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))．]含参数不等式的求解策略1观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.2在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.eq\o([跟进训练])3．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8B[对任意的正实数x，y，(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥1＋a＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝eq\r(a)x时取等号，所以(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值为(eq\r(a)＋1)2，于是(eq\r(a)＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故选B．]4．已知正数x，y满足x＋2eq\r(2xy)≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．2[依题意得x＋2eq\r(2xy)≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)的最大值为2．又λ≥eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．]类型3利用基本不等式解决实际问题【例3】“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝eq\f(x＋1,2)(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Q＋\f(1,Q)))万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(20,Q)))元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)[解]设该批产品的利润为y，由题意知y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(20,Q)))·Q－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Q＋\f(1,Q)))－x＝2Q＋20－2Q－eq\f(2,Q)－x＝20－eq\f(2,Q)－x＝20－eq\f(4,x＋1)－x＝21－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)＋x＋1))，0≤x≤3．∵21－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)＋x＋1))≤21－2eq\r(4)＝17，当且仅当x＝1时，上式取“＝”，∴当x＝1时，ymax＝17．即当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．应用基本不等式解决实际问题时的思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．eq\o([跟进训练])5．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量为1吨时，总成本为142万元．(1)求k的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？[解](1)设除尘后的每日生产总成本为μ万元，由题意，除尘后μ＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8＋kx＝2x2＋(15－3k)x＋120k＋8，∵当日产量为1吨时，总成本为142万元，代入计算得k＝1．(2)由(1)μ＝2x2＋12x＋128，总利润L＝48x－(2x2＋12x＋128)＝36x－2x2－128(x>0)，每吨产品的利润为eq\f(L,x)＝36－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x)))≤36－4eq\r(x·\f(64,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(64,x)，即x＝8时取等号，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．1．设x>0，则3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3B．3－2eq\r(2)C．－1D．3－2eq\r(3)D[∵x>0，∴3x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x))＝2eq\r(3)，当且仅当x＝eq\f(\r(3),3)时取等号，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq\r(3)，则3－3x－eq\f(1,x)≤3－2eq\r(3)，故选D．]2．已知eq\f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于()A．1＋eq\r(2) B．2C．3 D．4B[eq\f(x2－x＋1,x－1)＝eq\f(xx－1＋1,x－1)＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立．]3．若正数m、n满足2m＋n＝1，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．3＋2eq\r(2)[∵2m＋n＝1，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(2m＋n)＝3＋eq\f(2m,n)＋eq\f(n,m)≥3＋2eq\r(2)，即最小值为3＋2eq\r(2)．]4．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2．2eq\r(3)[设两段长分别为xcm，(12－x)cm，则S＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(\r(3),36)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋12－x2))≥eq\f(\r(3),36)×eq\f(x＋12－x2,2)＝2eq\r(3)．当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为2eq\r(3)cm2．]5．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是________m3，此时厢高与厢长之和为________m．166[设车厢的长为bm，高为am．由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝eq\f(16－2a,a＋1)，∴V＝a·eq\f(16－2a,a＋1)·2＝2·eq\f(16a－2a2,a＋1)．设a＋1＝t，则V＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2t－\f(18,t)))≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2\r(2t·\f(18,t))))＝16，当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．a＋b＝6．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎样理解的？[提示]和定积最大、积定和最小．若x，y为正数，x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取最大值；若x，y为正数，xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值．2．求解应用题的方法与步骤是什么？[提示]①审题②建模(列式)③解模④作答．教师用书独具等号的由来相等(equal)是数学中最重要的关系之一．等号表示相等的含义．等号(SignofEquality)的出现与方程有关，数学于萌芽时期已有了方程的记载，因此亦有了表示相等关系的方法．“方程”的概念早于中国古代已出现，但它是以“列表”(算筹布列)的方法解答，并不需等号，而书写时则以汉字“等”或“等于”表示．在15、16世纪的英文数学书中，还用单词代表两个量的相等关系．例如在当时的一些公式里，常常写着aequaliter这个单词，其含义是“相等”．1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto(等于)这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段意义更相同了．”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“＝”表示“相等”，“＝”叫作等号．用“＝”替换单词表示相等是数学上的一个进步．由于受当时历史条件的限制，这个符号的推广很缓慢，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用．不过，其后的著名人物，如开普勒、伽利略与费马等人常以文字或缩写语如aequals，aeqantar，ae，esgale等表示相等；1637年，数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用“∞”表示过“相等”，以“＝”表示现代“±”号之意．直到17世纪末期，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“＝”，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等．由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认．课时分层作业(十一)基本不等式的应用一、选择题1．若a＞1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2 B．aC．eq\f(2\r(a),a－1) D．3D[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3．]2．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4C[∵x<0，∴f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时取等号．]3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5 D．6B[由题意知ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]4．已知正数x，y满足eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是()A．18B．16C．8 D．10A[x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq\f(16y,x)＋eq\f(x,y)≥10＋2eq\r(16)＝18，当且仅当eq\f(16y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝4y＝12时，等号成立．]5．(多选题)已知a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为()A．8B．7C．6 D．5CD[由已知，可得6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，∴2a＋b＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))×(2a＋b)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，当且仅当eq\f(2a,b)＝eq\f(2b,a)时，即a＝b＝18等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选CD．]二、填空题6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．25[(1＋x)(1＋y)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1＋x＋1＋y,2)))2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2)))eq\s\up12(2)＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25．]7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq\f(20t,t2＋4)，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．2[C＝eq\f(20t,t2＋4)＝eq\f(20,t＋\f(4,t))．因为t>0，所以t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当t＝\f(4,t)，即t＝2时等号成立))．所以C＝eq\f(20,t＋\f(4,t))≤eq\f(20,4)＝5，当且仅当t＝eq\f(4,t)，即t＝2时，C取得最大值．]8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2．56[设阴影部分的高为xdm，则宽为eq\f(72,x)dm，四周空白部分的面积是ydm2．由题意，得y＝(x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(72,x)＋2))－72＝8＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq\r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．当且仅当x＝eq\f(144,x)，即x＝12dm时等号成立．]三、解答题9．已知a>b>0，求a2＋eq\f(16,ba－b)的最小值．[解]∵a>b>0，∴b(a－b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,4)，∴a2＋eq\f(16,ba－b)≥a2＋eq\f(64,a2)≥16．当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a－b，,a2＝8，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝\r(2)))时取等号．故a2＋eq\f(16,ba－b)的最小值为16．10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋eq\f(784,x＋3)－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解]设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(784,x＋3)－118))＝118－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(784,x＋3)))＝118－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4x＋3＋\f(784,x＋3)－12))＝130－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4x＋3＋\f(784,x＋3)))≤130－2eq\r(4x＋3·\f(784,x＋3))＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x＋3)＝eq\f(784,x＋3)，即x＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．11．(多选题)已知不等式(x＋my)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的值可以是()A．3B．4C．5D．6BCD[因为x>0，y>0，m>0，所以(x＋my)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝1＋m＋eq\f(my,x)＋eq\f(x,y)≥1＋m＋2eq\r(m)．因为(x＋my)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立．所以1＋m＋2eq\r(m)≥9，解得eq\r(m)≥2．即m≥4．]12．若a>0，b>0,3a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(a＋1,b)的最小值为()A．8B．7C．6 D．5A[∵a>0，b>0,3a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(a＋1,b)＝eq\f(3a＋b,a)＋eq\f(a＋3a＋b,