图形的折叠问题北师大版省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

图形折叠问题（复习课）第1页几何研究对象是:图形形状、大小、位置关系；主要培养三方面能力:思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；折叠型问题特点是:折叠后图形含有轴对称图形性质；两方面应用:一、在“大小”方面应用；二、在“位置”方面应用。第2页折叠型问题在“大小”方面应用,通常有求线段长,角度数,图形周长与面积改变关系等问题。一、在“大小”方面应用1.求线段与线段大小关系例1如图，AD是

ABC中线，

ADC=45º，把

ADC沿AD对折，点C落在点C'位置，求BC'与BC之间数量关系。解由轴对称可知

ADC≌ADC',ADC'=ADC=45º,C'D=CD=BDBC´D为RtBC’=2BD=

BC22第3页练习1

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）(A)2(B)3(C)4(D)5例2如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边上点F处,已知AB=8,BC=10,则EC长是。解设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知:EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3B第4页练习2

如图，在梯形ABCD中，DCAB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上D¹、C¹处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD¹+BC¹=

。2练习3

如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，若AB=3，则折痕AE长为（）。(A)33/2(B)33/4(C)2(D)23EC第5页2.求角度数例3将长方形ABCD纸片，沿EF折成如图所表示；已知

EFG=55º，则FGE=

。70º练习4如图，矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在AD边上F点处，假如

ABF=60º，则CBE等于（）。(A)15º(B)30º(C)45º(D)60ºA第6页3.求图形全等、相同和图形周长例4如图，折叠矩形ABCD一边AD，使点D落在BC边一点F处，已知折痕AE=55cm，且tanEFC=3/4.(1)求证：

AFB∽FEC；(2)求矩形ABCD周长。证实:（1）∵∠B=C=D=90º，又依据题意RtADE≌RtAFE,∴AFE=90º,∴AFB=FEC,∴AFB∽FEC.第7页解（2）由tanEFC=3/4,设EC=3k,则FC=4k,在RtEFC中,得EF=DE=5k。∴DC=AB=8k,又

ABF∽FCE,∴=即=ABBF8kBFFCCE4k3k∴BF=6k,∴AF=10k在RtAEF中,AF2+EF2=AE2∴(10k)2+(5k)2=(55)2,k2=1, ∴k=±1,∴k=1(取正值),∴矩形周长为36k,即36cm。第8页练习5

如图，将矩形纸片ABCD沿一对角线BD折叠一次（折痕与折叠后得到图形用虚线表示），将得到全部全等三角形（包含实线、虚线在内）用符号写出来。练习6

如图，矩形纸片ABCD，若把

ABE沿折痕BE上翻，使A点恰好落在CD上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形长和宽。答案:△ABD≌△CDB,△CDB≌△EDB,△EDB≌△ABD,△ABF≌△EDF.答案:矩形长为10，宽为8。第9页4.求线段与面积间改变关系例5已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC长为10，B和C都为锐角，M为AB上一动点(M与A.B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.(1)用x表示△AMN面积SΔAMN。(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称点为A¹，ΔA¹MN与四边形BCMN重合部分面积为y.①试求出y与x函数关系式，并写出自变量X取值范围；②当x为何值时，重合部分面积y最大，最大为多少？第10页解（2）①∵△A¹MN≌△AMN,设△A¹MN中MN边上高为h1,△A¹EF中EF边上高为h2.∵EF∥MN,∴△A¹EF∽△A¹MN.∵△A¹MN∽△ABC,∴△A¹EF∽△ABC∵△ABC中BC边上高h=5,∴h1:x=5:10,∴h1=½x.又h2=2h1-5=x-5,=()2,∴S△A¹EF=()2•25=(x-5)2S△A¹EFS△ABCh25X-55∴y=S△A¹MN-S△A¹EF=¼x2-(x-5)2=-¾x2+10x–25.∴当点A¹在四边形BCNM内或在BC边上（如图1），即0<x≤5时，y=¼x2。图1当点A在四边形BCNM外，即5<x<10时，y=S△A¹MN-S△A¹EF（如图2）图2第11页总而言之,当0<x≤5时,y=¼x2；当5<x<10时,y=-¾x2+10x-25。②当0<x≤5时,取x=5,y最大=¼•52=25∕4；当5<x<10时。y=-¾（x-20∕3)2+25∕3,取x=20∕3,y最大=25∕3；∵25∕3>25∕4,∴x=20∕3时,y最大=25∕3.第12页练习7

如图，把一张边长为a正方形纸进行折叠，使B点落在AD上，问B点落在AD什么位置时，折起面积最小，并求出这最小值。O解：如图，设MN为折痕，折起部分为梯形EGNM，B、E关于MN对称，所以BE⊥MN，且BO=EO，设AE=x，则BE=

。由Rt△MOB∽，得:，∴BM===.作NF⊥AB于F,则有Rt△MNF≌,∴FM=AE=x,从而CN=BM-FM==。∴S梯形BCNM=。=½(x-a/2)2+3/8a2.∴当x=a∕2时,Smin=(3∕8)a2.第13页例6

将长方形ABCD纸片，沿EF折成如图所表示，延长C`E交AD于H，连结GH。求证：EF与GH相互垂直平分。二、在“位置”方面应用因为图形折叠后,点、线、面等对应位置发生改变,带来图形间位置关系重新组合。1.线段与线段位置关系证实:由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴。又,∴四边形是,∴FE与GH相互垂直平分。第14页2.点位置确实定例7

已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)，∠OAB=60º，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标。→x↑y解由题意知，OA=3，∠OAB=60º，∴OB=3tan60º=3√3.∵Rt△ACB≌Rt△ADB,∴AD=AC=OB=3√3.→x↑y过点D作Y轴垂线，垂足为E，在直角三角形AED中,ED=,AE=,故OE=。故点D坐标为（3/2√3，-3/2）。第15页练习8

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90º，沿着B点一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上一点D重合。当∠A满足什么条件时，点D恰好是AB中点？写出一个你认为适当条件，并利用此条件证实D为AB中点。条件:∠A=30º证实:由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴BC=BD,在△ABC中,∵∠C=90º,∠A=30º,∴BC=½AB,∴BD=½AB,即点D为AB中点。第16页；/聚星娱乐vcg49wfv依然还是断了线珠子侧耳听着门外平车轱辘碾着石子路“咣当咣当”声音越来越远，秀儿抚摩着耿正昨晚送给她那支滑溜无比橘黄色笛子，眼泪止不住哗哗地流淌下来。秀儿长这么大，第一次感到了刻骨铭心痛昨晚她和耿正出了耿家小院儿后，不约而同地朝着村南一棵大槐树走去。这棵大槐树树干即使没有多么粗，但树冠很大，树杈里经常会有山雀做窝。小时候，耿正经常爬上树杈里为秀儿掏鸟蛋玩儿。大槐树旁边，还有几棵人们以后散栽杨柳树，它们就好像不听话孩子一样，没规没矩地胡乱站在那里。小时候，每当酷热夏日里在野外疯玩儿时，耿正就会从这些杨柳树上折一些软软细细嫩枝条，亲手编一个漂亮“凉帽”给秀儿戴在头上。“凉帽”周围浮荡着许多翠绿翠绿鲜嫩树叶，这些清凉树叶轻轻地抚着秀儿脸，舒适极了。带着这么“凉帽”，即使在阳光下奔跑，也不用担心会晒黑了脸。有耿正亲手编“凉帽”，秀儿脸永远都是白白净净。大槐树下有几块儿平整光滑大石头，是大人们专门搬来摆放在那里。大槐树周围有不少耕地，人们在地里劳作时间长了感到乏累时，就会来到大槐树下，坐在这些石头上歇息一会儿，然后再去地里接着干活儿。小时候，秀儿和耿正经常坐在这些大石头上，高高兴兴地分享各自带来美食：秀儿娘做五香炒面豆、秀儿姥娘家香瓜、耿正娘煮茶叶蛋、耿正姥娘家大饼有时候，耿正会把刚听爹讲那些天南地北有趣儿故事转述给秀儿听，给秀儿吹笛子，尤其是那些刚跟爹学会小曲儿；或者拿根树枝，把刚学会字写在大石头旁边土地上教给秀儿念，教秀儿怎么写他们童年，永远都是欢笑和高兴；但昨天晚上，秀儿哭了，而且是有生以来第一次那么痛心地哭当他们默默地在那块最平整光滑大石头上坐下来后，耿正出神地凝望着不远处家门好一会儿没有说话。坐在旁边秀儿也不说话，只是目不转睛地望着心爱耿正。明亮月光此刻被大槐树枝叶挡住了，耿