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文档简介

艺考之路•考点快速过关

数学参考答案

第一章集合与常用逻辑用语

第1课集合的概念与运算

要点梳理

1.€任G、9二

2.{^xeA且xeB){x\xeA或xeB]

3.3胜S且扉川

激活思维

1.③④⑤⑥2.。Z3.{(1,2))4.4

真题演练

1.{1,8}2.{2,4,5)

能力提升

例1【答案】2

例2【解答】由题意知/={-4,0},

由AnB=B,得在4

所以云。,{0},{-4}或{-4,0}.

若生{-4,0),则0,-4是方程*+2(91)k/1=0的两个根,

2>0,

所以1Q2・I=O,解得不=1;

(4)2+2(a+1)(-4)+a2-l=0,

若氏{0},则0是方程*+2(*1)*+庄-1=0的两个等根,所以够9°解得>1;

若房{・4},则-4是方程*+2⑶1)心/1=0的两个等根,

0

所以22M,.21n无解;

l(-4)+2(a+1)(-4)+/-I=0,

若B=0,则21=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

综上,实数a的取值范围是信把-1或年1}.

当堂反馈

1.{-2}2.3

第2课四种命题和充要条件

要点梳理

1.若非p则非q若q则p若非g则非「逆否命题

否命题

2.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要

激活思维

1.若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行若两条直线不平行,则这两条直线的斜率不相等

2.2

3.(1)充要条件(2)既不充分也不必要条件(3)必要不充分条件(4)充分不必要条件

4.[0,1]【解析】因为□夕是口。的必要不充分条件,

所以。是q的充分不必要条件.又因为P:对q:法[a,>1],所以有区1回a,>1],所以『j1且两个等

号不同时成立,解得0《考.故实数a的取值范围为

真题演练

1.充分不必要2.-1,-2,-3(答案不唯一)

能力提升

例1【答案】充分不必要

【解析】若存在负数儿使得而才/7,则加m=47/7=4代0成立;当“mn<0”时,zn与"不一定共线,所以“存

在负数4使得加=加"不一定成立.综上可知,“存在负数人使得小而”是“加/7<0”的充分不必要条件.

例2【答案】(1)充分不必要条件

(2)充分不必要条件(3)必要不充分条件

【解析】(1)tanA=1=A=;+HT,依乙所以A=2ATT+^>ASZ=>A=J+ATT,依乙反之不成立.

(2)因为X>2,y>2,根据不等式的性质易得x+y>4t号>4,但反过来不一定成立,如*=;,片24.

(3)•元二次方程X2+X+777=0有实数解=在也所以加%反之不成立.

当堂反馈

1.充要必要2.真

第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

要点梳理

1.全称量词YxeM,p(x)

2.存在量词BAOG/I^p(M)

3.或且非

4.3xeMtDp(x)

激活思维

1.22T庶R,M+A+1W0

3.VJ^R,庐*+1±04.真

真题演练

1.@2.VA>1,A2<2

能力提升

例1【解答】若命题。是真命题,则0丫+力1<0对40恒成立,即“对A>0恒成立.

当%>0时

所以-1<-(;)<0,

所以/7>1<-1,U|]加0.

若命题g是真命题,则关于X的方程/77*+4*1=0有正实数根.

因为A>0,由6■+4*1=0,得-4e[-4,+«).

因为“0且q”为真命题,所以P和g都是真命题,

所以实数m的取值范围是[40].

例2【解答】设**lnx,施[1,3],则片1一二4,当簧[1,3]时,I/々0,故函数y=*lnx在胫[1,3]为单调增

函数,所以>in=1,故若夕为真,则初>1.

因为VxcR,不+2>演,所以亦<2,故若q为真,WJ-V2</T?<V2.

(1)若“(口p)Aq”为真,则实数m满足『售1’后所以-夜<也1,即实数m的取值范围的(-四,1L

(-V2<m<V2,

(2)若“pW为真命题,“p/\q”为假命题,则p,q一真一假.

若。真g假,

则实数"满喘盛或m2e即";

若。假q真,

则实数。满足[若1'向即-我<E1.

(-V2<m<V2,

综上,实数m的取值范围为(-我,们u[VI+1»).

当堂反馈

1.[0,1]【解析】因为(*a)(,介1)>0,所以-2或A>A1,所以□不电那升1.又p是的充分不必要条件,

所以Fj:'>]解得°'能今故实数a的取值范围为[o,养

2.(3,-2]u{1}【解析】若p是真命题,即把(*)min,*[1,2],所以第1;若0是真命题,即4+2ax+2-a=0有解,

则/=4*-4(2-8)之0,即在1或务-2.命题“pnq”是真命题,则夕是真命题,q也是真命题,故有g-2或a=1.

第二章函数与导数

第4课函数的概念及其表示法

要点梳理

1.定义域值域对应法则

2.解析法列表法图象法

激活思维

1.@2.-23.34.Iog32

真题演练

1.-72.:或-1

能力提升

例1【解答】(1)因为Ax)=V^=W,g(x)=V^=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同•

函数.

(2)因为函数而邛的定义域为(・%0)u(0,+8),而g(x)=昔的定义域为R,所以它们不是同一函数.

(3)因为函数f(x)二衣•灯I的定义域为m启0},而g(x)=VPWi的定义域为凶器・1或*0},所以它们不

是同一函数.

(4)两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.

例2【解答】(1)(换元法)令夕[f(A),则A=奈故H=lg爪所以/U)=l啥(61).

(2)(待定系数法)设f(x)=aAH(A0),

则3A%+1))=3ax+3a^3b-2ax^2a-2b^ax+t^5a=2x+^\7f所以a=2f/n-5a=17,

所以a=2,b=7,所以M-2x+7.

当堂反馈

1•①【解析】①两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.②因为f(川二值二因,两个

函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.③两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.④两个函数的定义

域不同,故它们不是同一函数.

2.-i2V6-6【解析】«-2)=4,"(・2))=f(4)=3当时,而出;当心1时,f(x)=x+?6N2后6,当且仅当

六几时等号成立.故M的最小值为2遥・6.

第5课函数的定义域与值域

要点梳理

1.(1)不等于零(2)大于或等于0

(5){x|xeR且xHZT+/,kezj

激活思维

1.[1,+-)2.{0,2,6}4.[2,4]

真题演练

1.[-3,1]2.2+8)

能力提升

例1【解答】⑴由题意得£-产;。

即卜>2或“<0,解得_3VA<0或2。<3,

[-3<x<3,

所以函数M的定义域为G3,0)u(2,3).

0<x<2,

f2x-x2>0,

⑵由题意得I铝解得

2x-l*1,(X#1,

<3-2x*0,

即六器2H/1,瑞

所以ZW的定义域为&l)u(W)唱,2】.

例2【解答】⑴(配方法)因为片3庐*+2=31-丁+色

所以函数片3/-浒2在[1,3]上单调递增,

所以当后1时,原函数取得最小值4;

当A=3时,原函数取得最大值26.

故函数尸3*7+2(AE[1,3J)的值域为[4,261.

⑵(分离常数法)片笔凸坐=3珏,因为々*0,所以3J*3,

X-CX-4X-ZX-LX-Z

所以函数片翳的值域为卬尸3}.

(3)(换元法)设仁瓜三t>0,则*=1-9

所以原函数可化为片1-f+4aH2户+5(以)),所以六5,所以原函数的值域为(f5].

⑷(基本不等式法)片嗡1=端里/击=尺+白+/

X2

因为A>|,所以X-1>0,

所以卷+冬2JkW•卷=a,当且仅当其4,即心殍时等号成立,所以户此,所以原函数的值域

为g,+8)

当堂反馈

1.(0,1]2.(-00,1]

第6课函数的单调性

要点梳理

1.给定区间上任意及(冠

,(必)>穴及)

2.(1)函数单调性的定义法(2)函数的图象法

(3)导函数法

激活思维

1.32.(-2,1)3.[1,4)4.(0,2]

真题演练

1.(4,+8)【解析】函数片解-2*8=(*1)2・9图象的对称轴方程为A=1,由*-2*8>0,解得A>4或x<-2,所以函

数万"-2x-8的单调增区间为(4,+8).根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(庐2x-8)的单调增区间为(4,+3.

2.(』0)【解析】作出f(M的图象如图所示.当即A2-1时,E1"(A+1)<H2X),得*d>2x,即内1,所

以e;当图[:°,即-1<界0时,/Ol)〈f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是(田,0).

能力提升

例1【解答】(1)函数片-户1在(0,2)上为减函数.

(2)函数片正在(0,2)上为增函数.

(3)函数片层-2卢5在(0,1]上为减函数,在[1,2)上为增函数.

(4)函数片:在(0,2)上为减函数.

例2【解答】⑴因为"2)=22-(31)X2+5=-2A11,所以求次2)的取值范围就是求一次函数片-2凯11的

值域.又二次函数f(x)在区间弓,1)上是增函数,其图象开口向上,所以券§,解得小2,故«2)>-2x2+11=7,即A2)

N7,所以«2)的取值范围是[7,+8).

⑵因为f(x)二巴U在区间(-2,+8)上是增函数,所以对任意的两个不相等的实数X1,及£(-2,+OO),当MV及时,

即f(M)-Z(冠9*1+1以2+12。肛+丫2-2。丫2-勺一(Xl*2)(2a-l)vn

町+2*2+2(打+2)(*2+2)(勺+2)(工2+2)

又因为X1,X2W(-2,+«),X1VX2,

所以xi+2>0,X2+2>0,XI-X2<0,

所以2#1>0,故丹,

所以实数a的取值范围是倨,+/).

当堂反馈

1.(2,+8)

2.【解析】因为f(-x)=-M+2x+e«­x),f(0)=0,所以/U)是奇函数,则,(#1)+,(2*那0可化为f(2的

<f(1-a).又((#=3庐2+铲+&框3/-2+2J?百=3日0,所以/(其在R上单调递增,所以2鼻1e,解得・1«尾,故

实数a的取值范围为卜13].

第7课函数的奇偶性

要点梳理

1.f[.x)=.f(x)f(-x)+f(x)=Q

/(-x)=«x)f(・x)-f(x)=O

2.⑴原点原点⑵原点y轴⑶0

激活思维

1.12.-13.±14.(2,0)

真题演练

1.12

2.-2【解析】由题知+>2+x)+i.因为/l»+f(-x)=ln(,l+/・*+1+ln(Vl+x2+x)+1=ln(1+*-

*)+2=2,所以Aa)+A-a)=2,又4a)=4,所以A-a)=-2.

能力提升

例1【解答】(1)由辛20,得定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以函数f(X)为非奇非偶函数.

(2)当A<0时,-A>0,

则(X)=(-X)2-(-X)=*+A="X);

当x>0时,-内0,

则代-公=(-x)2+(-X)=/-A=f(X).

综上所述,对任意的於(一,0)U(0,+00),都有f(-X)=/(X),所以/U)为偶函数.

例2【解答】因为/Or)是奇函数,

所以f(/+f(x)=O,

碟冷需二°,解得g

乂由f(2)4得华宅,解得尸2,

所以函数的解析式是“a=空.

3x

当堂反馈

1.6

2.(-1.1)【解析】方法一:因为f(*是定义在R上的偶函数,所以f(a)+f(•力=2,(同)<4,即“同)<2,则

|邰+同<2,所以(同+2)(同・1)<0,解得・1<参1,所以实数a的取值范围为(・<1).

方法二:当胫0时,-应0,因为Ax)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=H-x)=(・x)2+(-x)=x2・x,故

M+X"1当在0时,f(a)+/(・勿=导+3)+(-3)2・(-3)=24+2小4,解得0<^<1;当K0时,fQ)+f(-

(xz-x,x<0.

a)=(a2-^)+(-a)2+(-a)=2s^-2a<4,解得-1<小0.综上,实数石的取值范围为G1,1).

第8课函数的图象

要点梳理

1.⑴列表描点连点成线(2)平移伸缩对称

激活思维

(X4-1,%€[-1,0],

1,|-1X,XG(0,2]2.左下13.14.(3)

真题演练

1.(4,0]【解析】作出函数/U)的图象如图所示,贝IJ当一<30时,片“外与片777有三个交点,即g(x)有三个零

(第1题)

2.2【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出/=ln|M和妆=/2的图象如图所示,由图可知,/与总的交点有

2个,故函数代*)=/+口因的零点个数为2.

(第2题)

能力提升

lgx,x>1,

例1【解答】(1)产

-lgx,0<%<1.

图象如图(1)所示.

(2)将片2*的图象向左平移2个单位长度.

图象如图(2)所示.

含:;二'。图象如图⑶所示•

⑶片

(4)因为尸1+W,先作出片:的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得

片詈的图象,如图⑷所示•

(例1)

例2【答案】(1)尸32-x⑵片tan|,3|

(3)片sin(叶匀(4)片log2(3x+5)

当堂反馈

1.(-3,0)u(3,+»)【解析】作出函数的大致图象如图所示,由图可知,俞0={潟黑或$(氯。

所以*(-3,0)u(3,+«>).

2.(0,1)【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数片f(x)及六〃(*1)的图象如图所示,由图知,函数

f(X)max=f(1)=1.设41,1),8(-1,0),函数片以户1)过点B,则由图可知要使关于X的方程/U)=〃(X+1)有两个不

同的实数根,则0<k<kg,所以实数才的取值范围是(。[).

第9课二次函数

要点梳理

1.(1)y=ax^+bx+c(a^Q)(2)y=a(%-xi)(x-X2)(^:0)(3)y^a(x-xo)2+n(a^O)

2.对称轴、顶点坐标、开口方向

激活思维

1.{机性3}

2.2【解析】当空0,即立0时,函数在区间[0,3]上为增函数,故f(x)min"(0)=1不符合题意,舍去;当会3,

即把-6时,函数在区间[0,3]上为减函数,故A%)min=/(3)=-2,解得A弓,与史-6矛盾,舍去;当0节<3,即・

6<^<0时,/(*min=(3=2解得乎-2,符合题意.综上,a=-2.

3.6【解析】由二次函数片*+(>2)X+3的图象关于直线罚1对称,可得二次函数图象的对称轴为六1,即-

岁=1,所以华4又M是定义在区间旧历上的函数,即a,6关于广1也是对称的,所以詈=1,所以66.

4.{X|-3<A<-1或x>Q]

真题演练

firn)=m24-m2-l<0,

【解析】根据题意<。解得费"口

f[m+1)=(m+I)2+m(m+1)-1

2.[i,2]【解析】当X>0时,f(x)=-^+2x-2a,此时只需H+2x-2把x恒成立,即2a2-g+X恒成立,当x>0时,-

*+x的最大值为之所以宓之;当-3WK0时,此时只需*+2x+a2fx恒成立,即as-*-3x+2恒成

立,当-30胫0时,-*-3/2的最小值为2,所以小2.故实数a的取值范围为2].

能力提升

例1【解答】(1)当京-2时,凡”)=庐4心3=(*2)2-1,因为疾[-4,6],

所以f(x)在[42]上单调递减,在[2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是A2)=-1.

又(4)=35,/(6)=15,故/U)的最大值是35.

(2)因为函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(必在[-4,6]上是单调函数,应有■然-4或一立6,

即a<-6或a>4.

所以实数a的取值范围是(-,-6]u[4,+8).

(3)当a=1时,火⑼=*+2x+3,

所以可即二产+2因+3,此时—[・6,6],

日”必=俨2+2%+34(0,6],

口八,-&2-2%+3*卜6,0],

所以w的单调增区间是(0,6],单调减区间是[-6,0].

例2【解答】(1)因为/U)+2A>0的解集为(1,3),所以f(x)+2¥=a(*1)(*3),且*0,

所以f(x)=a(x-D(x-3)-2x=a^-(2+4a)x+3a.①

由方程f(x)+6a=0,

得s*・(2+43)x+9a=0.②

因为方程②有两个相等的根,

所以j=[-(2+4a)]2-4a-9^=0,

即5^-4a-1=0,解得a=1或a=-1.

又s<0,所以干

将a=[代入①得M的解析式为

(2)由M)=a*-2(1+2a)心3罚分等丫。2+丁+1及得以)的最大值为储+丁+】

(a2+4a+l、八

由———>0-

Q<o,

解得a<-2-V3^-2+V3<a<0.

故实数a的取值范围是(田,-2-V3)u(-2+>/3,0).

当堂反馈

1.7【解析】由A0)=4,得尹2H4,B|Ja=4-26,贝ijA1)=1+a/H-4=5+ad=5+2d(2-d)=-2/^+4/H-5=-2(M)2+7s

7(当且仅当81,a=2时取等号).

2.(1)月(平2)2-1(2)(-00,-3]

第10课指数与指数函数

要点梳理

1.尸邰(印0且a*1)

2.(1)R⑵(0,+s)(3)(0,1)01⑷增减

激活思维

1.42.73.(1,2)4.-2

真题演练

412111

1.b<a<c【解析】因为5=23=163,/7=45=165,6=253且第函数片段在R上单调递增,指数函数片16、在R上

单调递墙所以供/c

2.[e+4,+s)【解析】当唐1时,f(x)min"(2)=4,所以当A<1时,ae后4恒成立,即a>ex+4对联1恒成立.因为

e*+4在(-%1)上的值域为(4,e+4),所以先e+4,故实数a的取值范围为[e+4,+«).

能力提升

例1【解答】(1)由题知2*+2-弓即(2*)2尚2+1=0,所以2*=2或2畤所以片1或A=-1.

(2)设0与小〈至,

则f(M)-/(就=2必+2%・(2小+2-如)=3黑竺&

因为2株>2乜1・2%】+必<0,所以即〃小)〃(冠,

所以大必在[0,+8)上是增函数.

例2【解答】(1)因为心)=4"-2"1=(2,)222-(2八1)2-1,所以/U)的值域为[-1,+8).

(2)因为4*-2日<8,所以(2、产-2・2*-8<0,所以-2<2*<4,所以A<2,故解集为(-%2).

当堂反馈

1.a>c>b2.(1,4)

第11课对数与对数函数

要点梳理

1.(1)①loga/V川oga/V②log8册loga/V③〃oga例

(2)①/V②N(3)②logad

2.(1)(0,+8)(2)R(3)(1,0)10

(4)y>Qy<0(5)y<0y>0

(6)增函数(7)减函数

激活思维

1.22.93.(0,+8)4.奇

真题演练

1.oa>b【解析】由指数函数的性质得由对数函数的性质得logs|>1,logG=log35>1,且

7

Iog3?vlog35,所以c>a>b.

2.[0,1)【解析】当。=0时,满足题意;当g。时,初>0且21=36/n2-4/7?(/7H-8)<0,解得林(0,1).所以实数m

的取值范围为[0,1).

能力提升

例1【解答】(1)原式=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.

(2)原式=2log32・5log32+2+3log32・3=-1・

5=1lg2+1lg5=|lg10=1.

例2【答案】(1)(1,+e)(2)(-1,0)u(1,+«>)

【解析】(1)设u(x);aX-x,则f(x)=log"x),要使函数f(另在区间[2,4]上是单调增函数,由复合函数单调

a>1,r0<a<1,

性的判定方法可知f(x)=bga“(x)与〃(x)=a*-x同为增函数或同为减函数,所以档V2,或居24,解得a>1,

lu(2)>0lu(4)>0,

故a的取值范围为(1,+s).

⑵当印0Ht,log2^>logi[-(-a)],解得於>1,所以a<-1或a>1,所以印1;当a<0时,log](■力>log2(・a),所

22

以以<1,解得・151,所以・1〈KO.综上,实数a的取值范围为(・1,0)u(1,+«).

当堂反馈

1.(0,+8)

2.(-4,4]【解析】设g(x)=*-ax+3a由对数函数及复合函数的单调性,知g(x)在[2,+3上是单调增函数,且

p(2)>0,所以©-2、解得_4〈宓4,故实数a的取值范围是(-4,4].

144-a>0,

第12课幕函数、函数与方程

要点梳理

1.*K2.(0,+oo)(1,1)

3.f(x)=04.f{a)7(/?)<0

激活思维

1.~2.33.~4.

3223

真题演练

1.(0,2)【解析】由|2/2卜夕0,得|2/2|二八令必=|2*・2|,/=匕在同一平面直角坐标系中分别作出外女的图象

如图所示.由/(*)有两个零点,知力和总的图象有两个交点,则0<82,即氏(0,2).

2.(1.4)(1,310(4,+»)MJ当加2时,心弋或含<2由”口得此’0或{图+3<0

解得2Vx<4或1<x<2,所以不等式的解集为(1,4).作出函数片*4与片*-4;什3的图象如图所示,由图可知,当A

21时,函数f(x)有1个零点;当1〈心3时,函数f(x)有2个零点;当3<e4时,函数心)有3个零点;当A>4时,

函数f(x)有2个零点.所以当函数f(x)有2个零点时,力的取值范围为(1,3]U[4,+8).

(第2题)

能力提升

例1【解答】(1)若/U)是正比例函数,则・5冷3=1,解得/77=总,此时"-松礼),故6=-青

当行假时,而是正比例函数.

(2)若/(X)是反比例函数,则-5/?>3=・1,则/77=-|,此时加-公仔。,故/77=-|.

当斤"!时,是反比例函数.

(3)若f(x)是二次函数,则-5力3=2,则777=-1,此时rri^-m-A*0,故

当m=-1时,/(年是二次函数.

(4)若f(x)是幕函数,则样-介1=1,即/772-/7>2=0,解得777=2或Z77=-1.

当/77=2或/77=-1时,/U)是某函数.

例2【答案】[13)

【解析】由题意知,函数片"X)的图象与直线片777有4个不同的交点,作出函数/U)的图象如图所示,由图

象知,实数m的取值范围为[1,?.

当堂反馈

1*

2.(3,4)【解析】令M=|2M|-^=0,W|2M|=a,设g(x)=|2*-4|,作出g(x)的图象如图所示,由图可知,当ae

(3,4)时,满足题意.

第13课导数的概念及运算

要点梳理

1.(1)ax^1(2)到nae*⑶3-

xlnax

(4)-sinx

2.(1)nx)±g\x)(3)cf(x)

g2(x)

激活思维

13L

1.-221(刀二费%23.-14.±V3

真题演练

1.e2.y=x

能力提升

例1【解答】(1)((x)二ex+xe*=(x+1)ex.

⑵尸(X)甘^

(3)f(x)二e«cos*sinx)-1.

例2【答案】片

【解析】对片声+}求导得六20,当召时,片2x1-1=1,所以曲线片在点(1,2)处的切线的方程为六

2=x-1,即*A+1.

当堂反馈

1.%-x+1+5【解析】因为/(x)=・/(0)sinx+cosx,所以r(0)=・r(0)sin0+cos0,所以7(0)=1,所以

/(旬二cos户sinx所以4%10:1,所以切线的方程为片。+1+5

2.2x-y-2=Q【解析】因为/=;所以曲线尸21nx在点(1,0)处的切线的斜率为:=2,所以切线的方程为六0二2(*

1),即2*升2二0.

第14课用导数研究函数的单调性

要点梳理

1.7(与之0且不恒为0尸(另k0且不恒为0

2.(3)f(x)>0f(x)<0

激活思维

1.(-3,0),(0,3)2.„

3.{a|死0}4.{s\a&e\

真题演练

1.(32/5,3+26)【解析】由题知尸⑴=*-6*3,令尸3=0,解得片3-28或后3+26.当法(田,3-2百)u

(3+2V3,+8)时,/(x)>0;当&(3-2V3,3+2V3)W,f(x)<0.故f(x)在(0,3-2百),(3+2V3,+-)上单调递增,在(3-

2瓜3+2VJ)上单调递减.

2.0【解析】因为f(x)=A3+a*-3A+c在区间(-1,1)上单调递减,所以&x)=3*+2ax-3Vo对法(-1,1)恒成立.又

二次函数尸3球+2a*3的图象是开口向上的抛物线,所以[〃;)二]f解得a=0.

能力提升

例1【解答】由题知73=3*+2ax,AeR,

令f(X)=0,解得M=0,X2=-y.

当3=0时,因为尸(X)=3*N0,所以函数M在(。,+8)上单调递增.

当a>0吐若胀"号)U(0,+00),则尸(x)>0;若底(年0),则r3co.

所以函数M在(-8,-算(0,+8)上单调递增,在(号,0)上单调递减.

当上0时,若xe(-8,o)u(-y,+00),则尸(x)>0;若xe(o,-乳则尸3<0.

所以函数M)在(-8,0),(号,+8)上单调递增,在(0,-算上单调递减.

例2【解答】f(x)的定义域为(0,+8),/U)=l+2ax+2护仁生盛纪”

XX

若衣o,则当胫(o,+0C)时,尸⑸>o,故M在(o,+00)上单调递增.

若3<0,则当脏(0,・*)吐尸(x)>0;当在(-/‘+8)吐/(*<0.故f{x)在(0,-/)上单调递增,在(-/,+8)上

单调递减.

当堂反馈

1.(0,1]2.[|,+x)

第15课用导数研究函数的最(极)值

要点梳理

1.f(x)<f(xo)y枝大产f(加)f(x)>AAO)

y极小就=f(旗)

2.f(x)外的)f(xo)f(x)AAb)fkxo)

激活思维

1.52愣3.54.±6

真题演练

2孕n2【解析】函数力(x)的定义域为(。,+8),"")=2户1/空平"令",(x)=。,得闫(1舍去).当x

变化时,力'(*),"(x)的变化情况如下表:

1

X2GW)

〃(x)-0+

"(x)、极小值Z

所以当户2时,函数加加取得极小值,且极小值为牛+ln2,无极大值.

能力提升

例1【解答】(1)因为六*=2*・3(a+1)*+6ax,所以7(*=6*・6(尹1)x+6a,所以曲线片在六:0处的切

线的斜率A=f(O)=6a,所以6a=3,解得a=1.

(2)因为f(x)+«-x)=-6(a+1)应121nx对任意的AS(0,+3恒成立,所以-(”1)/群

令9(*)=等,40,则g'(x)=2(学词.

令gXx)=0,解得x=捉.

当布(0,Ve)时,g'(x)>0,所以g(由在(0,Ve)上单调递增;

当xw(Ve,+8)时,gXx)<0>所以g(x)在(逐,+G上单调递减.

所以g(x)max=^(Ve)彳,

所以-(尹1)之】,B|Js^-1

ee

所以a的取值范围为(-8,・1・三・

例2【解答】(1)f(x)的定义域为(0,+s),

令尸3=詈=0,得产e.

当0<x<e时,/(8)=号>0:

当x>e时,/(#二专及0.

所以函数/(x)在区间(0,e]上单调递增,在区间[e,+s)上单调递减.

⑵①当0<2加e,即0<侬]时,f(x)在区间[6,2加上单调递增,所以«x)max=«2/77)=^-1.

②当m>e时,在区间[m,2加上单调递减,所以Ax)max=A/77)=—1.

m

③肖m<e<2m即$v/77<e时,f(x)在区间[6,e]上单调递增,在区间[e,2/n]上单调递减,所以Ax)max=Ae)—

y2e

1.

当堂反馈

1.-2.0

e

第三章三角函数与解三角形

第16课弧度制与任意角的三角函数

要点梳理

1{片住发360°+。,依Z}2.(1)\c\r

33三24.RRa+/cn.kezj

rrx

激活思维

1.{-240°,120。}2.(-1,扬3.1或44.1

真题演练

1.y【解析】如图,假设角a为第•象限角.由cos2a=|,得28s2cl=|,解得8s吟I,所以COSO=/Q嗡,解

得a=y;COS0=J===^,解得夕等,所以|20=g.

2.EF【解析】如图,在同一平面直角坐标系中分别作出*tana尸sin。尸cos。在[0,2TT]上的图象.由图知,当

住("片)时,cosa<sina;当代(]4),其中卜的?时,tamcosa即当aeQ.a),其中卜亦开时,恒有

tana<coso<sina,所以:a<TT,故点尸在R1上.

(第2题)

能力提升

例1【解答】(1)在△498中,由余弦定理得,

。42+。82-432

CQSZ.AOB=-2OAOB-

2x1x15,

即COS/?=|.

(2)因为008)0=1,

所以sir住Jl・cos20=jl・1J=i

因为点力的横坐标为卷,由三角函数定义可得,cos

所以cos(a+/^)=COsocos^sinasin^=^x|-3xi=>1|>sin(o+@;sinocos丹cososin昼|x|+卷令所以点

B(.史约

例2【解答】因为尸4a,尸-3a所以/=J(4a)24-(-3a)2=5|5|.

当a>0时,r=5a,所以sina=-=^="|.coso=*&tano===;.

当KO时,尸-5a,所以sinT二半二号,cos0=¥=[,tan(?=当=二.

r-5a5-5a54a4

当堂反馈

1.4752.⑤

第17课同角三角函数间基本

关系式与诱导公式

要点梳理

1.(1)sin2a+cos2a=1(2)tano=^-

cosa

激活思维

31^3

1,223T44

真题演练

1.-1

2.3+2V2【解析】由tan^=V6cosft得sin^=V6cos2ft即sin^=V6(1-sin26^,解得sin^=^(负值舍去),cos©?,

所以原式=3+2&.

能力提升

cosa

例1【解答】因为f(a)=s”:::::sjna=・c0SG所以/(-^)=-cos(-10n-^)=-cos^=-1.

例2【答案】q

【解析】由sin夕^os氏2①,两边平方得sin2a2sin%os例•cos2。噌,即1+2sin/os@=表,所以

2sinaos失备<0.又因为氏(0,TT),所以sin会0,cos氏0,所以sin^-cos^=J(sin0-cos0)2=Vl-2sin0cos0=^®.

由①②两式,解得sin”,cos^=-|,

所以taneg

当堂反馈

1.【解答】由sin(y-a)=|,得cos(7=-|.

因为2An+TTV<7<2ATT+^(AeZ),

所以sino=-y,sin(C7TT)=-sincz=y.

2.士【解析】由直线4x-3叶1=0的倾斜角为a,知tan(7=^,故cos4o-sin4a=(cos2aH-sin2a)(COS2(T-

.2\_cos2a-sin2cr_1-tan2a_1-y_7

22

SI”aCOsa+sina1+tan2a1+竽25'

第18课三角变换

要点梳理

1.(1)sinacos住cososinJ3

(2)cosacos的sinosin0

⑶tan/±tan。

1+tanatan)?

2.(1)2sinocosa(2)cos2ot-sin2o=2cos2o1=1-2sin2a(3):吗

l-tan4a

激活思维

1i2.V33.接4.一

2252

真题演练

1.i

MI解析】由题知e项书+卦喘瑞哼

能力提升

例1【答案】1

【解析】令^W,贝|Jcos氏/心3+三,从而2琮=2分所以sin(2a-^)=sinQ+2/?)=cos2/?=2cos2^-1=2xi-

例2【解答】(1)由cos牛0<0<^,

得sino=殍,所以tana=4g,

所以tan2好妥二里.

1-taMa47

(2)由0<庐可得Ova■分g

因为cos(0-j6)韦,

所以sin(a-p)=71-cos2(a-/7)=^,

所以cos代cos[a-(a■仪]

=cosocos(o/5)+sinasin(a-p)

=lx13|W3x3V3^1

7147142f

所以若•

当堂反馈

1.3表【解析】因为g(0,»所以W)•又sin(W)q所以cos(4)W,所以cosa=cos[(a-04-

n](TT)n.(7T\.n4V3314^3-3

=cos

d',)cosrsin(a--)sin-=-x--x-=—.

2.【解析】由题知sin偿・x)+sin2(X)

=sin卜G+窈+si哇y+期

=sin(x4-^+cos2(x4-合)

二sin(x+#1-sin2G+另

1_19

丁勺正.

第19课三角函数的图象和性质

要点梳理

2.尸sin(A+°)*sin(3A“)产4sin(幼叶0)

*sing**sin(3x+0)尸Zsin(3A+0)

激活思维

1.4TT2.{%卜A:+瑞,/cez]

3・朋4小国

真题演练

1.3【解析】由题知sin(2xm+8)=±1,则"行尹An(依Z),所以行(+行(左Z).因为々〈0彳,所以行己.

2.[—:■+:](左Z)【解析】将函数*sin(2x+。的图象向右平移荒个单位长度后,得到函数片sin2x的图

象.由1+2ATTW2腔/+2An(候Z),得-}加£二:+奸1(左Z),所以函数片sin2x的单调增区间为[ATT?,ATT+^J(依Z).

能力提升

例1【解答】(1)①列表.

n37r5兀7n97r

X

2T-T

17Tn37r

5,0TT2TT

2T

y030-30

②描点.

③作图:如图所示.

(2)方法一:“先平移,后伸缩”.

先将片sinx的图象上所有的点向右平移.个单位长度,得至IJ*sin(Kq)的图象;再将片sinGC)的图象上所

有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到片singxq)的图象;最后将片sin(步一)的图象上所有点的

纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到片3sinGx-9的图象.

方法二:“先伸缩,后平移”.

先将片sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到*sin4•的图象;再将片sin7

的图象上所有的点向右平移方个单位长度,得到片sin6q)的图象;最后将看sinGx-;)的图象上所有点的纵坐标

伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到片3sinCx-£)的图象.

(3)因为片3singx-9是周期函数,通过观察图象可知,所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是

此函数的对称轴,即令*^=9加(依Z),解得产手+2An«eZ),即为对称轴方程.

2422

所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心,令:咛二如■(依Z),得X]+2ATT(依Z),所以对称中心为点

Q+2/cn,0)(生Z).

因为X前面的系数为正数,所以,令1+2而当号与+2而,生乙解得疾[々+4ATT,与+4ATT],依乙即为函数的

单调增区间.

例2【解答】(1)El^jAx)=^^+ySin2A=ySin2A^cos2%+1=sin(2x-^+i

所以f(川的最小正周期为广松匚TT.

(2)ill(1)MlAx)=sin(2x-^)+j.

因为对q,m],

所以2爬,后,2叫1

要使外必在[《即]上的最大值为.即sinlq)在[4即]上的最大值为1,只需2%年,即加*所以6的

最小值为年

当堂反馈

.Un

1-

2.当【解析】因为f(x)=cosx-sinA=&cos(代),由2AnWx+%iT+2/rn(AeZ),得函数/(x)的单调减区间为

忸吟片+2时(生Z).又M在[0,a]上单调递减,所以[0,a]斗;,用所以小学所以a的最大值为手.

第20课正弦定理与解三角形

要点梳理

1•品磊嗑=28(1)2届in82/feinC⑵2卷点(3)sinAsin5:sinC

2.1dcsin/4

激活思维

1.竿2.105°或15°3.24.4V3

真题演练

1.2(2,+8)【解析】由正弦定理得5"/|勿亭£5衍5=*彳+及胤,即sing=KcosA因为8为必反?的内角,

所以管点正弦定理得匚联=更卑=学[=+1.乂因为C为钝角,所以即00C,所以0<aM<g所以

3asin/4sin/l2tan/l23263

->2.

a

2.竽【解析】由按+艮4=8,得2b8os4=8,所以/为锐角,且仇xx)S/4=4.由题意及正弦定理得

sin厌in6>sinNn8=4sin/4sinHsinC,因为sinS*0,sinC*O,所以sin/4=1,所以4=30°,所以dccos30°=4,即

bo?所以“8c的面积为锯仇5

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