必刷卷01-2021年中考数学考前信息必刷卷(武汉专用)(解析版)

绝密★启用前

2021年中考数学考前信息必刷卷（武汉专用）

第一模拟

中考新动向2021年中考数学稳中有变，题型仍然是10（选择题）+6（填空题）+8（简答题），但考查内

容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，即：一要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和

思想方法的考查；二是关注学生对知识的融合与灵活运用。

[匿题未预，本套试卷的第3、4、9等题就以生活实际为背景，不但考查学生的阅读理解能力，还考查学

生运用知识并解决问题的能力；第10题属于知识的小综合，在平时的模拟考试中虽然常见，但本题要求学

生在较短时间根据已知条件归纳总结出图形与数量规律并作答，不失为一道“亮点题”；第23、24题属于

压轴题，有一定的难度，锻炼学生冲击满分能力。

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（2021•山东枣庄东方国际学校九年级二模）如果那么m一定小于它的（）

A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方

【答案】B

【分析】根据已知可找到一个大于。小于1的数，对四个选项进行--验证.

【详解】解：已知OVmVl,

.,.令m=0.5.

A、0.5>-0.5,故本选项错误；

B、0.5<2（—=2）,故本选项正确；

0.5

C、0.5=[0.5],故本选项错误；

D、0.5>0.25（0.52=0.25）,故本选项错误；

故选：B.

【点评】此题考查的知识点是倒数、相反数绝对值及有理数的乘方等知识，关键是运用特殊值法，对答案

进行一一验证即可，比较简单.

2.（2021•武汉二中广雅中学九年级期末）在实数范围内疝I有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.后0C.x>2D.x<0

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.

【详解】根据题意得：x-2>0,

解得：x>2.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

3.（2021•全国九年级专题练习）下列事件中，属于随机事件的是（）

A.买1张彩票，中500万大奖

B.通常温度降到0°C以下，纯净的水结冰

C.367人中有2人是同月同日出生

D.从装有黑球、白球的袋里摸出红球

【答案】A

【解析】A.买1张彩票，中500万大奖是随机事件；

B.通常温度降到0°C以下，纯净的水结冰是必然事件；

C.367人中有2人是同月同日出生是必然事件；

D.从装有黑球、白球的袋里摸出红球是不可能事件.

故选：A.

4.（2021.辽宁营口市.八年级期末）下列图片中，是轴对称图形的是（）

Bc

A--（SF）/

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

c、不是轴对称图形，故本选项不合题意;

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关健是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可

重合.

5.（2021.黑龙江哈尔滨市.九年级期末）由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（）

【答案】A

【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可.

【详解】解：由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合

的思想解答.

6.（2021•广西北海市•九年级一模）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同

学没有坐回原座位的概率为（）

A303-1

A.—D.——D.—

螂幅栩强

【答案】D

【解析】试题分析：画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）

共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3,

所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率=2=三.

愉售

故选D.

考点：列表法与树状图法.

k-1

7.（2021.全国九年级专题练习）双曲线y=——在第一、三象限内，则k的取值范围是（）

x

A.k>0B.k<0C.k>lD.k<l

【答案】C

【分析】根据反比例函数的性质，由于图象在第一三象限，所以k-l>0,解不等式求解即可.

【详解】解:•.•函数图象在第一、三象限，

：.k-1>0,

解得k>L

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=L（k和），（1）k>0,反比例函数图象在一、

x

三象限；（2）k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

8.（2021.湖北武汉市.九年级二模）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、8两地间的路程

为40km.他们前进的路程为s（km）,甲出发后的时间为的），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根

据图象信息，下列说法不正确的是（）

【详解】由图可知，甲用4小时走完全程40km,可得速度为10km/h；

乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为40km/h.

故选B

9.（2021.华中科技大学附属中学九年级月考）小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图

中标有1,2,3,4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）

32

4

A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块

【答案】B

【解析】试题分析：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们

去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA,满足题目要求的条件，是符合题意的.

故选B.

考点：全等三角形的应用.

10.（2021•全国九年级专题练习）如图是由“。”组成的龟图，则第10个龟图中“。”的个数是（）

C3

Oo

COOOOO

oOoOOooooo

OOOooo

OOOOooo

OOOOooo

oo

第1个图第2个图第3个图第4个图

A.77B.90C.95D.116

【答案】C

【分析】先求出第1、2、3、4个图中“。”的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案.

【详解】观察图可知，第1个图中“。”的个数是5=5+lx0,

第2个图中“。”的个数是7=5+2xl,

第3个图中“。”的个数是11=5+3x2,

第4个图中“。”的个数是17=5+4x3，

归纳类推得：第n个图中“。”的个数是5+〃（”-1）,其中n为正整数,

则第10个图中“。”的个数是5+10x9=95,

故选：C.

【点评】本题考查了用代数式表示图形的规律，依据已知图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

（・湖北）实数在数轴上的位置如图，化简（）

11.2021aJa-22+a=.

-2,-1~0~1~2~~3^

【答案】2

【解析】【分析】根据a在数轴上所在的位置判断出a-2符号，再化简二次根式即可.

【详解】解：如图所示：-2VaV-l,

则a-2<0,

-2y+a=2-a+a=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a-2的符号是解题关键.

12.（2021.湖北武汉市.九年级一模）一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）.则

这组数据的中位数为.

【答案】B

【解析】试题分析：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28,32,35,37,37,

位于最中间的数是35,

,这组数的中位数是35.

考点：中位数.

13.（2021・湖北武汉市•九年级二模）若，且一+7=-则一的值是_______.

aba-ba

【答案】旦.

2

【分析】利用分式的加法对题目中给出的式子进行化简，得到。与人的关系，从而求出2的值.

a

【详解】解：由己知，得："+"=——,故（a+2b）（a-Z?）=a〃，

aba-b

.•./一2。2=0，

a>h>0,

a-Ob，

.2—立

a2

故答案为：旦.

2

【点评】本题考查分式的加法，解题的关键是利用分式的加法运算对式子进行化简.

14.（2021.广东九年级专题练习）已知：如图所示，CE、CB分别是4ABC与4ADC的中线，且AC=AB.则

下列结论中：①BC=BD；②NECB=/BCD；③NACE=/BDC；④CD=2CE；正确结论的序号为：

【分析】过8作交CE的延长线于F,如图，根据平行线的性质和已知条件可利用ASA证明aACE

乌△8FE,可得CE=EF,AC=BF,由AC=4B可得NAC8=N4BC,进一步即可根据三角形的外角性质推

出/力BC=/F8C,然后利用SAS可证△DBC丝△F8C,于是可得NECB=NBCD,DC=CF=2CE,NF

=ND,由此即可判断②④，进而根据等量代换即可判断③，由于/8C。与不一定相等，所以得不出

BC=BD,由此可判断①，从而可得答案.

【详解】解：过B作BF〃AC交CE的延长线于凡如图，

:/

F

是中线，BF//AC,

:.AE=BE,ZA=ZABFfZACE=ZF,

：./\ACE^ABFE(A4S),

：.CE=EFtAC=BF,

：.CF=2CE,

XVACMB,

，ZACB=ZABC,

是△ADC的中线，

:.AC=AB=BD=BF,

,/ZDBC=ZA+ZACB=ZABF+ZABC,

：.NDBC=NFBC,

XVBC=BC,

'△DBC—FBC(SAS),

AZECB=ZBCD,DC=CF=2CE,NF=ND,故结论②、④正确；

/.ZACE=ZD,故结论③正确；

由于/BCO与/£>不一定相等，所以得不出BC=8D,故结论①错误；

综上，正确的结论是：②③④.

故答案为：②③④.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的外

角性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

15.(2020・湖北武汉市•中考真题)己知抛物线Ci：y=-x2+4x-3,把抛物线G先向右平移3个单位长度，

再向上平移3个单位长度，得到抛物线C2,将抛物线C和抛物线C2这两个图象在x轴及其上方的部分记

作图象M.若直线y=kx+1(k>0)与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是.

【答案】0Wk<10-786

【解析】【分析】首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线Ci的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律

得出抛物线C2,求得直线与两个抛物线相切时的k的值，即可解决问题.

【详解】解：

y=-x2+4x-3

=-(x-2)2+l,

顶点(2,1)

则将抛物线y=-x2+4x-3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，

2

得到的新的抛物线的解析式为：y=-(x-5)2+4-x+lOx-21.

,1

y=kxH—7

由彳2消去y得到x?+(k-4)x+-=0,由题意△=(),(k-4)2“4=0,

y=-x2+4x-3

解得k=4-、伍或4+"彳(舍弃)，

,i

V=KX4--43

由V2消去y得到x?+(k-10)x+—=0,

J2

y=-x2+10x-21

由题意△=(),(k-10)2-86=0,

.,.k=10-痴或10+A(舍弃)，

,直线y=kx+；(k>0)与图象M至少有2个不同的交点，

观察图象可知，则k的取值范围是0Wk<10-、颂

【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式，构建方程

组，利用一元二次方程的根的判别式是解题的关键.

16.(2021•全国九年级专题练习)如图，在A48c中，NC=90°,AC=8,8C=6，点。是AB的中

点，点E在边AC上，将△/1£坦沿OE翻折，使点A落在点A'处，当AE1AC时，A'B=.

B

【答案】0或7夜

【分析】分两种情况进行讨论：①当A，在AC上方时，由折叠可得NAED=/A，ED,当AELAC时，Z

AED=/A，ED=45。，再过D作DF_LAC于F,过B作BG1.AE于G,则4DEF是等腰直角三角形，再根

据DF〃BC,D是AB的中点，BC=6,求得E产=3,CE=1,最后根据等腰RtAABG可得=；

②当A，在AC下方时，也是作辅助线构造等腰直角三角形和矩形，利用勾股定理进行计算求解.

【详解】解：①如图所示，A，在AC上方，

:在aABC中，NC=90。，AC=8,BC=6,

AAB=10,由折叠可得NAED=NA'ED,

当A'E_LAC时，/AED=NA'ED=45。，

如图，过D作DFJ_AC于F,过B作BGJ_A旧于G,则4DEF是等腰直角三角形，

；DF〃BC,D是AB的中点，AC=8,BC=6,

11

；.AF=CF=-AC=4,DF=-BC=3,

22

；.EF=3,CE=4-3=1,

矩形BCEG中，BG=CE=1,BC=EG=6,

•；AE=4+3=7,，A'E=7,，A'G=7—6=1,即A'G=BG,

②如图所示，A，在AC的下方，过D作DF_LAC于F,过A，作A'G_LBC于G,

由折叠可得NAED=ZA'ED,

当A'ELAC时，ZAED=ZA'ED=135°,ZA'EF=90°,故NDEF=45。，即ADEF是等腰直角三角形,

1

；.DF=EF=-BC=3,

2

又•.•AF=」AC=4,

2

.,.AE=1,EC=4+3=7=AG

：A'E=AE=1,

；.CG=1,BG=BC+CG=7,即A'G=BG,

在等腰RtZ\A'BG中,A'B=V2BG=7>/2.

故答案为：血或70.

【点评】本题主要考查J'折叠问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，三角形中位线定理以及勾股定

理的综合应用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对

应边和对应角相等.

三、解答题：共8题、共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（2021・湖北武汉市•九年级二模）计算：（1）（一1）2。2。+（一；厂2―（3.14—兀）。；（2）a3.a5+（a2）4

-3a8；

【答案】（1）4；（2）.a8.

【分析】（1）先计算有理数的乘方运算、负整数指数幕、零指数累，再计算有理数的加减法即可：

（2）先计算同底数累的乘法、累的乘方运算，再计算整式的加减法即可.

【详解】（1）原式=1+（-2）2-1

=1+4—1

=4；

（2）原式=/+/一3a8

【点评】本题考查了负整数指数累、零指数廨、同底数累的乘法、累的乘方运算等知识点，熟记各运算法

则是解题关键.

18.（2021•全国九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分NBAD,BE平分/ABC,且AE、

BE相交于CD上的一点E.求证：AE±BE.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质可得NZM8+NCSA=180°,根据角平分线的定义和上述

结论可得NE48+NEBA=90°，进而可得NAE3=90。，于是可得结论.

【详解】证明：•••四边形A2CD是平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZDAB+ZCBA=}80°,

・•・AE平分/胡。，8E平分NA8C，

NEAB=-NDAB,NEBA=-NCBA,

22

NEAB+NEBA=1(NDAB+NCBA)=90°,

.\ZAEB=90°，

即

【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理等知识，

属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

19.（2021.广东九年级专题练习）运动对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每天运动的时间,

在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表.

组别时间/时频数/人数频率

A0</<0.580.16

B0.5<Z<la0.3

C1<Z<1.5160.32

D1.5</<27b

E2</<2.540.08

合计1

称数/人数

16-•———

12-

8-----

0.5I1.522.5ntlHl/fht

请根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）表中的。=,b=,中位数落在________组，并补全频数分布直方图；

（2）估计该校3000名学生中，每天运动时间不足0.5小时的学生大约有多少名？

（3）已知E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作运动

心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率.

【答案】（1）15,0.14,C,补全图形见解析；（2）480名；（3）

2

【分析】（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；

（2）根据每天运动时间不足0.5小时的学生的频率，估计该校3000名学生中，每天运动时间不足0.5小时

的学生数即可；

（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率.

【详解】（1）..•被调查的总人数为8-0.16=50,

.\a=50x0.3=15；b=7-50=0.14,

50个数据按大小排列，中位数是第25,26个数据的平均数，因此，中位数落在C组;

将频数分布直方图补全如图所示；

（2）3000x0.16=480（名）

（3）树状图如下：

开始

男女女女

小小/N/K

女女女男女女男女女男女女

总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，

•••抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率=-

2

【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个

元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量

越大，这时对总体的估计也就越精确.

20.（2020•全国九年级单元测试）在4ABC中，AB=AC,BD=CE,CD1AB于点D,BE±AC于点E.

（1）如图1,求证：ZXABEgAACD；

（2）如图2,BE与CD交于点O,连接AO,直接写出图中所有的全等三角形（AABE丝Z\ACD除外）.

A

【答案】(1)见解析；(2)AADO^AAEO；ABDO^ACEO；ABCD^ACBE；AABO^AACO

【分析】(1)根据AAS证明△ABE0ZXACD；

(2)根据图中对应的边或角的等量关系，利用全等三角形的判定定理证明.

【详解】(I)VCD1AB于点D,BE1AC于点E,

AZADC=ZAEB=90°,

在ZXABE和Z\ACD中，

ZA=ZA

</AEB=/ADC.

AB=AC

/.△ABE^AACD；

(2)VAB=AC,BD=CE,

/.AD=AE,

VZADC=ZAEB=90°,AO=AO,

AAADO^AAEO；

VBD=CE,ZBDC=ZCEB=90°,ZBOD=ZCOE=90°,

.,.△BDO^ACEO；

VBD=CE,ZBDC=ZCEB=90°,BC=CB,

/.△BCD^ACBE；

VAADO^AAEO,

AZBAO=ZCAO,

又•；AB=AC,AO=AO,

.".△ABO^AACO；

图中全等三角形有：aADO丝△AEO；△BDO丝△CEO；ABCD^ACBE；△ABO丝△ACO.

【点评】此题考查全等三角形的判定定理及性质定理，熟记全等三角形的判定定理：SAS、SSS、AAS、ASA、

HL,并运用其熟练解答问题是解题的关键.

21.(2020•湖北武汉市•中考真题)如图，直线切口。于A,80交口。于C,。两点，连接AC,AD.

(1)求证：ZACB=NDAB；

(2)过8作口。的切线切点为£,连接CE.若BE=庭,四边形AC硝为平行四边形，求图中

由我E，EB，AB围成的阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)26—2万.

3

【分析】(1)连接OA,根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角证明;

(2)阴影部分面积用2倍的△OB4的面积减去扇形AOE的面积求得.

【详解】解：(1)证明：连接OA,

•.•直线48为□。的切线，

AOAVAB，即N(MB=90°,

设NZMB=a，则NQ4Z>=90°-a，

•••。。为口0的直径，，/。18=90°，，/。4。=£,

■：OC=OA.：.ZACB^ZOAC=a=ZDAB；

(2)•；BA,5E为口。的切线，

；,AB=EB，：.□ABEC为菱形,

•1,AC//BE，：.ZEBC=ZACB=a，

•；ZABC=NEBC,：.ZABC=a,

在口抽。中，9O0+3a=18O°，Aa=30°，：,ZAOB=2a=60°，

连接OE，则NAOE=120°,

,•BE=AE=V6>OA=5/2>

S明=2S.0BA-S扇形A0E乃x（夜）=2石-1万，

ZJoU''J

即图中山外E，EB，AB围成的阴影部分的面积为2百一I".

【点评】本题考查圆的综合证明题，涉及切线的性质、圆周角定理、扇形面积公式，还有平行四边形和菱

形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理结合题目条件进行证明.

22.（2020・湖北武汉市・中考真题）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴滴出行”是全球

最大的站式多样化出行渠道.现了解到2020年“滴滴快车''普通时段的最新收费标准如下：

里程/千米收费/元

2千米以下（含2千米）11.4

2千米以上，每增加1千米1.95

（1）请写出“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数X（千米）之间的函数关系式；

（2）若小红家离学校6千米，她身上仅有20块钱，则她乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是否够用？请说

明理由.

_11.4(X,2)

【答案】（1）；（2）够用，理由见解析

~11.95X+7.5(x>2)

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之

间的函数关系式;

（2）先判断，然后将x=6代入相应的函数解析式，求出所需的费用，然后与20比较大小，即可解答本题.

【详解】解：（D由题意可得,

当用,2时，y=11.4,

当x>2时，y=11.4+(%-2)x1.95=1.95x+7.5,

由上可得，“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式是

[11.4U,2）

y=<*

"[1.95X+7.5（x〉2）'

（2）小红家离学校6千米，她身上仅有20块钱，则她乘坐“滴滴快车''从家到学校的车费够用，

理由：当x=6时，y=1.95x6+7.5=19.2,

v19.2<20,

•••小红家离学校6千米，她身上仅有20块钱，则她乘坐“滴滴快车''从家到学校的车费够用.

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

23.（2020・武功县贞元镇第二初级中学九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为5厘米，对角线BD长8

厘米.点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D出发沿DB方向匀速运动，

速度为2厘米/秒：P、Q同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下

列问题：

3

（1）当t为何值时，4PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，4PBQ的面积等于菱形ABCD面积的右？

（3）连接AQ,在运动过程中，是否存在某一时刻3使/PQA=NABD?若存在，请求出t值：若不存在,

请说明理虫：

（4）直线PQ交线段BC于点M,在运动过程中，是否存在某一时刻3使BM：CM=2：3?若存在，请

求出t值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）t的值为0或3或理；（2）t=l秒（3）t=21+"[或仁21一回；（4）存在：t=47-V209.

118810

【解析】试题分析：先由运动得出AP=t,DQ=2t,AB=5,BP=5-t,BQ=8-2t,（0<t<4）

（1）先由锐角三角函数得出sinNABD=24=3,cosZABD=—=-,再分三种情况讨论计算即可得

AB5AB5

出结论；

（2）先求出菱形的面积，再用三角函数得出PE,再用三角形BPQ的面积与菱形面积的关系建立方程，解

方程即可得出结论；

(3)先判断出△BPQS^DQA,得出比例式建立方程求解即可得出结论；

(4)先判断出△BMNS^BCD,得出网=理丫="4,即可求出MN=2,BN=—,再判断出ABPC^

BDCDBC5

-△NMQ,得出比例式建立方程求解即可得出结论.

试题解析：

由运动知，AP=t,DQ=2t,

VAB=5,BD=8,

ABP=5-t,BQ=8-2t,(0<t<4)

(1)如图，

连接AC交BD于O,

・・•四边形ABCD是菱形，

AACIBD,OB=—BD=4,

2

在RtaAOB中，AB=5,0B=4,

根据勾股定理得，0A=3,

OA3OB4

sinZABD=----•=—,cosZABD=-----=—,

AB5AB5

过点P作PELOD于E,

1

.\BE=yBQ=4-t,

BE4-Z4

在RtABPE中，cosZABD=——--------=-

AP5-t5

t=0,

②如图2,BP=BQ,

.,.5-t=8-2t,

③如图3,BQ=PQ,

过点Q作QELAB于E,

/.BE=—BP=—(5-t),

22

在RtZXBEQ中，cos/ABD=BE_2'J4,

BQ-8-2/­5

39

•.t=—，

11

39

即：aBPQ是等腰三角形时，t的值为0或3或打:

(2)如图4,

由(1)知，AC=2OA=6,

：BD=8,

Ssi；ABCD=—ACxBD=24,

2

PE3

过点P作PE_LBD于E,在RtZXBPE中，sinZABD=—=一，

PB5

PE3

(•=f

5-t5

3

；.PE=—(5-t),

5

/.SBPQ=—BQXPE=—x(8-2t)x-(5-t)=-(4-t)(5-t),

A'2255

3

,/APBQ的面积等于菱形ABCD面积的记,

33

/.-(4-t)(5-t)=—x24,

510

VZABD=ZAQP,

/.NBPQ=/AQP+NBAQ=NABD+NBAQ,

NAQD=NABD+NBAQ,

AZBPQ=ZDQA,

•・•BD是菱形ABCD的对角线，

AZABD=ZADB,

/.△BPQ^ADQA,

.BP_BQ

.5-t8-2f

---=--------

2t5

(4)存在：理由：如图6,过点M作MN〃CD交BD于N,

・・・MN〃BP,

VBM：CM=2：3,且BC=5,

・・・BM=2,

VMN/7CD,

△BMN^ABCD,

BNMNBM

'BD~CD~BC'

BNMN2

•--------=一，

855

16

,.MN=2,BN=—,

5

；BQ=8-2t,

1624

\NQ=BN-BQ=y-(8-2t)=2t--,

：MN〃BP,

♦.△BPQS^NMQ,

BPBQ

'~MN~~NQ'

5-t8-2f

5

,.5t2-47t+100=0,

.47+V209,I47-V209

•t=---------->4(舍去)或1=----------.

1010

【点评】相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的

判定和性质，解本题的关键是构造出相似三角形.

24.(2020・湖北武汉市•中考真题)如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(l,9),与x轴的交点为A(-

2,0),B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C,若NCOB=2NCBO,求点M的坐

标；

(3)如图2,将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为丫=2*2+6*+卜E,F新抛物线在第一象限内互不

重合的两点，EG，x轴，FH_Lx轴，垂足分别为G,H,若始终存在这样的点E,F,满足△G